材料力学新算法系列讲座（一）：连续分段独立一体化积分法

李银山

(河北工业大学 机械工程学院 工程力学系，天津300401)

摘要：提出了一种解决杆件结构弯曲变形问题的创新算法—连续分段独立一体化积分法。此算法是材料力学与计算机编程有机结合的一种快速解析法。本系列讲座通过材料力学与计算机编程的有机结合，对材料力学的教学方法进行有效改革, 强化对学生的能力培养, 收到了较好的效果。传统算法和现代算法并重，学习传统算法便于理解材料力学基本原理，采用现代算法可以快速，准确解决工程问题，提高效率。

关键词：教学改革, 能力培养, 材料力学，Maple,创新算法

第一讲 绪论

材料力学作为理工科专业学生的主要力学基础课程，扎实掌握基础知识对学生后续学习及未来工作至关重要。但一直以来，力学系列基础课程又是公认的教师难教、学生难学的课程。传统知识灌输型的教学方法，存在内容枯燥陈旧、重理论轻实践等诸多问题，导致学生缺乏学习兴趣，造成学生学习困 难、分析解决问题的能力差，不善于思考质疑, 严重影响学生创新意识和实践能力的培养。针对材料力学的教学现状，近20多年来，特别是党的十八大以来全国各高校开展了轰轰烈烈的一系列材料力学教学模式改革与探索实践[1~10]。

1. 工程设计需求结构的快速解析解

现今结构设计的发展趋势是：从简单结构向大型复杂结构、新型结构及新材料结构发展；从线性向非线性发展；从静力向动力发展；从确定性向不确定性发展；从简化分析向精细化分析发展。(1)大跨度桥梁、高层建筑、航空母舰、人造卫星、 机器人发展需要得到结构的快速解析解；(2)结构优化设计需要得到结构的快速解析解；(3)结构振动、稳定性控制需要结构的快速解析解。设计实践证明仅仅采用有限元分析是不够的。

材料力学的任务就是在保证构件（主要是杆件）正常安全工作，即满足强度、刚度和稳定性等基本要求的前提下，使构件重量最轻，材料最省，制造成本最低[11~15]。杆件变形的基本形式是拉伸、压缩、剪切，扭转和弯曲。而弯曲变形是材料力学的重点和难点。讲梁和刚架弯曲变形需要得到剪力、弯矩、转角和挠度表达式，画出结构的剪力图、弯矩图、转角图和挠度图。但现行的材料力学教学采用手工计算，方法繁琐和计算速度慢，得不到完整的解析解。

随着人工智能和专家系统技术的不断发展，代表人工智能技术在数学领域的应用典范——计算机代数系统，伴随着计算机技术的不断发展而迅速崛起[16~25]。Maple, Mathematica， Matlab,MathCAD等都是非常实用高效的计算机代数系统，具有很强的符号运算、数值计算、图形、编程等功能，和友好方便的人机交互界面，其应用遍布科学研究，工程应用，和辅助教学等。

在国外大学及研究所，CASes相当普及[16]。一般都安装一种或多种CASes供学生、教师和研究者使用。叶志明（1997年2006年）[17，18]介绍了CASes在研究和力学领域的应用。同时CASes在数学、力学、甚至化学教学中得到应用。马开平（2002年）[20]收集了Maple在11个领域的27个应用实例，许多都是很好的教学素材。向宏军等（2010年） [24]研究了 Maple在结构力学教学中的应用。邢静忠（2010年）[25]采用Maple编程，编制了杆系，梁系，实体和板单元的有限元程序。丁洲祥等（2010年）[26] 研究了MAPLE 在土力学与基础工程研究型教学中的应用。李银山等[27~29]以理论力学和材料力学教材为范本用Maple完成计算，编著出版了《Maple材料力学》（2009年）和《材料力学》（上、下册）（2015年）等一系列教学改革新教材。材料力学教学+Maple编程=如虎添翼。

2. 快速解析法的提出

李银山等（2013年）[30~36]提出了一种解决结构变形问题的快速解析新算法—连续分段独立一体化积分法。该法首先将梁进行连续分段，独立建立具有四阶导数的挠曲线近似微分方程，然后分段独立积分四次，得到挠度的通解。根据边界条件，确定积分常数，得到挠度的解析函数。

连续分段独立一体化积分法与通常求解弯曲变形问题的积分法不同，不用列平衡方程求解支座约束力，不用建立弯矩方程，就可得到剪力函数、弯矩函数、转角函数和挠度函数，反过来，还可以求出支座约束力。图1.1给出了连续分段独立一体化积分法流程图。

3. 连续分段独立一体化积分法概要

3.1符号约定

符号说明如下：

① 载荷集度q：向上为正,“+”。

② 剪力Fs：左上右下为正，“+”； 

③ 弯矩M：左顺右逆为正，“+”；

④ 转角θ：逆时针为正“+”；

⑤ 挠度ν：向上为正,“+”。

⑥ 弹性模量E；

⑦ 截面惯性矩I。

3.2基本方程

3.3基本关系

3.3.1微分关系

3.3.2积分关系

3.4边界条件

基本边界条件（四种类型）

下一讲预告

第2讲：直接积分法与连续分段独立一体化积分法。

参考文献

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[36] 李银山，孙凯，贾佩星等.复杂载荷下多层刚架的快速解析求解，工程力学，2017，34：11~18

李银山教授专栏

专栏链接：https://www.koushare.com/topic-sc/i/Li-Yinshan

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编辑：黄琦

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