从数学角度看存在

什么是存在？怎么判断一个事物是存在还是不存在？比如上帝存在吗？长生不老药存在吗？丢失后再找不到的东西存在吗？探讨这些问题恐怕会让人争论不休，我们不如先看看怎么从数学的角度看待存在。

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定义和构建

严格的数学研究总是从定义开始，比如我们先定义什么是自然数1，而跟在1后面的自然数就是2。1和2不过是名称，但它们的意义都已经定义清楚。

在数学上讨论一个对象，比如说一个数，首先是它的定义，下一步就是如何构建。这里的构建就是怎么把它做出来。虽然不是制造一个物理实体，但要给出切实可行的构建方法。

整数的构建很容易，最简单的办法就是把比它小的前一个数加一就得到这个数。比如说8，我们先有了7，把7加一就得到8。这个方法虽然愚笨，但自然数就是这样一个个构建起来的。

有理数也很容易构建，在定义了除法之后，任何一个有理数都可以由两个整数通过相除来构建。

然而无理数则不那么简单，比如根号2，古希腊时代的数学家就无法用算术方法构造根号2，只能借助于几何方法构建。然而几何方法（这里指尺规作图法）也有很大的局限，它无法构造出2开三次方。详细见（神奇的数学（IV）- 挑剔的河神）。

后来代数有了大的发展，在18世纪发明了泰勒级数之后，所有常见函数的值都可以用代数法构造出来了。

为什么要强调构建，原因是数学中有些数和概念虽然有明确的定义，但却很难构造，或许有些根本构造不出来。

（构建主义：只有能够构建出来的东西才是真实存在的）

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难以构造的数学对象

数学中难以构造的东西很多，比如正17边形，定义很容易，但要用尺规作图法构造出一个正17边形，却不是一件容易的事。这个问题最先由拥有“数学王子”美称的天才数学家高斯攻克，当时他19岁。

高斯对这一成就非常自豪，以至于要把一个17边形刻在他的墓碑上，由此可见这个构造的难度。另外大多数多边形是无法用尺规作图法完成的，比如说19变形。

除了一些难以构造的数学对象外，还存在许多根本无法构造的数学对象，如果用计算机语言来描述就是无法计算(uncomputable)。一个数如果无法计算，那就意味着我们无法写出一个计算机程序，让它的输出等于这个数。另外如果计算机无法得出这个数，也就意味着数学家没有办法通过任何理性思维和逻辑运算得出这个数，因为计算机可以模拟任何理性思维和逻辑运算。

其中一个有名的无法计算的数是柴廷常数(Chaitin's constant)，这个数通常用Ω表示。柴廷常数给出的是一台图灵机（抽象的计算机模型）不同长度程序的停机概率，具体的定义比较复杂，这里省略。

柴廷常数之所以有趣的原因是，一但我们知道这个数，或者只需要知道这个数小数点后一定的位数，那么我们就几乎可以解答并证明一切数学问题，比如哥德巴赫猜想或者费马大定理。

（无法构建的虚幻的东西存在吗？）

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存在还是不存在

数学中，一个数学对象，比如说柴廷常数，它虽然有清晰的定义，但这个数是无法计算的，也就是没法构造出来，那么这个数到底是存在还是不存在？

把这个问题变换成一个更现实的问题，我脑海中想象一座比目前人类最高建筑还要高一倍的摩天大楼，这个大楼到底是存在还是不存在。如果脑海中的大楼太抽象，我们请一些设计师设计出这座大楼，画出完整的图纸，并且做完工程可行性报告，但因为没有足够的钱真实地建造这座大楼，那么这座大楼到底存在还是不存在？

按照人类正常思维，一座大楼只有能造出来，并且已经建造好，那么这座大楼才可以称之为存在。按照这个思路，数学家有什么理由认为那些只有定义（其实有些连准确的定义都没有），但无法计算（比如说柴廷常数），也就是无法构造出来的数学对象是存在的呢？这一点确实让人疑惑。

不过传统的数学家通常支持那些无法构造的数学对象的存在性。这类数学家是形式化主义者，也就是他们相信纸上的抽象符号已经根据逻辑运算得出来的结论。

但从二十世纪起数学界出现了新的一派数学直觉主义（intuitionism）。他们属于建构主义，也就是他们认为只有可以构建的数学对象才是真实存在的，否认无法构建的数学对象的存在性。

这一派数学家的先驱代表包括罗素和德国数学家克罗内克。克罗内克有一句名言，上帝创造了整数，其他一切都是人的工作。

导致这种分歧的原因还是罗素悖论和康托尔建立的无穷基数的概念。比整数还要多的实数集合纯粹是形式化推理的结果，因为在现实之中，并没有所谓的实数。

坚持只有可以构建的数学对象才是存在的，并把数学研究只局限在这个范围之内虽然大大减少无法克服难题的数量，但也损失了许多数学证明的有利工具，比如排中法。

排中法的妙处在于面对复杂的数学问题，它并不求解，但却可以给出解的存在性。

举例来说，外星人存在还是不存在？对于直觉主义者，他们只有在人类可以找到一个外星人的前提下，才会承认外星人的存在。但传统的形式化主义者则不这么苛刻。假设人们真的可以证明金字塔的建设远远超出古埃及时代人类文明的建造能力，那么他们就可以断定一定是由外星文明帮助古埃及人造出金字塔。

亲爱的读者，你是支持直觉主义还是支持传统的形式化主义，那些无法构造的数字，你认为它们存在吗？还有外星人，你相信它们存在甚至造访过地球吗？

（什么是存在？）

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