集函数的连续性（上）

本文为系列文章 “集函数的性质” 的第六篇。该系列文章尝试将集函数的几种性质关联起来，看是否能留下更深刻的印象，从而能更好地理解后续的测度、符号测度等特殊集函数之间的不同。

系列文章：

前置文章：

所需知识：数列的极限

前面的系列文章已经提到集函数的 “上连续性” 和 “下连续性”，当初刚接触到这部分内容，实在是太枯燥了。或许可以先看看文章后面的小结，了解一下这两个性质的重要性，兴许可以提起一些兴趣。

类似于实函数的连续性，这两个性质都是在说：集函数如果满足该性质，集合序列极限的函数值，等同于函数值序列的极限。通俗一点说就是：集函数符号与极限符号交换位置。

一、定义

我们先看看两个性质的定义：

定义

已知  是  上的集函数，对任意可列个集合  ，如果  且  ，总有：

 则称  具有上连续性。对任意可列个集合  ，如果  ，总有：

 则称  具有下连续性。

细节一

从定义可以看出，这两个性质都是针对单调集合序列，而单调集合序列必有极限（具体参考文章《集合序列的极限》）：集合序列  必有极限  ，序列  必有极限  。这两个性质并不要求集合系  对单调集合序列的极限封闭；定义中强调的是：  ，即性质只针对 “极限仍在集合系里的单调集合序列” 而言。

细节二

定义中要求  ，为什么呢？

如果集合序列  中每一项的函数值均为  ，那就必然有  。这类序列研究起来也就没什么意义。为此，序列中必须有一项为  。

对于极限值  ，可以不用管  时的函数取值。既然这样，倒不如直接考虑从  开始的序列，索性让  作为第一项，于是就有了：  。

细节三

那这两个性质，怎样体现 “集函数符号与极限符号交换位置” ？定义中：

把集合  改用序列的极限来表示：

这下可以看出 “集函数符号” 与 “极限符号” 怎样交换位置了吧？

关于定义，还要啰嗦一下它的箭头：一会往上，一会往下，晕了没？也许可以这么记忆：从上面指出来的箭头就是上连续性，从下面指出去的箭头就是下连续性。

一、从可列可加性到上连续性

我们继续前面系列文章的话题，借助集函数的连续性看看有限可加性到可列可加性的 “距离”。可列可加性和连续性的这层关系很不直观，但确实是存在的。我们先看上连续性：

结论1

已知  是半环  上满足可列可加性的非负集函数（非平凡），则  同时满足上连续性。

为了证明  满足上连续性，我们对半环  中任意的符合定义的集合序列进行讨论：已知  ，  且  。目标是证明：

由于  满足可列可加性，为了能够用上可列可加性，必须找到一类集合，这类集合能够表示为 “半环  中可列个两两不交集合的并集”：

明细1

定义集合序列：  ，可知  两两不相交，且有：

因半环  对子集差运算不一定封闭，式(1)中的  不一定有  ，但肯定存在有限个两两不相交的集合  ，使得：

于是式(1)可以进一步变换为：

由文章《神奇的希尔伯特旅馆》知：可列个可列集的并集仍然是可列集，而式(2)的  可以看作可列个有限集的并集，那当然还是可列集，即集合  可以表示为  中可列个集合的并集，而且还是两两不交的。这样，我们就可以使用可列可加性了：

明细2

由式(2)以及  的可列可加性可得： 

而当  时则有： 

由于  满足可列可加性，根据系列文章《集函数在空集上的取值》结论5，知  满足有限可加性（这里有个细节，不啰嗦）；同时因 是半环  上的非负集函数，再根据文章《集函数的非负性和单调性》结论2，知  满足单调性，则由  可得：

再由式(4)可知：

因此由数列极限的性质可得：

具体是什么性质这里就不啰嗦了，有意见就给我私信。

最后结合式(3)和式(5)可得： 

至此，也就说明  满足上连续性，完成了结论2的证明。

二、从上连续性到可列可加性

既然可列可加性蕴含上连续性（结论1）和有限可加性（文章《集函数在空集上的取值》结论5），那是否能够反过来，从有限可加性和下连续性推导出可列可加性呢？直接上结论：

结论2

已知  是环  上满足有限可加性的有限集函数（非平凡），如果  在  上连续，即对任何满足  的集合序列  ，有： 

则  同时满足可列可加性。

嗯？怎么只是要求集函数  在  上连续？而不是前面定义中 “完整的” 上连续！此外，结论2并没有要求  是非负的，而是要求它是有限的。

我们来看看，怎样证明  满足可列可加性，即：对于任意可列个两两不相交的集合  ，如果  ，如何证明：

接着，我们要往结论2的条件靠拢，找到合适的单调不增集合序列：

明细3

定义集合序列： 

因  是环，知  ，且有： 

因  满足有限可加性，由系列文章《集函数在空集上的取值》知  同时满足可减性，再加上  是有限的，满足可减性的使用条件，则由式(6)可得：

同时，因  在  上连续，由式(7)可得：

再结合式(8)可得：

也就是：

这就说明，集函数  满足可列可加性，证毕。

三、小结

前面的文章已经看到有限可加性与可列可加性之间的一种 “距离”：有限可加性在非负性、半可列可加性、环的加持下，可以晋级为可列可加性。而这篇文章则看到了另一种 “距离”：有限可加性在有限的、在空集  的上连续、环的加持下，也可以晋级为可列可加性。这种 “距离”，在后续证明 “集函数是可列维乘积空间上的测度” 时将要用到。

此外，正如文章开头所说，上连续性的最直观作用就是集函数符号与极限符号交换位置，后续在 “独立随机变量序列的三级数定理” 那就有相关应用。

还有，上连续性在帮助理清 “几乎一致收敛、几乎处处收敛以及依测度收敛” 三种可测函数收敛性的关系时，也起到重要作用。