单调类定理（集合形式）

本文为系列文章 “单调类定理” 的第二篇。该系列文章将单调类定理相关内容单独整理，避免零散地穿插于其他知识点之间，便于整体把握、按需掌握。

系列文章：

前置文章：

所需知识：集合运算

文章《集合系的终极配方》曾经说过：如果我们能够先找到一个域，然后再证明这个集合系对可列运算封闭，即可得到一个  域。文章也通过大佬的经验告诉我们：

在应用中确定一个集合系是单调系往往比较简单，但代数（域）的构造仍然比较复杂，真要做起来还是比较烦琐。在应用中主要的矛盾是对交的封闭。

—— 任佳刚、巫静的《测度与概率教程》

怎么理解大佬的观点呢？在实际应用中经常会遇到这类问题：

常见问题

已知集合系  和  且  ，是否有  成立？

大佬认为，实际应用中常常有诸如 "积分的极限定理" 之类的工具可用，通常很容易验证 "集合系  是单调系"。而  虽然是单调系，但只有当 "集合系  是域" 时才能有  （参考文章《测度论的单调类定理》）。

此时大佬又认为，域的构造仍然比较复杂，实际应用中验证 "集合系  是域" 还是比较烦琐的。为此，大佬E.B.Dynkin想到了单调类定理的改进版本（或称  定理）：

  定理

如果  是  系，则  .

以前介绍过的  系和  系就是为了这个改进版本引入，相关的定义请参考文章《集合系的常见配方》和《集合系的终极配方》：

定义

如果全集  上的非空集合系  对交集运算封闭，则称  为  系。如果全集  上的集合系  满足以下条件：

    ；

    ，  

    ，  

则称  为  系。

一、定理说了什么?

类似最基础的版本，我们也从几个角度来看看定理说了什么：

角度1

包含  的 "最小  域" 与 "最小  系" 是相同的集合系.

这个是直观的角度。由于  域必然是  系（参考文章《集合系的终极配方》），即对任意集合系  总有  ；而当  是  系时，两者相等。

角度2

已知集合系  是  系，集合系  是包含  的  系，则：  .

即  系  包含  的最小  域 ，毕竟  是包含  的最小  系，自然是  的子集。

二、相关证明（上）

接下来证明  定理。前面已经说过，文章《集合系的终极配方》指出  域也是一类  系，因此  是包含  的  系，既然  是包含  的最小  系，自然有：

证明思路

剩下的就是证明反方向的  。同样由文章《集合系的终极配方》可知，既然  已经是  系，那就只需证明  是  系。

与文章《测度论的单调类定理》的证明方法类似，先证明  中任意元素与  中任意元素的交集运算结果仍然在  内，然后借助上述结果证明  对交集运算封闭，从而证明  是  系。

在集合系中取任意的集合  ，将  中与集合  的交集运算都封闭的集合筛选出来组成集合系  ，即：

显然：

同时有：

结论1

对于任意的  ，  是  系，且  .

证明

作为  系，  明显对交集运算封闭，因此有  。接下来证明  是  系。

1. 明显有全集  。

2. 对于  任意的集合  和  ，如果  ，须证明  。

由条件  可知：  ；再由  可知：  ；此时根据  系的定义可得：

 对其进行变换： 

因此  ，从而根据  的定义可知  。

3. 对于  中任意的单调不减序列  ，须证明  。

由条件  可知  ；再由  可知  也是单调不减序列；此时根据  系的定义可得：

 对其进行变换： 

因此  ，从而根据  的定义可知  。

结合上述3点，可知  是  系，证毕。

既然  是包含  的  系，因此有  ，结合式(2)可知：

即，对于任意的集合  ，集合系  中任意元素与集合  的交集运算结果仍然在  内。

三、相关证明（下）

接下来的事情就好办了，几乎和上一节的证明过程一模一样。对任意的集合  ，将  中与集合  的交集运算都封闭的集合筛选出来组成集合系  ，即：

结合式(3)可得：

同时也有：

结论2

对于任意的  ，  是  系.

证明

与结论1的证明方法几乎一样：

1. 明显有全集  。

2. 对任意的  ，如果  ，须证明  。

由条件  可知：  ；再由条件  可知：  ；此时根据  系的定义可得：

 对其进行变换： 

因此  ，从而根据  的定义可知  。

3. 对于  中任意的单调不减序列  ，须证明  。

由条件  可知  ；再由  可知  也是单调不减序列；此时根据  系的定义可得：

 对其进行变换： 

因此  ，从而根据  的定义可知  。

结合上述3点，可知  是  系，证毕。

因式(4)的  以及  是  系，可知  ；同时又因式(4)的  ，可知  ，也就是：集合系  中任意元素与集合  的交集运算结果仍然在  内。由集合  的任意性可知，  对交集运算封闭，即  也是  系。

集合系  既是  系又是  系，那必然是  域；而  是包含  的最小  域，因此有  。结合式(1)，从而有：

这样就完成  定理的证明。

四、小结

关于  定理，任佳刚、巫静老师在《测度与概率教程》书中都忍不住地夸E.B.Dynkin。在后续的学习中将会发现，虽然  系的定义很奇葩，但构造起来却很方便，从而让我们在寻找  域时，仅需关注相关集合系是否为  系即可。说得我都忍不住也要跟风夸两句。

但说实在的，这些感受还真的只能在完成测度论学习后才能体会到。现在估计就是觉得枯燥、枯燥、枯燥。现在所看到的测度论书籍，通常很早就把单调类定理拿出来讲，很容易就把人劝退。

上一篇系列文章《测度论的单调类定理》提到的单调类定理基础版本，以及这一篇文章所讲述的单调类定理改进版本——  定理，都是从集合系的角度讲述的测度论基本定理，因此都被称为单调类定理的集合形式。

在 "集合形式" 的基础上，还有更为强大的 "函数形式"。后续文章将继续给大家讲讲。