测度扩张有意义吗?

本文为系列文章 “测度的扩张” 的第一篇。该系列文章将完整、详细地讲述测度扩张的相关知识。

前置文章：

所需知识：集合运算

测度的扩张，直白地讲，就是将一个集合系上的测度扩张到比它更大的集合系上去。如果用数学语言描述，则是：

定义

已知  是集合系  上的测度，  是集合系  上的测度，且  ；如果对每个集合  都有  ，则称测度  是测度  在  上的扩张。

关于测度，请参考文章《最重要的集函数：测度》。扩张后的测度，它的定义域更大，且在原集合系上的取值则还是原测度的值。但是，为什么要扩张测度？这样做是否有意义？

一、扩张的意义

文章《最重要的集函数：测度》提到，当测度所在的集合系为半环时，就会具备集函数的很多性质，如：有限可加、半可列可加、可列可加性、上/下连续性等。为了用上这些性质，我们希望至少能将测度所在的集合系扩张为半环。

但即使已经是半环，运用这些性质的前提都是并集、可列集合运算的结果仍在定义域的集合系内。如果能将集合系扩张为  域，那这些前提条件就都能满足了。

借用前面定义的符号，不妨设测度  所在的集合系为  。如果要将测度  扩张到包含  的  域上，至少也得将它扩张到  上吧？（参考文章《我要变大，不要变圆》）

那么，怎样操作才能扩张呢？这个问题先放一边，我们还有个更重要的问题需要解决：

更重要的问题

将测度  扩张到  上，会有很多种扩张吗？

如果  上有很多不同的测度，它们在  上的取值都跟测度  一样，那它们都算是测度  在  上的扩张。这种情况下，对于  且  ，其测度值  就会有很多种取值。如果说，我们可以按需选择自己想要的取值，那是否会觉得有点太随意？

比较幸运的是，在通常情况下，测度的扩张都是唯一的：

定理

设  是一个  系。如果  上的测度  和  满足：

  对每个  都有  ；

  存在两两不交的  使得  且  ；

则对任何  都有：  。

定理指出，当测度  所在的集合系为  系（参考文章《集合系的常见配方》），且全集  可以划分为可列多个有限测度值的集合时，扩张得到的测度就是唯一的（因为所有集合的测度值都是一样的）。

二、唯一性的证明（上）

接下来看看怎样证明上述定理。看到定理条件里的  系，自然会联想到单调类定理（参考文章《单调类定理（集合形式）》）。为此，我们要构造一个包含上述  系的新集合系  ，并且证明  是  系，从而凑齐单调类定理的使用条件。

集合系  里面必然存在有限测度值的集合，不然研究起来就没意思了。任取集合  且  ，令

则易见

且有：

结论1    集合系  是  系.

证明

1. 明显有全集  。

2. 对于  任意的集合  和  ，如果  ，须证明  。

由条件  ，  以及测度在  上满足单调性（参考文章《最重要的集函数：测度》），可知：

再由  可知：  ；根据测度在  上满足可减性（参考文章《最重要的集函数：测度》），结合上式可得：

同时又有： 

结合式(2)和式(3)可得：

根据  的定义可知  。

3. 对于  中任意的单调不减序列  ，须证明  。

由条件  可知  ；再由  可知  也是单调不减序列；此时根据测度的下连续性可得：

同时又有： 

结合式(4)和式(5)可得：

根据  的定义可知  。

结合上述3点，可知  是  系，证毕。

既然  是  系且  ，由单调类定理（或  定理）可知：

结合式(1)可知  ，即：

结论2

对每个满足  的  ，以及每个  ，都有：

三、唯一性的证明（下）

我们继续完成定理的证明。取定理条件(2)的  ，对任何集合  都有：

还有：

由于  两两不交，  自然也两两不交，且测度  在  上满足可列可加性，从而由式(7)得：

再由式(6)得：

同样因为  也是  上的测度，也有：

整理一下就是：对任何集合  都有  ，证毕。

四、小结

这篇文章主要是讲述测度扩张在通常情况下是唯一的。在这个前提下，我们才会觉得测度扩张是有意义的。后续的系列文章，将讲述测度扩张的具体方法。