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		课 型		新授课
课题	21.1 一元二次方程
课 时		1
教学	1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.
目标	2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.
教 学	重点：判定一个数是否是方程的根；
重 点	难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实
难 点	际问题的根
教 学	多媒体
准 备
	（一）创设情境，导入新课
	师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0  是一个一元
	一次方程（板书：一元一次方程）.
	师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？
	生：……（让几名同学回答）
	师：（指准 3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是  1 的方程，
教	叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，
	一次指的是未知数的次数是 1.
学	师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习
过	一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.
（二）尝试指导，讲授新课
程	师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56 是一个
	一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0 也是一元二次方程，（板书：
	x2+3x=0）x2+3x=0 也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元
	二次方程.
	师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方
	程？（等到有一部分同学举手再叫学生）
	生：…… （多让几名同学回答）

师：（指准 x²-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程.

（师出示下面的板书）

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二

次方程.

师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）

师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断 x²-x=56，

4x²-9=0 ， x²+3x=0 ， 3y²-5y=7 这些方程都是一元二次方程 . （板书：3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）

生：……（让几名学生发表看法）

师：把这个方程两边去括号，得到 3x²-3x=5x+10 （边讲边板书：

3x²-3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.

师：（指 3x²-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的 5x 和10 都移到左边去，再合并，得到 3x²-8x-10=0（边讲边板书：3x²-8x-10=0）.

师：（指原方程和 3x²-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.

师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是 ax²+bx+c=0 这样的形式（边讲边板书：ax²+bx+c=0）.

师：（指准 ax²+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把 ax² 叫做二次项，a 是二次项系数（板书：其中 a 是二次项系数）；bx 叫做一次项， b 是一次项系数（板书：b是一次项系数）；c 叫做常数项（板书：c 是常数项）.

师：（指准 3x²-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是 3x²，二次项系数是 3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.

师：（指 x²+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是 x²，二次项系数是 1.（多让几名同学回答）

师：（指 x²+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？

生：一次项是 3x，一次项系数是 3.（多让几名同学回答）

师：（指 x²+3x=0）它的常数项是什么？

生：常数项是 0.（多让几名同学回答，如有必要师作解释）

师：（指 4x²-9=0）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？

生：二次项是 4x²，二次项系数是 4.

师：（指 4x²-9=0）它的一次项、一次项系数是什么？

生：……（多让几名同学回答）

师：这个方程的一次项可以写成 0x（边讲边板书：0x），所以这个方程的一次项是 0x，一次项系数是 0.

师：（指 4x²-9=0）它的常数项是什么？

生：常数项是-9.

师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用这些知识来做几个练习.

作 业

完成同步练习

布 置

本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元二课堂次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什总结 么 ²=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就

是把二次降为一次；第三步解一元一次方程，得到两个根.

	21.2 一元二次方程的解法复习课	课 型		新授课
课题
课 时		1
教学	能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。会根据不同的方
程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，
目标	渗透降次化归的思想方法。
教 学	重点：会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理。
重 点
难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。
难 点
教 学	多媒体
准 备

1．用不同的方法解一元二次方程 3 x²-5x-2=0(配方法，公式法，因式分解发)

教师点评：三种不同的解法体现了同样的解题思路——把一元二次方程“降次”转化为一元一次方程求解。

2把下列方程的最简洁法选填在括号内。

	(A)直接开平方法	(B) 配方法    (C) 公式法	(D)因式分解法
	（1）7x-3=2 x2 (	)	(2)4(9x-1) 2=25 (   )	(3)(x+2)(x-1)=20	(
教	(4)		4x2+7x=2	(	)  (5)2(0.2t+3)	2-12.5=0  ()	(6)
	x2+2	2	x-4=0 (	)
	说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特
学	殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一
	元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右
过	边为 0 的特点的一元二次方程时，非常简便。
将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。
	(1)3x2=x+4 (2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1) 2+2 (3)(x+3)(x-4)=-6（4）(x+1)
程	2-2(x-1) 2=6x-5
说明：将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，
	而节能为揭发的选择提供基础。
	4.阅读材料，解答问题：
	材料：为解方程(x2-1) 2-5(x2-1) 2+4=0,我们可以视（x2-1）为一个整体，
	然后设 x2-1=y,原方程可化为 y 2-5y+4=0①.解得 y1=1,y2=4。当 y1=1 时，

x²-1=1即x²=2，x=± 2 .当y₂=4时，x²-1=4即x²=5, x=±√5。原方程的解为x₁= 2 ,x₂=- 2 ,x₃=√5,

x₄=-√5

解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了

降次的目的，体现_______的数学思想。（2）解方程 x⁴—x²—6=0.

作 业
	完成同步练习
布 置
	(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识
	(消元、降次、化归的思想)
	(2)三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
	联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降
	次．
课堂	②公式法是由配方法推导而得到．
总结	③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元
二次方程．
	区别：①配方法要先配方，再开方求根．
	②公式法直接利用公式求根．
	③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0， 再分别
	使各一次因式等于 0．

				课 型	新授课
课题	21.2.1  配方法
	课 时	1
	理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具
	体问题．
	提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2＋c＝0，根据平方根的意义
	解出这个方程，然后知识迁移到解 a(ex＋f)2＋c＝0 型的一元二次方程．
教学	理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些
具体问题．
目标	2	2	＝p(p≥0)的一元二次方程
	通过复习可直接化成 x	＝p(p≥0)或(mx＋n)
	的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．
	了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
	通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决
	一些具体题目．
	重点 运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数
	学思想．
	讲清直接降次有困难，如 x2＋6x－16＝0 的一元二次方程的解题步骤．
教 学	讲清配方法的解题步骤．
难点 对于用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程，通常把常数项移到方
重 点	程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为 1
难 点	的一元二次方程，要先化二次项系数为 1，再用配方法求解．
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
	通过根据平方根的意义解形如 x2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义
	解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程
教 学		多媒体
准 备

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题．

问题 1：填空

(1)x²－8x＋________＝(x－________)²；(2)9x²＋12x＋________＝(3x＋

________)²；(3)x²＋px＋________＝(x＋________)².

p         p

解：根据完全平方公式可得：(1)16     4；(2)4  2；(3)(₂)²     ₂.

问题 2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我们已经讲了 x²＝9，根据平方根的意义，直接开平方得 x＝±3，如

果x 换元为 2t＋1，即(2t＋1)²＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)

老师点评：回答是肯定的，把 2t＋1 变为上面的x，那么 2t＋1＝±3

即 2t＋1＝3，2t＋1＝－3

方程的两根为 t₁＝1，t₂＝－2

例 1  解方程：(1)x²＋4x＋4＝1 (2)x²＋6x＋9＝2

^教                     分析：(1)x²＋4x＋4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)²＝1.

(2)由已知，得：(x＋3)²＝2

学	直接开平方，得：x＋3＝±  2

即 x＋3＝  2，x＋3＝－  2

所以，方程的两根 x₁＝－3＋  2，x₂＝－3－  2

过           解：略．

例 2  市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10 m² 提高到14.4 m²，

求每年人均住房面积增长率．

^程         分析：设每年人均住房面积增长率为 x，一年后人均住房面积就应该是 10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)²

解：设每年人均住房面积增长率为 x，

则：10(1＋x)²＝14.4

(1＋x)²＝1.44

直接开平方，得 1＋x＝±1.2

即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2

所以，方程的两根是 x₁＝0.2＝20%，x₂＝－2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x₂＝－2.2 应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为 20%. (学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我

们把这种思想称为“降次转化思想”．

三、巩固练习

教材第 6 页  练习．

一、复习引入

(学生活动)请同学们解下列方程：

(1)3x²－1＝5  (2)4(x－1)²－9＝0  (3)4x²＋16x＋16＝9      (4)4x²＋16x

＝－7

老师点评：上面的方程都能化成 x²＝p 或(mx＋n)²＝p(p≥0)的形式，那么

可得

x＝±  p或 mx＋n＝±  p(p≥0)．

如：4x²＋16x＋16＝(2x＋4)²，你能把 4x²＋16x＝－7 化成(2x＋4)²＝9 吗？二、探索新知

列出下面问题的方程并回答：

(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？

(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？

问题：要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积为 16 m²，求场地的长和宽各是多少？

(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．

(2)不能．

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

x²＋6x－16＝0移项→x²＋6x＝16

两边加(6/2)² 使左边配成 x²＋2bx＋b² 的形式→x²＋6x＋3²＝16＋9

左边写成平方形式→(x＋3)²＝25 降次→x＋3＝±5 即 x＋3＝5 或 x＋3＝

－5

解一次方程→x₁＝2，x₂＝－8

可以验证：x₁＝2，x₂＝－8 都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为 8 m.

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．

例 1   用配方法解下列关于 x 的方程：

(1)x²－8x＋1＝0     (2)x²－2x－¹₂＝0

分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．

解：略．

三、巩固练习

教材第 9 页  练习 1，2.(1)(2)．

一、复习引入

(学生活动)解下列方程：

(1)x²－4x＋7＝0     (2)2x²－8x＋1＝0

老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．

解：略．     (2)与(1)有何关联？

二、探索新知

讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)先将已知方程化为一般形式；

	(2)化二次项系数为 1；
	(3)常数项移到右边；
	(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方
	式；
	(5)变形为(x＋p)2＝q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x＝－p±  q；如
	果 q＜0，方程无实根．
	例 1  解下列方程：
	(1)2x2＋1＝3x  (2)3x2－6x＋4＝0  (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0
	分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来
	完成，即配一个含有 x 的完全平方式．
	解：略．
	三、巩固练习
	教材第 9 页	练习  2.(3)(4)(5)(6)．
	教材第 16 页	复习巩固 1
作 业	材第 17 页	复习巩固 2，3.(1)(2)．
教材第 17 页	复习巩固 3.(3)(4)．
	补充：(1)已知 x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求 x＋y＋z 的值．
布 置	(2)求证：无论 x，y  取任何实数，多项式 x2＋y2－2x－4y＋16 的值总是正
		数.
	本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如 x2＝p(p≥0)的方程，那么 x＝±
	p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么 mx＋n＝
	±  p，达到降次转化之目的．若  p＜0 则方程无解
课堂	左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 x 的完全平方
总结	形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
	2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二
	次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在
	今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．

		21.2.2  公式法	课 型	新授课
课题
	课 时	1
	理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用
教学	公式法解一元二次方程．
目标	复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2＋bx＋c＝0(a
≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．
教 学	重点 求根公式的推导和公式法的应用．
重 点
难点 一元二次方程求根公式的推导．
难 点
教 学		多媒体
准 备
	一、复习引入
	1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
	(1)x2＝4  (2)(x－2)2＝7
	提问 1	这种解法的(理论)依据是什么？
	提问 2	这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特
	殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)
	2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方
	成能够“直接开平方”的形式．)
教	(学生活动)用配方法解方程  2x2＋3＝7x
(老师点评)略

总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．

_学                    (1)先将已知方程化为一般形式；

(2)化二次项系数为 1；

(3)常数项移到右边；

过           (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方

式；

程	(5)变形为(x＋p)2＝q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x＝－p±	q；如
果 q＜0，方程无实根．
	二、探索新知
	用配方法解方程：
	(1)ax2－7x＋3＝0  (2)ax2＋bx＋3＝0
	如果这个一元二次方程是一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面
	配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

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