Doctor Curious 第七期：引力形状因子与核子结构 | 中科院理论物理研究所
The following article is from 中国科学院理论物理研究所 Author 童炫博
作者简介
童炫博，中科院理论物理所2018级博士研究生，导师为马建平研究员，研究方向为微扰量子色动力学和强子结构。
1、引言
近年来，引力形状因子的研究受到强子物理界的广泛关注。作为QCD能动量张量的矩阵元，它是探索强子内部结构的重要探针，蕴含着强子的质量、自旋、内部力分布等重要的物理信息，反映了强子内部夸克胶子相互作用的动力学。它可以通过深度虚康普顿散射(DVCS)，深度虚介子产生(DVMP)等物理过程进行测量，是JLab 12GeV 实验，以及将来中国或美国电子-离子对撞机的主要科学目标之一。本文将简要介绍引力形状因子以及其在核子结构研究中的应用。
2、引力形状因子
引力形状因子，从定义上来说，是QCD能动量张量的形状因子。那么我们首先从能动量张量出发，考虑经典引力场背景下的QCD作用量，它的形式为 其中 是引力场 行列式, 是弯曲时空背景下的QCD的拉氏量。对引力场做任意无限小变换下的变分， 即可以得到QCD的能动量张量
它包含夸克场和胶子场，关于洛伦兹指标 是对称的。
如果我们进一步考虑一个处在弱引力背景下的强子系统 ，让引力场围绕闵氏平直时空度规场 做微扰展开 这样做的结果是得到一个平直时空下的作用量，其中微扰引力场 可以等效于在一个平直时空下自旋为2的粒子场，对应的粒子称为引力子。有趣的是，在微扰展开后的作用量里，可以发现能动量张量与引力场以如下形式耦合，
这意味着，当强子 和(虚)引力子发生弹性散射时，强子内部夸克胶子将会以能动量张量的形式与引力子发生相互作用。然而，由于强相互作用色禁闭效应，我们无法处理被强束缚的夸克胶子与引力子散射，只能研究能动量张量的强子转移矩阵元， 它描述了强子在外部引力场作用下的响应。当然，当强子的动量转移足够大时，其内部的夸克胶子会以近自由的形式与(虚)引力子发生相互作用，这是后话了。为了进一步研究，我们可以利用对称性，将上述矩阵元洛伦兹结构分解出来，每个结构会对应着一个形状因子，这就是所谓的引力形状因子，它只依赖一个洛伦兹不变量，即强子的动量转移平方。不同的形状因子蕴含着关于强子不同的物理信息。
在进一步介绍引力形状因子之前，我们先给出QCD能动量张量的具体形式，并讨论几点性质， 其中 是夸克场，而 是胶子场场强张量， 是协变导数。
注意到QCD能动量张量 被分为胶子部分 和夸克部分 ，这个划分是研究质子夸克和胶子结构的基础。这个划分是规范不变的，即 和 在规范变换下都是不变的。谈到规范不变性，读者可能会质疑上述表达式的完整性，因为我们知道在规范场论的协变量子化作用量中，会有鬼场和规范固定项的出现，相应的QCD能动量张量也应该有它们的贡献。然而，利用BRST变换，可以证明这些项在物理矩阵元中为零，没有观测效应，也不贡献引力形状因子。
值得一提的是，在一般的量子场论教科书上，能动量张量是由时空的平移对称性，通过诺特定理推导出来的，具有如下的形式， 这样得到的能动量张量叫正则(Canonical)能动量张量。一般来说它关于洛伦兹指标 交换不对称的。它与上面给出的对称化的能动量张量 相差一个整体的散度，即
其中 。可以证明这个散度项在物理矩阵元里不贡献: 因此，诺特定理给出各种守恒荷如哈密顿量，动量，角动量等价地由 表示。注意到QCD的正则能动量张量不是规范不变的，这是人们更愿意从对称化能动量张量出发讨论问题的重要原因，特别是研究夸克胶子结构的时候。
现在回到引力形状因子，它被定义为QCD能动量张量的矩阵元。不同自旋的粒子有不同的参数化形式，这里主要关注核子的情况，它是自旋为1/2的粒子，夸克或胶子引力形状因子可以被参数化为 其中 是粒子的质量， 和 是初末态粒子的动量, 为平均动量， 为动量转移， 。
对于质子来说，有4个独立的夸克胶子引力形状因子。它们都是关于 的洛伦兹不变量，包含着质子内部的不同信息，如下表:
引力形状因子的概念最早是Kabzarec、Okunch和 Pagels等人在上个世纪六十年代引入的，当时讨论的是总能动量张量的形状因子[1,2]。夸克胶子引力形状因子是季向东教授在1997年研究质子自旋起源时引入的[5]。下面我们参考季向东教授的两项著名工作分别就质子的质量和自旋结构两方面简要介绍引力形状因子的应用[3,5]。
2.1 质子质量起源
宇宙中大部分可视物质的质量都是由核子(质子和中子)携带的，它们构成了所有物质元素的原子核。在粒子物理标准模型里，核子是由QCD中夸克和胶子组成的复合粒子。虽然Higgs机制解释了夸克等基本粒子的质量起源，但它们的贡献大概只占了核子质量的10%，那么剩下90%的核子质量究竟来源于哪里呢？
根据狭义相对论，我们知道质量与能量是等价的，所以这些缺失的质量有可能来自核子内部的胶子和夸克的相对论性轨道运动。事实上，这些动能(Kinetic energy)贡献确实是存在的，而且可以在DIS过程中测量或者在格点场论中计算，然而，它们还不足以完全解释总的质量。
经典物理的图像似乎无法再帮助我们寻找质量的其他来源了，最后缺失的核子质量是来自QCD量子反常效应，是经典QCD拉氏量里的近似标度不变性被量子效应破坏的结果，由能动量张量的量子迹反常(trace anomaly)来描述，
其中 是QCD的 函数。
注:数学上，量子迹反常来自对 的求迹操作和重整化的不可对易性。例如考虑无质量QCD，简单直接地求迹会有 ，但在维数正规化 下，却得到 ，而 是紫外发散的，重整化后有，这就是所谓的量子迹反常。如果是有质量的QCD，迹反常会有夸克质量反常贡献 ，可以将其理解为对核子夸克质量贡献的量子修正。
在进一步解释之前，我们应该从理论上给质量一个更确切的定义。首先，根据狭义相对论的精神，粒子的质量是其在静止系的能量。在量子力学中，能量是哈密顿量算符的期望值。而在场论中，哈密顿量与时间平移变换有关，由能动量张量的 分量描述。因此，核子质量可以定义为 其中 是核子在静止系的动量。
那么我们可以如此理解质量中胶子量子迹反常贡献，例如在无质量QCD里考察一个时间平移变换 ，则哈密顿量由 决定。在经典的情况里，场和积分测度的变分会给出经典哈密顿量 。在量子水平上，我们需要重整化来处理紫外发散，而耦合常数 被重整化后，不再是标度无关量，而依赖于重整化标度 。如果选择一种破坏时间平移不变性的正规化方案，如格距截断，则时间方向的重标度会使重整化标度改变，而导致 改变。所以除了 外，我们还有来自 的贡献，给出 ，量子迹反常，我们可以称之为量子反常能[4]。
按照上面的讨论，核子质量可以完整地分解为以下的贡献， 其中 是夸克和胶子的动能贡献， 是夸克质量贡献，而 是胶子量子反常能的贡献。各部分贡献对应的哈密顿量分别定义为 其中 . 理论上，上述分解的构造是非常 non-trivial 的，涉及对 的迹与无迹部分的分解、洛伦兹分析等，有兴趣的读者可以参考原始文献 [3]
引力形状因子是能动量张量的形状因子，由哈密顿量和能动量张量的关系，我们可以将上述核子质量各部分贡献与形状因子关联起来，具体关系为
其中 这里为了表达简洁，我们忽略了 高阶修正。
可见，核子质量的分配由引力形状因子 和 在 处的值决定。为了让读者粗略地对此有所感受，我们可以在核子的静止系 ，考察夸克胶子引力形状定义式 (11) 的 分量，有 因 , 正比于 的形状因子 不贡献，同时流守恒给出 ，所以 与 和 有关，而且 。需要强调的是上式不直接对应前文给出的任何一项核子质量贡献。
虽然核子的质量分解是在静止系下讨论的，但它的分配系数 和 本身是洛伦兹不变的，我们可以选择在任何合适的参考系和物理过程中去测量它。特别是，在质子的无限大动量参考系下， 可以和部分子分布函数联系起来，
后者可以在电子-质子的深度非弹性散射过程中进行测量。 描述了在质子里找到动量分数为 的夸克胶子的概率，因此 实际上给出了质子运动时夸克胶子携带的动量份数。
另一方面，决定量子反常能贡献的 形状因子仍没有可靠的实验观测手段，这是核子物理的热点问题之一。虽然人们把寻找 或 反常的希望寄于 近阈值的光致产生( )等重夸克偶素过程，并以此为出发点作了很多现象学的研究，但目前理论方面的研究还没有给出一个乐观结果。
值得庆幸的是，质子的质量分解的贡献可以在格点场论的框架下直接计算。目前给出的大概结果是
2.1 质子自旋起源
另外一个关于核子结构的基本问题是它的自旋是如何由夸克和胶子贡献的。1987年，欧洲 子合作组(EMC)基于夸克模型在极化深度非弹性散射实验中测量了夸克自旋对质子自旋的贡献，发现它的贡献几乎为零。这个结果震惊了当时的物理学界，被称为质子自旋“危机”。这个问题随即引发一系列理论上和实验上的研究。我们认识到，QCD对质子内在结构的构造远比直观的夸克模型复杂。要探究质子自旋的起源，首先应该有一个可靠的从第一性原理出发的自旋分解方案，而物理上有意义的方案应该满足实验可观测和参考系无关的条件。这里我们简要介绍季向东教授关于质子纵向自旋的分解方案，它与 引力形状因子密切相关[5]。
首先，我们从QCD的角动量算符出发 因为 可分为胶子和夸克部分，所以总角动量算符可以表示为 其中夸克和胶子角动量算符为
其中 已经被进一步分为夸克自旋 算符和夸克轨道角动量算符 。值得注意的是，各项算符的定义不依赖于具体的参考系，而且是规范不变的。
夸克胶子对质子自旋贡献定义为对应角动量算符在质子态的期望值。这里只考虑质子纵向极化的情况。不失一般性，可以假设沿着 方向运动，有动量 ，考虑纵向方向上角动量
质子自旋为1/2，所以胶子和夸克自旋贡献之和应该满足
夸克胶子角动量贡献可以通过下式与引力形状因子联系起来，
可以得求和规则 这意味着，引力形状因子 告诉了我们在质子里的夸克和胶子各自贡献了多少部分的自旋。
实验上， 可以和广义部分子分布函数 和 联系起来 后者可以在DVCS和DVMP等过程测量，是JLab和未来的电子-离子对撞机的核心目标之一。
如果考虑夸克自旋和轨道角动量贡献，那么质子的纵向自旋可以再细分为 特别是，在选定某种物理规范之后， 可以表达为质子内夸克的螺旋度分布 这也是为什么 被成为夸克自旋的物理原因。 可以在纵向极化深度非弹性散射中测量，轨道角动量则可以通过 间接得到。
除了实验，各项贡献可以在格点场论里直接计算，最新的结果显示 它们共给出94.6%的质子自旋(error bar:14.2%, GeV)[12]。
3、总结
本文从能动量张量出发介绍了引力形状因子，并介绍了它在核子质量和自旋结构的应用。我们首先讨论了核子质量的来源，说明它可以被分为夸克质量、夸克动能、胶子动能以及胶子反常能的贡献，其中胶子反常能是量子迹反常的结果。它们的贡献可以由引力形状因子 和以 决定。 可以在DIS过程测量，而决定迹反常的 还没有可靠的测量手段，是目前的热点问题之一。
在质子自旋方面，我们讨论了夸克胶子自由度对纵向自旋的贡献。引力形状因子 决定了质子自旋对夸克胶子角动量的分配，可以在DVCS等过程中测量。另外，夸克角动量可以分为夸克自旋和夸克轨道角动量，其中夸克自旋贡献可以通过极化DIS过程测量。
关于引力形状因子的物理非常丰富，本文介绍的内容十分有限和简略，更详细的分析可以参考原始文献[3-6]。特别地，要了解更多关于质子自旋分解方案的，可参考[5-10]。引力形状因子在强子内部压力、剪切力分布中的应用可参考文献[10]。关于引力形状因子在大动量转移极限下的行为可参考[11]
参考文献
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