Doctor Curious 第九期：光力系统的量子纠缠 | 中科院理论物理研究所

作者简介

王洋洋，理论物理研究所16级博士，导师为王颖丹研究员，研究方向为光力系统。

早在1932年，Von Neumann已经完成对非相对论量子描述的基本元素。接着，在1935年，Einstein、 podolsky、 Rosen [1]和Schrödinger [2] 是第一批认识到量子世界最具“幽灵般”特性。这个性质说明一个复杂系统的态矢不能表示成单个系统的态矢乘积的形式，这种现象就是量子纠缠。与经典物理不同，它揭示量子规律的非定域性，强调了复杂系统中各个子系统之间的内在统计规律。

1、量子纠缠

 对于多个子系统构成的复合量子系统，如果复合系统的态矢可写成各个子系统量子态的直积形式，则复合系统是可分离的态；如果复合系统不能表示成各个子系统量子态的直积形式，则称这样的态为纠缠态。

一般来说，纠缠态分为纠缠纯态和纠缠混态两类。在数学上，纠缠纯态可表示为：

而纠缠混态表示成：

其中  表示复合系统的密度矩阵,  表示复合量子系统中的子系统的约化密度矩阵  

量子纠缠反映量子系统在空间上的非局域关联性，是量子系统本身属性，与表象无关。常见纠缠态有Bell态，GHZ态，W态等。

2、量子纠缠的度量

 为了可以给出量子系统纠缠态的程度，人们引入了纠缠度的概念。从不同角度出发，纠缠度有很多定义，通常地，纠缠度的定义需满足这几个条件：（a）纠缠度为非负值且可分离态的纠缠度为0；（b）系统进行局域幺正变换，不改变纠缠度；（c）纠缠度对直积态满足叠加性。常见的纠缠度量有线性熵、 Concurrence（并发度）、Negativity（负值度）等。

1） 线性熵定义[3]:

或

其中  是系统的密度矩阵，N是密度矩阵的维度。线性熵取值范围为[0,1]。

2）在两体纠缠中，Wootters等人提出了Concurrence来度量  维两比特纠缠[4], 其定义为：

其中  是系统的密度矩阵,     是泡利矩阵，   是非厄米矩阵  本征值的平方根。Concurrence的取值范围为[0,1]。

 3）Negativity 是由G.Vidal 和R.F.Werner 根据部分转置正定性判据提出的纠缠度量方法[5]，其定义

其中  是两个子系统A和B的复合密度矩阵，  和  表示对子系统A和B的部分转置矩阵，  表示矩阵的迹范数。

3、量子纠缠的应用

由于量子纠缠的非定域性特征，使其成为了量子信息学中不可或缺的核心资源。量子纠缠可以被操控，传播，控制和分发。例如：基于BELL理论的量子密码学，量子密集编码、量子隐形传态等，这些研究相应地也在实验上被论证。其次，量子纠缠促进了量子计算的发展，如基于测量方案的单向量子计算和线性光学量子计算。同时，量子纠缠也为理解超辐射、超导、无序系统等许多物理现象提供了新的见解。因此，产生量子纠缠态一直是量子物理研究热点[6]。至今，量子纠缠已在各种物理系统中被观测到，如光子、原子、分子和超导电路等，实现从微观系统到宏观设备。但科研人更想实现宏观机械纠缠，因为这样的纠缠不仅可以揭示宏观量子效应，也可以帮助我们阐明经典世界与量子世界之间的界限。

4、光力系统中纠缠的产生

光力系统主要探究的是电磁场和机械模式之间的相互作用[7]，既对很小的力, 位移、质量、加速度具有高度灵敏的光学探测，也易被激光操控，可探测机械运动，产生光和机械运动的非经典态。然而，由于光力系统极易受环境影响，存在不可避免的退相干和耗散机制。一种实现纠缠的方式是通过光力辐射压，利用一个光机械干涉仪或者光力接口的量子干涉；另一种是一个非简并的非线性过程产生，如参量下转换和四波混频；近来，更多方案是利用热库操控途径，通过控制目标态的耗散，使得耗散动力学弛豫到想要的稳态。通常，需要两束驱动光才能产生想要的机械热库。比如：基于热库操控，借助两个腔的耗散在理论上实现两模机械振子压缩态。紧接着，借助一个机械振子的两腔纠缠或者借助一个光腔的两个机械振子的纠缠被理论提出。之后，Woolley 和Clerk 利用单个的热库冷却两个波戈留波夫模式实现两模机械振子压缩态。2018年低，基于上述理论方案，在实验上制备两个机械振子稳态的机械强纠缠。

这里，我们简单介绍下上述理论方案两体纠缠产生的原理。对于三模系统，以两个光学腔和一个机械振子为例[8]，两个光学腔分别在红、蓝两束失谐光驱动下，系统哈密顿为：       

   表示机械振子和微腔的湮灭算符,  表示机械振子频率,  分别表示两个光学微腔的频率,  表示第i个微腔与机械振子的单光子耦合强度。上述哈密顿经过一般的线性化  和适当的旋转框架之后，哈密顿变为：其中  通过定义新的Bogoliubov 算符：   是压缩系数，  是压缩算符。这样很清楚看到  的基态是两模压缩态，即    是腔模  的真空态。因此，冷却  就可以得到  之间的纠缠。在  表象下，线性哈密顿变为： 其中  , 模式  与系统是退耦合。在好腔条件下，反旋波相互作用可以忽略。这样，哈密顿  就是标准冷却腔的相互作用，可产生一个稳态纠缠态。上述是对系统物理解释，一般还需要通过求解海森堡-郎之万方程或者主方程给出解析和数值结果。
通常，很多纠缠方案都严格要求光力系统的工作区域是深度好腔条件，即机械振子频率远大于腔的衰减  对于这样光力系统，反旋波相互作用就可以忽略掉。然而，就制造技术方面，很难实现高精细机械微腔。另一方面，从实际实验角度出发，远离好腔条件意味着有一个大  可以利用小的驱动强度实现更大有效的腔-机械振子的耦合。目前，三种方式可以突破解析边带的限制：新颖耦合机制，参数调制和杂化系统。这些方式，大家感兴趣可以自己查看相关文献[7,9]。

综上，我们简单介绍量子纠缠概念、纠缠度量以及量子纠缠的应用，并介绍了如何在光力系统中产生纠缠，希望可以让读者对光力系统的量子纠缠有初步的了解。

参考文献

1. EINSTEIN A, PODOLSKY B, ROSEN N. Canquantum-mechanical description of physical reality be consideredcomplete?[J/OL]. Phys. Rev., 1935, 47:777-780.

2. Schrödinger, E., 1935, Naturwiss. 23,807.

3.   Wei T-C, Nemoto K, Goldbart P M, et al.Maximal entanglement versus entropyfor mixed quantum states[J]. Phys. Rev. A,2003, 67 : 022110.

4.   Wootters W K. Entanglement of formation of anarbitrary state of two qubits[J].Phys. Rev. Lett., 1998, 80 : 2245-2248.

5. Vidal G, Werner R F. Computable measureof entanglement[J]. Phys. Rev. A, 2002,65 : 032314.

6. Ryszard H, Pawel H, Michal H, and KarolH. Quantum entanglement[J]. Rev. Mod. Phys., 2009, 81: 865.

7. Aspelmeyer M, Kippenberg T. J. and MarquardtF. Cavity optomechanics[J]. Rev. Mod. Phys., 2014, 86: 1391.

8.  Y-D Wang，A AClerk. Reservoir-Engineered Entanglement in Optomechanical Systems[J]. Phys.Rev. Lett. 2013, 110: 253601.

9.  Y.Guo, K. Li, W. Nie, and Y. Li, Phys. Rev. A, 2014, 90: 05384

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