可测映射的简单判别法

本文为系列文章 “可测函数的结构” 的第二篇。该系列文章将尝试换种方式来讲述可测函数的基础知识，使之更好地理解和掌握。

系列文章：

前置文章：

所需知识：集合运算

上一篇系列文章《一次因"随机变量"开启的数学之旅》给出了概率论课程中随机变量的定义：

定义1

设  是一个概率空间，对于  ，  是一个取实值的单值函数；若对于任一实数  ，  是一随机事件，亦即

则称  为随机变量。

为了解释随机变量，又匆匆忙忙地介绍了测度论中的相关概念：

定义2

给定可测空间  和  ，以及从  到  的映射  。如果

则称  为从  到  的可测映射或随机元。

特别地，从可测空间  和  的可测映射称为  上的可测函数；从可测空间  和  的可测映射称为  上的有限值可测函数。

并指出：随机变量就是概率空间  上的有限值可测函数。当时还提出一个问题：

问题1

为什么可测映射值域上的集合系也要求是  域，以至于映射的值域也必须是一个可测空间？

这个问题仍然得留到后续的系列文章来解答。

但在这个问题的基础上，根据定义2的式(2)，概率空间  上的随机变量  必须满足：

要求  包含整个  集合系  的所有原像。而根据定义1的式(1)，随机变量  仅须满足：

为方便叙述，记  ，于是定义1仅要求  包含集合系  的所有原像。同时由文章《最重要的集合系: Borel Sets》可知：

说明式(4)弱于式(3)，定义1并没有定义2那么严格。于是引出另一个问题：

问题2

概率论课程中随机变量的定义（定义1）与基于测度论的定义（定义2）是一致的吗？

这篇文章主要是解决这个问题。

继续由文章《最重要的集合系: Borel Sets》可知，对于定义1中的集合系  有：

及  集合系  是集合系  的最小生成  域。那如果我们能证明，只要  包含  的所有原像，就能包含  的所有原像，那不就说明上述定义1与定义2的一致的？在这之前，先给出相关定理：

定理1

已知从  到  的映射  ，对于  上的任何集合系  ，总有：

该定理指出，对于  上的任何集合系  ，不管是先求原像  再求最小生成  域，还是先求最小生成  域再求原像  ，两种操作的结果都是一样的。也就是：原像操作与最小生成  域操作是可以交换的。

接下来看看怎么证明这个定理。

1. 证明  

我们知道  作为  域，必然同时满足  域定义所需的3个条件：

  包含全集

  对补集运算封闭

  对可列并集运算封闭

而由文章《集合原像与集合运算的关系》可知，原像操作与上述集合运算是可以交换位置的。也就是说，  的原像  依然满足上述3个条件，所以  是一个  域。

此外，由  ，可知  ，所以  是一个包含  的  域。而  又是包含  的最小  域，因此可知：  ，第一部分证毕。

2. 证明  

这个方向的证明就相对麻烦一点了。我们把原像在  的  的子集全部拎出来组成一个新的集合系：

明显有：

接下来证明集合系  是  域。

a.   对包含全集  

由映射的定义可知：

而  作为  域必然包含全集  ，所以有：

因此可得：  。

b.   对补集运算封闭

对于任意集合  ，由  的定义知：

因  域对补集运算封闭，可得：

由文章《集合原像与集合运算的关系》可知，原像操作与补集运算是可以交换位置的，所以有：

上式说明  。由集合  的任意性可知，  对补集运算封闭。

c.   对可列并集运算封闭

对于任意集合序列  ，由  的定义知，对任意的  总有：

因  域对可列并集运算封闭，可得：

同样由文章《集合原像与集合运算的关系》可知，原像操作与不限集合数量的并集运算是可以交换位置的，所以有：

上式说明  。由集合序列  的任意性可知，  对可列并集运算封闭。

综上所述，可知集合系  是一个  域。结合式(5)即可知道

根据集合系  的定义，  中所有集合的原像都在  里，即：

第二部分证毕。

根据两个部分的证明结论，可知  ，定理1证毕：原像操作与最小生成  域操作也是可以交换的。对于从  到  的映射  ，如果值域所在的可测空间为  ，通过定理1可知，  是使映射  可测的最小  域。

回来解决文章开头的问题2，沿用符号  。定义1已经保证  ，由于  是  域，从而有：

而定理1又指出：

结合前面指出的  ，可知：

与定义2的式(2)、(3)一致。所以，在定理1的帮助下，关于随机变量的定义1与定义2是等价的，问题2解决！

回过头再来看一下问题2的解决过程：对于映射  ，只需按定义1所说的满足：

就能保证：

从而使之成为随机变量。而这就给出了可测映射的简单判别法：

定理2

设  是  上的任意集合系，则映射  是从  到  的可测映射，当且仅当：

这个定理按照上述问题2的解决过程即可证明。这个可测映射判别方法当然对可测函数有用。

文章到这，告一段落。后续系列文章将继续讲述可测函数的结构。