最重要的集函数：测度

本文为系列文章 “集函数的性质” 的第八篇、结束篇。该系列文章尝试将集函数的几种性质关联起来，看是否能留下更深刻的印象，从而能更好地理解后续的测度、符号测度等特殊集函数之间的不同。

系列文章：

前置文章：

所需知识：集合系的扩张、二元组、三元组

来到系列文章的结束篇，得好好总结一番。虽然前面的系列文章已经整理好集函数各类性质之间的联系（如下图），但总感觉没有落到实处。索性将测度论中遇到的几类集函数介绍一下，看看这些特殊的集函数与各个性质之间的联系，也顺便熟悉一下最重要的集函数——测度。

一、预测度

预测度是要介绍的第一类集函数，也是最简单的集函数。定义如下：

定义

已知集合系  且空集  。如果  上的非负集函数  满足  ，则称  为  上的预测度。

预测度这个名字和定义是在胡晓予老师的《高等概率论》上看到的（第16页），程士宏老师的《测度论与概率论基础》也有用到这一类集函数（第33页），但没有明确指出它就是预测度。

从定义可以看出，预测度就是兼具 “空集函数值为0” 与 “非负性” 两种性质的集函数。它主要用来构造外测度（后面内容会介绍），至于如何使用预测度来构造外测度（以及这样做的目的），后续也会有系列文章介绍。

二、内测度

程士宏老师在《测度论与概率论基础》的第97页提到一类特殊的集函数，描述如下：

设  是一个符号测度，对任意的  ，记 

不难看出：   是  上非负、单调且满足  的集函数。

程老师并没有指出这类集函数就是内测度（先别管这里提到的符号测度）。而在Paul R. Halmos的《Measure Theory》的58页也提到类似的集函数：

Paul指出，程老师所描述的  是一类内测度（inner measure）。其实这类集函数目前用的不多，在这里介绍它也只是为了把相关的性质联系起来。如果觉得信息不够不好理解，麻烦大家先略过：

三、外测度

外测度是非常重要的一类集函数，通常用来将集合系上的测度扩张到 “最小生成的  域” 上面。关于  域请参考文章《集合系的终极配方》，至于 “测度扩张” 后续将有相关的系列文章进行介绍。

任佳刚、巫静老师《测度与概率教程》的第31页有提到外测度，但没有给出一般的定义；胡晓予老师《高等概率论》的第8页、程士宏老师《测度论与概率论基础》的第33页都通过外测度的相关性质给出定义：

定义

已知集合系  由全集  的所有子集组成（即  的幂集  ），而  是集合系  上的集函数，如果  满足以下性质：

1. 空集函数值为  ，即  ;

2. 对任何  有  ；

3. 对任何  有  ；

则称集函数  为全集  上的外测度。

需要注意的是，外测度对集合系有特别的要求：必须是全集  的幂集。此外，由其定义的第1、2点可知，外测度必然是非负的。定义第3点说的则是半可列可加性，参考文章《可列可加性的“一半”》。因此得到外测度与集函数性质的相关联系：

四、符号测度

相对于后面将要介绍的测度，符号测度对集函数性质的要求相对较少，但测度论中相关内容的难度却有质的飞跃，例如后续将要提到的Radon-Nikodym导数、Lebesgue分解以及条件期望，都是高等概率论的重要基础。在这我们仅需要了解一下相关定义，看看它与集函数性质的关系即可：

定义

已知集合系  且空集  ，而  是  上的非平凡集函数，如果  满足可列可加性，则称集函数  为符号测度。

符号测度对集函数性质的要求非常简单，仅仅要求满足可列可加性。而由于空集  ，根据系列文章《集函数在空集上的取值》可知：

因此得到符号测度与集函数性质的相关联系：

五、测度

终于来到最重要的集函数：测度。测度是对长度、面积、体积这一类测量概念的抽象及推广。在系列文章《集函数的非负性和单调性》就提及，要求测度同时具备有限可加性和单调性是非常合理的。但仅凭这两种性质，还谈不上 “测量概念的推广”。我们看看相关的定义：

定义

已知集合系  且空集  ，而  是  上的非负集函数（非平凡），如果  满足可列可加性，则称集函数  为测度。

可以看出，测度也是一类符号测度，比起符号测度也只多了一项要求：非负性。于是得到测度与集函数性质的相关联系：

六、测度的强大

文章到这，可以看到集函数的大部分性质已经和具体某类集函数关联起来，只剩下上/下连续性。通过前面的系列文章可知，当测度所在的集合系为半环时，测度自然也满足上/下连续性，同时还满足单调性、半可列可加性。因此所有性质都能够和测度关联起来，可见测度多么强大：只要是半环上面的测度，上述所有集函数性质都可以随便运用，更何况是  域？

既然已经知道什么是测度，我们就可以引入可测空间和测度空间的相关概念：

定义

对于全集  （或称空间），加上由它的子集形成的一个  域  ，形成的二元组  称为可测空间；再加上  上的一个测度  ，三位一体形成的三元组  称为测度空间。

关于定义中 “可测” 这个术语，引用一下任佳刚、巫静老师的相关描述：

“可测” 这个术语可能会给人一头雾水——比如，就的确给过本书的作者一头雾水，当我们初学测度论的时候。为什么叫可测，可以测量什么，拿什么测量？

我们相信这个术语是从某个集合相对于某种尺度的可测量性衍生出来的，这在我们学习了测度的扩张后也许会变得好理解一下。数学往往是这样，一个概念所用的术语，可能会与其脱胎出来的母体看不出太多的表面联系了，不是吗？

——任佳刚、巫静的《测度与概率教程》

测度论的各种重要应用，如积分、随机变量、期望与条件期望等，都是建立在测度空间之上。在进行相关讨论时我们必须知道，问题相关的测度空间是什么？实际应用中，如何找到或构造问题对应的测度空间？这将是我们后续需要讨论的话题。