【好书荐读】梁灿彬教授《量纲理论与应用》
内容简介
本书详细讲述量纲理论，包含了第一作者北师大梁灿彬教授60余年来的研究成果，以及第二作者北师大曹周键近20年来的重要贡献。全书特别强调分清量与数，指出所有物理书上的公式几乎都是数的等式而非量的等式(由于从未有人定义过量的乘积，量的等式其实并无意义)。第3章详细讲解了我们对于量的乘积以及量的求幂的自创定义，使得量的等式从此获得明确意义。第7章在此基础上讨论了量的等式与数的等式形式相同的条件。第8章讲授定理，该章及后续各章含有该定理的大量应用例子。第10章还以自创方式严格论证了萌芽于牛顿时代并在至今的工程实用中常用的“相似论”。
前言
我在大学二年级 (1956年) 学习电磁学时，老师讲了一点关于“量纲”的问题，我没听懂，晚上就去找老师答疑。但老师也讲不清楚，使我感到“越答越疑”，只好下定决心自我钻研。从此，我每年 (包括毕业留系任教后) 都“忙里偷闲”，时不时地抽点时间刻苦思考量纲问题 (并认真拜读当时能找到的一两本参考书)，不断取得小步进展，逐渐形成了我自己关于量纲问题的一个 (远非完整的)思想。我还喜欢找一些学习优秀的学生 (特别是研究生) 对我的量纲思想进行讨论，或多或少总有收获。例如我的前学生高思杰 (现任北师大物理系教授)，他不但基本听懂了我的思想，而且曾一度提出用微分几何的“纤维丛”概念处理量纲问题，对我很有启发。经过不断改进，这一建议已被作为一个重要工具用浅显的讲法放入本书第3章 (参见图3-2、3-3 和3-4)。我们在此向高思杰教授表示谢意。后来，我的前学生曹周键 (现任北师大天文系教授) 在听懂了我的思想之后提出了许多卓越的想法和建议，和我一起又把我们的量纲思想向前推进了一大步。
近年来，我们又进一步查阅了大量的有关文献 (包含许多部关于量纲的专著)，在前人研究成果中尽量吸取养料，终于建立起关于量纲分析和量的等式的公理化体系，该体系大大降低了量纲分析使用过程中物理直觉的主导性，增强了数学工具的作用。
在上面提到的专著中，对我们帮助 (影响) 较大的有如下4 本。
1. Bridgman P W, 1931. Dimensional analysis. 2nd ed. New Haven: Yale University Press.
2. Taylor E S, 1974. Dimensional analysis for engineers. Oxford: Clarendon Press.
3. Barenblatt G I, 1996. Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics. Cambridge:Cambridge University Press.
4. 列.阿. 塞纳, 1959. 物理学单位. 嵇储凤,卞文钧, 译.上海: 上海科学技术出版社.
第1本专著[即Bridgman(1922)]出版之后不断获得好评，多次再版。南非科学院外籍院士、南非开普半岛科技大学终身正教授孙博华先生在其编著的《量纲分析与Lie 群》(2016)一书中说：“Bridgman的这本书是……世界上第一部量纲分析专著。量纲分析理论在之后没有什么变化，从现代的角度看，这本书一点都不过时。……1946 年，Bridgman由于高压物理的研究获得诺贝尔物理学奖。”事实上，我们从这本量纲专著确实获益良多，特此致谢。
但是也应该指出，我们现在出版的这本量纲专著在很多方面都与该书不同，我们不但提出了一系列非常必要的新概念(例如“量类”、“现象类”、“单位制族”、“同族单位制”、“原始定义方程”、“终极定义方程”、“终定系数”、“量乘”、“量的求幂”、“准同族制”、“几何高斯制”、“十字删除法”、“量纲配平因子”、“角数因子”……，而且还证明了一大批十分有用的新定理。所有这些内容都是Bridgman书完全没有的。
上面所引的4 本专著都明确指出很少有人注意到的一个结论：任何一本物理书中的几乎所有公式(例如f=ma)都应该看作数的等式——式中每个字母都代表一个数而不是一个量[例如f=ma中的f代表用力的国际单位牛顿测量问题中的量(譬如6牛顿)所得的数 (即6)]。我们非常赞成这种讲法。量m与量a并排放置只能代表两者的乘积，然而从来没有人对“量的乘积”下过定义。因此，如果坚持认为f=ma是量的等式，则它们并无意义！既然这么多人都觉得它 (们) 是量的等式，为了成全这一认识，我们决心给量的乘积下一个具有某种良好数学结构的定义。一旦有了这个“量乘”定义，就可以造就“量的等式”，而且这种数学结构允许我们对量的等式进行数学运算 (不但可以对量做乘除，而且可以对量求实数次幂)。经过一番艰苦努力，我们终于找到了“量的乘积”和“量的求幂”的一个比较满意的定义，并且证明了量乘 (和求幂) 结果依赖于所用的单位制族．——对同样的两个量，借助于不同的单位制族做量乘 (和求幂) 操作的结果可能不一样！作为副产品，这一重要结论使我们破解了一个长期困扰磁学界(乃至整个物理学界)的老大难问题，详见§3.5。引入“单位制族”这一新概念的重要意义由此可见一斑。
可以说，量乘 (和求幂) 定义的提出以及上述结论的证明是本书对量纲理论的最大贡献。
本书的自创内容很多，其中必然存在若干不适当甚至不正确的说法。写进书中的目的是抛砖引玉，引发国内外同行的讨论，以期对量纲分析这一块“尚待进一步开垦的半处女地”的“开垦”有所建树。此外，本书的既定主题使本书不得不涉及物理学的方方面面，其中许多方面 (例如流体力学) 都超出了作者熟悉的范畴，只好边学边写，常有捉襟见肘、勉为其难之感。写成的文字难免存在诸多疏漏甚至错误，恳请有关专家和读者不吝指正。
梁灿彬 2020年8月27日
于北京师范大学
目录
第一章目录
前言
第1章 单位制和量纲 1
§1.1 用单位把量转化为数 1
§1.2 数的等式和量的等式 3
§1.3 单位制 6
§1.4 量纲 9
1.4.1 量纲的明确定义 9
1.4.2 同量纲的非同类量等式 14
§1.5 量纲理论的逻辑体系 15
§1.6 量类的延拓 22
1.6.1 量的“正状态”和“负状态” 22
1.6.2 量类的最大延拓 23
1.6.3 量类是1维矢量空间 25
附录 矢量空间的定义(复习) 26
1.6.4 实数集是个特殊的量类 26
§1.7 前6节的严密化[选读] 30
§1.8 量纲空间 34
第2章 常用单位制，现象类 37
§2.1 CGS单位制(厘米·克·秒制) 37
2.1.1 CGS单位制 37
2.1.2 一贯单位和一贯单位制 39
§2.2 国际单位制(SI) 40
2.2.1 2019年5月20日前的国际单位制(SI) 40
2.2.2 2019年5月20日开始的国际单位制(“新SI”) 44
§2.3 工程单位制[选读] 46
§2.4 现象类 48
§2.5 等价单位制[选读] 51
第3章 量的乘除和求幂定义 54
§3.1 量等式的三种类型 54
§3.2 量的乘除法 55
3.2.1 量乘的定义 55
3.2.2 量乘法是单位制族依赖的 59
3.2.3 准同族单位制[选读] 60
3.2.4 量乘法满足群乘法的要求 62
3.2.5 量的除法是乘法的逆运算 64
§3.3 量乘法满足的运算律 65
§3.4 米/秒现在可理解为“米除以秒”67
§3.5 长期困扰的单位难题的破解[选读] 70
§3.6 单位乘除法也有致错可能[选读] 73
§3.7 量的求幂 74
3.7.1 借用纤维和截面定义量的求幂 75
3.7.2 量的求幂的直观表述 77
3.7.3 量的求幂是单位制族依赖的 80
第4章 电磁学单位制 82
§4.1 概述 82
§4.2 CGSE单位制(静电制) 84
§4.3 CGSM单位制(电磁制) 86
§4.4 静电制、电磁制中导出单位的终定方程 89
4.4.1 静电制(CGSE制) 89
4.4.2 电磁制(CGSM制) 91
§4.5 高斯单位制 93
4.5.1 高斯制概述 93
4.5.2 高斯制的主要导出单位及量纲式 94
§4.6 MKSA单位制 97
§4.7 真空麦氏方程的普适形式 100
4.7.1 真空麦氏方程普适形式的推证 100
4.7.2 电动常数χ确实等于c在高斯制的数[选读] 104
§4.8 亥维赛-洛伦兹单位制简介 105
第5章 理论物理的特殊单位制 112
§5.1 几何单位制 112
5.1.1 几何单位制的三种观点 113
5.1.2 几何单位制的量纲空间 119
5.1.3 几何高斯单位制 121
§5.2 朴素的自然单位制 127
5.2.1 朴素自然单位制的三种观点 128
5.2.2 朴素自然单位制的量纲空间 131
§5.3 拓展的自然单位制 133
§5.4 普朗克单位制 136
5.4.1 朴素的普朗克单位制 136
5.4.2 拓展的普朗克单位制 145
§5.5 原子单位制 147
第6章 单位制之间的公式转换 154
§6.1 几何制到国际制的公式转换 154
6.1.1 几何制到国际制的公式转换(法1) 154
6.1.2 几何制到国际制的公式转换(法2) 159
§6.2 (朴素)自然制到国际制的公式转换 162
6.2.1 (朴素)自然制到国际制的公式转换(法1) 162
6.2.2 (朴素)自然制到国际制的公式转换(法2) 167
§6.3 普朗克制到国际制的公式转换 170
6.3.1 普朗克制到国际制的公式转换(法1) 170
6.3.2 普朗克制到国际制的公式转换(法2) 172
§6.4 国际制到高斯制的公式转换 174
第7章 量纲配平因子和量等式 179
§7.1 单位转换因子和量纲配平因子 179
7.1.1 单位转换因子 179
7.1.2 量纲配平因子 180
7.1.3 配平因子对现象类的依赖性 186
7.1.4 配平因子还依赖于物理理论[选读] 186
§7.2 量等式与数等式形式相同的条件 187
7.2.1 用基本单位表示导出单位 187
7.2.2 一贯单位的“麦氏定义” 188
7.2.3 量等式与数等式形式相同的条件 189
§7.3 验证定理7-2-1的众多例子 191
7.3.1 国际制的例子 191
7.3.2 高斯制的例子[选读] 193
7.3.3 几何制的例子[选读] 197
§7.4 量乘的物理图像 199
第8章 Π定理及其威力 203
§8.1 Π定理 203
8.1.1 Π定理及其证明 203
8.1.2 应用Π定理的具体步骤 206
§8.2 显示Π定理威力的三道例题 207
§8.3 Π定理应用的几种情况 214
§8.4 Π定理应用的若干技巧 218
8.4.1 “十字删除法” 218
8.4.2 化量纲矩阵为行最简形矩阵 219
第9章 量纲分析用于物理学 226
§9.1 用于质点和刚体力学 226
§9.2 用于流体力学 231
§9.3 用于电磁学 237
§9.4 用于光学 250
§9.5 用于近代物理学 250
§9.6 用于量子力学 253
§9.7 用于狭义相对论 255
§9.8 用于广义相对论 261
§9.9 用于宇宙学 268
第10章 流体力学是量纲分析的“演武场”和“丰收地” 271
§10.1 流体力学基础提要 271
10.1.1 概述 271
10.1.2 随体导数 272
10.1.3 流体所受的力，应力张量 273
10.1.4 流体的黏性 276
10.1.5 液体的表面张力 276
10.1.6 流体的连续性方程(质量守恒律) 277
10.1.7 流体的运动方程(动量守恒律) 278
§10.2 量纲分析可大大节省实验工作量 281
§10.3 管流，初识雷诺数 283
10.3.1 压强梯度和流量 283
10.3.2 从层流到湍流 286
§10.4 绕流，又见雷诺数 288
10.4.1 绕流的一般讨论 288
10.4.2 高雷诺数近似 290
10.4.3 低雷诺数近似 290
10.4.4 球体绕流 291
10.4.5 绕流雷诺数的若干量级 293
§10.5 模型实验与相似论 293
10.5.1 相似论的一般讨论 293
10.5.2 相似的另一充要条件(用无量纲量表述) 297
10.5.3 相似准数 298
10.5.4 相似论应用例题 303
10.5.5 不完备相似性 305
10.5.6 相似论用于引力波探测[选读] 306
第11章 对Π定理的进一步讨论 308
§11.1 前言 308
11.1.1 关于物理素养和经验 308
11.1.2 如何选择涉及量？309
11.1.3 如何选择单位制？310
§11.2 力学问题举例 310
11.2.1 启用FLMT单位制族 310
11.2.2 内禀因素与外在因素 315
11.2.3 静力学问题举例 317
§11.3 角度问题，“角数因子”319
§11.4 “幂连乘式法”331
§11.5 对“瑞略之争”的述评 334
参考文献 339
索引 341
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人物简介
所获主要奖项:
(1) 首届优秀教学成果国家级特等奖 (1989)；(2) 曾宪梓教育基金会教师奖一等奖 (1993)；(3) 宝钢教育基金优秀教师特等奖 (2000)；
编辑：黄琦
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