材料力学新算法系列讲座 (二) 连续分段独立一体化积分法

李银山* 王晶†

*(河北工业大学 机械工程学院 工程力学系，天津300401)

† (北京工业大学 机械工程与应用电子学院，北京100124)

摘要：提出了一种解决杆件结构弯曲变形问题的创新算法—连续分段独立一体化积分法。此算法是材料力学与计算机编程有机结合的一种快速解析法。本系列讲座通过材料力学与计算机编程的有机结合，对材料力学的教学方法进行有效改革, 强化对学生的能力培养, 收到了较好的效果。传统算法和现代算法并重，学习传统算法便于理解材料力学基本原理，采用现代算法可以快速，准确解决工程问题，提高效率。

关键词：创新算法，Maple, 直接积分法，转角,挠度

第二讲 直接积分法与

连续分段独立一体化积分法

梁的弯曲内力和弯曲变形是材料力学中两大教学重点和难点，是解决梁的弯曲强度和刚度问题的基础，也为解弯曲超静定问题等所必须。计算梁的弯曲变形的解析方法有两类,一类需要通过积分运算,如积分法、初参数法、奇异函数法、莫尔积分法等；另一类则无需积分，如图乘法，共轭梁法，待定系数法和拉氏变换等。这些方法在应用时一般先要写出弯矩方程，且过程冗长。朱九成（1997）^[1]推导了剪力弯矩载荷之间微分关系的一般公式。何斌等（2009）用 直接定义法推导梁的挠曲线微分方程。郭孟武（2013）^[3]用数学推证了积分法与单位载荷法一致性。游猛（2009）^[4]讨论了用图乘法和重积分法求纯弯曲梁挠曲线问题。陈连等（2002）^[5] 利用奇异函数和拉普拉斯变换相结合给出了求解弹性梁的普遍化方法。刘明超等（2002）^[6]用拉氏变换法求解了梁的挠曲线方程。朱伊德（2013）^[7] 讨论了用待定系数法计算梁弯曲变形和内力的简易方法。王秀华等（2009）^[8]研究了超静定梁变形计算的积分法。李银山等（1992）^[9]和廖晗等（2020）^[10]用直接积分法求解了变惯矩梁变形的函数解。

直接积分法是计算梁的挠度和转角最基本的方法。它的好处其一：能给出全梁的挠度和转角的函数式；其二：它是其它计算方法的理论基础。但缺点是当梁需分多段积分时，用手算方法确定积分常数的计算很麻烦^[1~10]。随着人工智能和专家系统技术的不断发展，代表人工智能技术在数学领域的应用典范——计算机代数系统(CASes)伴随着计算机技术的不断发展而迅速崛起。Maple, Mathematica， Matlab,MathCAD等都是非常实用高效的CASes，具有很强的符号运算、数值计算、图形、编程等功能，和友好方便的人机交互界面，其应用遍布科学研究，工程应用和辅助教学等^[11~24]。用计算机编程解方程组确定积分常数就显得轻松自如。

新算法：连续分段独立一体化积分法求解弯曲变形问题不需要列出弯矩方程，从而使建模简单化，编程程式化，利用电脑计算快速化。

1.直接积分法求解弯曲变形问题^[25~27]

1.1符号约定

符号说明如下：

① 载荷集度q：向上为正,“+”。

② 集中力F：左上右下为正，“+”；

③ 集中力偶M_e：左顺右逆为正，“+”；

④ 剪力F_s：左上右下为正，“+”； 

⑤ 弯矩M：左顺右逆为正，“+”；

⑥ 转角θ：逆时针为正“+”；

⑦ 挠度ν：向上为正,“+”。

⑧ 弹性模量E；

⑨ 截面惯性矩I。

1.2 直接积分法

梁的挠曲轴近似微分方程为

积分(1)式，得到转角方程为

再积分一次，得到挠曲线方程

其中C₂与C₂为积分常数，由边界条件确定，如果是方程是分段的，积分常数将会更多。

常用梁的弯曲变形用挠度表示的位移边界条件和连续光滑条件有以下几种：

⑴ 固定端 固定端支座的挠度和转角都为零，即

⑵ 铰支端 固定铰支座和可动铰支座的挠度等于零，即

⑶ 连续光滑条件

连续条件就是位移是连续的，不会出现突变，故

光滑条件就是转角是连续的，不会出现突变，故

利用直接积分法在写各段弯矩方程和积分运算过程中遵循一些原则，可使其得到一定的简化。这些原则主要有两条：

(i) 从统一的坐标原点出X发划分的区间，且把坐标原点放在梁的左端（或右端），使后一段的弯矩方程中总包括前面的各端。

(ii) 积分时遇到（X-a）这样的括号不展开，将它看做自变量（a是各个分段处的坐标）。

1.3 例题讲解

例题2.1承受集中载荷的简支梁，如图2.1a所示。梁弯曲刚度E1、长度L、载荷F等均为已知。试用积分法，求梁的挠度方程和转角方程，并计算加力点B处的挠度A和支承和C处截面的转角。 

解：采用直接积分法

第1步列平衡方程确定梁的支座约束力

首先，应用A、C平衡方程求得梁在支承、二处的约束力分别如图2.1b中所示。

(a) 承受集中载荷的简支梁

(b)支座约束力

(c)边界条件和连续光滑条件

(d)指定截面的转角和挠度

图2.1梁的弯曲变形

第2步 用截面法分段建立梁的弯矩函数

因为B处作用有集中力F，所以需要分成AB和BC两段建立弯矩方程。

在图2.1a示坐标系中，为确定梁在0~l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3F/4；而确定梁在L/4~L范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3F/4和荷载F。于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为

第3步将弯矩表达式(2.8)代入小挠度微分方程(2.1)并分别积分

将式(2.9)积分后，得到

将式(2.10)再积分一次，得到

其中，C₁,C₂,C₃和C₄为积分常数，由支承处的边界条件和B点交界处的连续光滑条件确定。

第4步利用边界条件和连续光滑条件确定积分常数

在铰支座A、C两处挠度应为零，即

因为，梁弯曲后弹性曲线连续光滑的要求，所以点交界处的挠度和转角必须分别相等，即

由方程式(2.12)和式(2.13) 联列解得

第5步确定转角函数和挠度函数以及指定横截面的挠度与转角

将所得的积分常数代入式(2.10)和式(2.11)，得到AB段和AC段梁的转角函数与挠度函数分别为

据此，可以求得加力点B处的挠度和支承处A、C两处二处的转角分别为

2.直接积分法与Maple软件的结合^{[22，28，29]}

2.1建模 （直接积分法）

现在我们利用直接积分法与Maple编程相结合再解例题2.1如下：

① 列平衡方程求支座约束力；

② 建立载荷集度方程；

③ 建立剪力方程；

④ 截面法建立弯矩方程；

⑤ 建立小挠度(弯矩型)二阶微分方程；

⑥ 积分一次得转角方程的通解；

⑦ 积分二次得挠度方程的通解；

⑧ 根据边界条件和连续光滑条件确定积分常数；

⑨ 求转角函数和挠度函数；

⑩ 计算简支梁的挠度ν_B、转角θ_A和θ_C。

Maple编程计算结果与手算结果完全相同,见式(2.16)。

2.2 Maple程序（直接积分法）

3.连续分段独立一体化积分法求解弯曲变形问题^[30~36]

3.1连续分段独立一体化积分法

李银山等（2013年）^[30~32]提出了一种解决结构变形问题的快速解析新算法—连续分段独立一体化积分法。该法首先将梁进行连续分段，独立建立具有四阶导数的挠曲线近似微分方程，然后分段独立积分四次，得到挠度的通解。根据边界条件和连续光滑条件，确定积分常数，得到转角和挠度的解析函数。图2.2是连续分段独立一体化积分法求弯曲变形问题流程图。

基本方程如下：

基本关系如下：

微分关系

积分关系

边界条件(四种基本类型)：

连续光滑条件(四种基本类型):

3.2建模 （连续分段独立一体化积分法）

现在我们利用连续分段独立一体化积分法求解例题2.1如下：

① 建立挠度的（载荷集度型）四阶导数微分方程；

② 积分一次得剪力方程的通解；

③ 积分二次得弯矩方程的通解；

④ 积分三次得转角方程的通解；

⑤ 积分四次得挠度方程的通解；

⑥ 根据边界条件和连续光滑条件确定积分常数；

⑦ 求转角函数和挠度函数；

⑧ 计算简支梁上指定点的挠度ν_B、转角θ_A和转角θ_C。

⑨ 绘转角图和挠度图；

连续分段独立一体化积分法计算结果与手算结果完全相同,见式(2.16)。用连续分段独立一体化积分法绘制的转角图和挠度图如图2.3所示。

3.3 Maple程序（连续分段独立一体化积分法）

4.结论

4.1直接积分法+Maple编程加快了计算速度。

直接积分法主要的繁琐计算在于手工确定积分常数，直接积分法与Maple编程相结合，用电脑解方程组求积分常数既简单、又速度快。

4.2连续分段独立一体化积分法建立挠曲线方程简单化。

直接积分法求解弯曲变形问题需要列出弯矩方程，连续分段独立一体化积分法不需要。

4.3连续分段独立一体化积分法+Maple编程既建模简单、又计算速度快。

连续分段独立一体化积分法求解梁的弯曲变形，建模简单化，编程程式化，计算快速化，结果解析化，图形一体化。

4.4材料力学+Maple编程=如虎添翼。

材料力学与Maple编程相结合，建模简单，计算速度快，能够得到解析解。材料力学创新教学法融解决实际问题的全过程于一体，包括：力学建模、数学建模、计算机编程、符号运算、数值计算、计算机绘图等各个阶段，是尝试全过程培养应用型、复合型、高素质人才理论与实践相结合的有效手段。

下一讲预告:

第3讲：截面法与连续分段独立一体化积分法。

参考文献

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[33] 李银山，李彤，郭晓欢等.索－梁耦合超静定结构的一种快速解析法，工程力学，2014，31：11~16

[34] 李银山，官云龙，李彤等.求解变截面梁变形的快速解析法，工程力学，2015，32：116~121 

[35] 李银山，韦炳威，李彤等.复杂载荷下变刚度超静定梁快速解析求解，工程力学，2016，33：33~38 

[36] 李银山，孙凯，贾佩星等.复杂载荷下多层刚架的快速解析求解，工程力学，2017，34：11~18 

李银山教授专栏

专栏链接：https://www.koushare.com/topic-sc/i/Li-Yinshan

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编辑：黄琦

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