数学的困境 (下）-- 纯粹理性批判

前面介绍了形式化方法下一系列矛盾，面对这些矛盾，如何解决，是数学家面临的问题。最后我们再重新理理头绪，看看形式化的问题究竟何在。

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形式化的正确性

形式化过程虽然开始来源于观测和直觉，然而最终则是纯粹理性的产物。现实中我们看到一支铅笔，一双鞋，形式化首先把这些具体事物抽象成符号，然后建立纯粹符号的运算系统。

人们先抽象出数字，然后再抽象出变量，然后再给出公式，许多公式成为公理，或者定理。比如我们有了交换律 x + y = y + x。另外对于任何数 x 不等于 0， 则：x / x = 1。

这些公理，定理通常是正确的，然而在一些特别场合就失效。比如 x / x = 1。只有在x不等于0的时候才正确。而交换律在有限项等式中是正确的，但在无限项序列中则要加许多限制才可以使用。

有些读者在读完这个系列第一部分时指出：数学老师讲过，无限个1相加未必等于正无穷。我后来在网上搜索，才发现这个说法还挺流行。它的另一个变种就是所有自然数之和不等于正无穷，而是负1/12，这个结论有人说是数学家黎曼给出的，也有人说是印度的数学天才拉姆奴金证明的。

虽然这个结论听起来荒谬不堪，但既然是大数学家给出的，众人即使不完全信服，也是将信将疑。后来我搜了搜这个结论的证明，找到了至少两个版本。一个版本证明过程相当复杂，也很有技巧，使用多种数学工具，复变函数，傅里叶变换等等。另一个过程相对简单，只把几个简单的数学运算运用在无限序列上。

当然这两个证明都是错误的。第一个证明的错误在于它使用zeta函数ζ(z)的一个公式，然而那个公式合理的定义域是在复变量z的实数部分大于1才有效。然而证明直接让z=-1，所以那个公式本身已经不适用了。第二个证明的错误是把结合律不恰当地用到无穷序列上，导致错误结论。

其实可以给出上述证明的人，无论是黎曼，还是拉姆奴金，或是什么民间数学家，应该都有很深的数学功底，不可能看不出这些证明中的漏洞，不过因为结论有悖直觉，证明方法又挺酷，所以开个小小玩笑而已。

然而上面这些例子都说明一个问题，形式化方法是有局限的。比如除数不能等于零，交换律，结合律在处理无穷序列中必须满足额外条件等等。但一个有趣的问题，到底依据什么规定这些形式化方法的运用范围，是形式化方法自身，还是需要依靠外部世界的经验，也就是直觉。换一个方式问这个问题，就是纯理性能够不依赖外界经验独立发展成自洽的逻辑系统吗？

02

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忠孝两难全

一个理想逻辑系统需要满足两个条件，第一个是自洽，就是不会自相矛盾，第二是完备，就是可以解决范围内所有问题。然而数学家有可能根据自由的理性建造出这样的系统吗？也许可以，可一但把这个系统和现实世界挂钩，要完成各种运算，就不一定了。

这是不是和神学家面临的问题有些相似。神学家试图构想出一个至善（无限的爱心），至能（无穷的能力）的上帝。然而这样的设计很难解释为什么这个世界有罪恶，有痛苦，有不幸。当然无论现实如何，我们都无法说服神学家放弃上帝是万能的或上帝是良善的信仰。

数学家也是如此，在追求自洽和完备上一直孜孜不倦。然而大约一百年前，哥德尔给出了颠覆世界的哥德尔不完备定理。

在此之前，许多数学家都拥有大数学家希尔伯特的梦想，就是相信可以建立一套完备自洽的逻辑系统，这个系统能把所有数学定理都通过形式化的方法推演出来。然而哥德尔不完备定理粉碎了这一梦想。

简单介绍一下哥德尔不完备定理，它的第一定理说明任何一个自洽的逻辑系统，如果里面包含皮亚诺算术公理，那么这个系统一定存在自己无法证明的真命题。简单说，就是自洽和完备不能两全。而这里的一个关键是皮亚诺算术公理，究竟什么是皮亚诺算术公理呢？其实皮亚诺算术公理非常简单，只是定义了自然数，顺便说明数学归纳法是正确的而已。

数学家太爱自然数了，一个不包括全体自然数的逻辑系统还能称之为数学吗？然而自然数的致命之处在于它是一个无穷序列，想象一下我们走在一条没有终点的道路上，然而人类经验中的任何道路都有一个目标，一个追求的终点。如何理解一个没有终点的道路的终点？这其实是所有悖论的关键。

然而哥德尔证明了，如果人们不放弃自然数，那么依据理性建立起来的逻辑大厦要么自相矛盾，要么不能完备，这是一条无法逾越的鸿沟。

这种理性的局限不仅在数论中如此，在数学的其他分支同样有类似的问题。比如为避免朴素集合论中的罗素悖论而发展起来的公理化集合论（见数学危机）就注定无法证明许多数学命题的真伪。

同样在计算机理论中，必然存在一些程序，我们永远不知道这些程序会不会结束。这一点是不是很沮丧，因为一个程序，要么会运行结束，比如运行到命令程序终止的结束符，要么永远不会结束，比如陷入一个死循环。这些都可以很容易判断。但一定存在一些程序，我们永远不知道它们会不会结束，唯一的办法就是运行这些程序，然后耐心等待。如果它有一天发慈悲停了，我们知道程序可以结束，但它如果一直不停，我们也不能断定它是不是永远不停，因为我们无法等待无限长时间，这是不是很烧心啊。

03

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对纯粹理性的批判

面对形式化数学的种种问题，一派数学家掀起一场革命，放弃建立在纯粹理性上的形式主义，返回客观实践中来，建立了直觉主义数学，顾名思义，是建立在直觉之上。而直觉来源于对外界世界的经验，所以直觉主义要求数学一定要有客观实在相对应，所有的数学概念必须可以构造。因此直接主义数学也属于构造主义数学的一个分支。

在形式化数学中，一个数学概念，即使没能构造出来，但如果可以从形式上证明这个概念的合理性，那么这个概念依然存在。比如无理数，绝大部分无理数无法构造，但传统数学家承认它们的存在。

还记得前面用排中律证明必然存在的游戏必胜策略吗，虽然策略没有构造出来，但还是可以通过排中律证明这种必胜策略的存在性。

然而直觉主义否认这一点，它们否认无法构造的数学概念的存在性，所以直觉主义不承认实数，只承认有理数。另外直觉主义也不承认形式化逻辑基本定律之一的排中律。

我们前面已经看到排中律的威力，建立在排中律之上的数学家最有力的证明工具之一就是反证法。哈代说过：“反证法是数学家最精良的武器。它比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能需要牺牲一只兵甚至更多，但数学家却是牺牲整个棋局来获得胜利。”

传统数学中许多著名证明都使用反证法。比如没有最大的素数，√2是无理数等等。希尔伯特说过，放弃排中律和反证法等于战场上的士兵丢弃了枪，天文学家丢掉了望远镜，由此可见反证法的重要性。

不过直觉主义的这种牺牲也为他们带来了一些成就，建立在直觉主义逻辑上的电脑工具归纳构造演算(Coq)成功地解决了著名的四色问题，这是人类第一次承认计算机的证明。Coq的逻辑比形式化逻辑弱，所以它比普通图灵机为模型的计算机功能要弱，但这种弱也让它避免了图灵机存在的无法解决的停机问题，所以有给它额外的力量。

现在直觉主义在数学中还属于非主流，只有少数纯理论数学家研究这个学派的数学，这种以直觉，构造为基础的数学更多地相信眼睛，而不是大脑，属于数学界中对纯理性的批判。

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