刘未沫 |《鲁久次问数于陈起》中的“音律-历法生成论”及其宇宙图像

《鲁久次问数于陈起》中的“音律-历法生成论”及其宇宙图像

刘未沫 |文

提要：《鲁久次问数于陈起》是汉代以前关于数为何重要并有益社会之讨论的最详细文献，应以“音律—历法生成论”来理解全文内容。首先，陈起对自然要素的叙述顺序，符合先秦以“岁”为旨归的“历法生成论”，同时加入了音律要素。音律要素有自身的生成序列，借助《汉书·律历志》，并配合战国秦汉时期从以律管定音扩大到黄钟作为度量衡标准的历史过程，我们得以理解以度数为旨归的“音律生成论”的基本形态，这也解释了简文中音律与日常用数、百事经纪的关系。同时，对五音生律法和十二律生律法的讨论，解释了音律生成论中五和六的关系，为“数”具象化时出现的奇、偶数搭配提供了基础。而参照出土日书和式盘实物，我们为简文还原了一幅式图或宇宙图像，借此，简文中提到的所有“数”都得到了合理关联；同时，由于占岁时和占病祟都是这种宇宙图像的功能，因而简文中提到的“瘳与死毕有数”和“以卜天下”也都得到了相应理解。

原载：《哲学动态》2020年第3期

《鲁久次问数于陈起》（下文简称《陈起》）是北京大学2010年入藏秦简牍《算书》甲种的开头部分，由32枚竹简、816字组成。整篇文章包含久次与陈起的三次问答。第一次是久次向陈起询问，若不能兼通“读语”与“计数”,“何物为急”？陈起认为通晓“数”[1]就可以通“语”[2]，反之则不可。这种以学生哀叹自己无法掌握数而向老师寻求指导的开头，与《九章算术》《孙子算经》及张家《算术书》极为相似，[3]《陈起》较为特别的是迫使老师就“语”和“数”的优先性给出回答。陈起指出数在知识中有优先地位，而他对此的解释也成为目前所见的、汉以前关于数为何重要最长和最理论化的讨论。[4]第二个问答的讨论主题从数在知识中的优先性转变为了数在天下之物中具有基础性（“天下之物……无不用数者”），内容涉及音律、历法，涉及食数、里数、亩数的规定和人疾病治疗之数，还有三方三圆。第三次问答则继续从国计民生方面说明数的基础性，内容包括计时、测量、军事、音律、取色、营建、机械、舆地、制历等。陈起认为古代圣人贤臣就是那些在天下之物中发现“数”、并将其记录下来告知后世的人（“古圣人者书竹帛以教后世子孙”）。最后，陈起回到学习次第，认为知识增加应先难后易，即先数后语[5]，并给出了学习数的诀窍——“隸首者”（九九乘法表）和“少广者”（分数与整数换算）[6]；数是“知之发也”，而它们则是“数之宝”。  陈起的上述回答呈现出一幅非常有趣的图景：既包含对学习次第的看法和对圣人的理解，也包含描述宇宙生成的自然哲学，同时有音律、数术和布政施令等内容。这些内容不大可能是随意提及的，因为它们共同成为对久次提问的回答；但自2015年首次公布了本篇内容后，讨论主要集中在个别疑难上[7]，尚未见到全篇内容的整体性解释。本文旨在为《陈起》提供整体性解释，提出以“音律—历法生成论”的框架来理解全文与“数”相关的所有内容。具体来说，《陈起》中对生成天下之物各阶段的叙述，符合先秦其他相关数术文献中所见的宇宙生成论的基本框架，是以成“岁”为旨归的“历法生成论”，但陈起在其中加入了音律要素。而借助晚些的传世文献如《汉书·律历志》，我们看到了这种“音律生成论”的完整图景：以黄钟律为度量衡标准，既解释了音律数与日常用数和行政用数的关联，即以度数为旨归，也解释了《陈起》中第三问答与第二问答的关系。最后，借助其他出土日书及出土式盘/图，我们可以将陈起提到的所有“数”——包括历法数、音律数和天干地支基本计数法——具象化为宇宙图像。经由假想的宇宙图像，我们解决了《陈起》中历法数和音律数的配数与融合问题；同时，这种宇宙图像既占时日也占病祟的功用，使简文中穿插的疾病治疗内容得到解释。这些解释让我们可以将《陈起》纳入到早期中国独特的律历一体生成论传统中，或者说，这个文本向我们提示了“音律-历法生成论”最基本的要素（它甚至可以不包括五行）。同时，《陈起》也证实在早期中国，音律-历法生成论和占卜操作确实是互为表里的：正是因为式占所使用的宇宙图像是以“数”为卜，因而音律生成数和历法周期数才得以配入，并逐渐形成了既定的关联。
一、《陈起》符合先秦“历法生成论”的基本框架陈起就久次“天下之物，孰不用数”的说明，首先提及的要素是天、地、岁、四时、日、月、星辰和五音六律（“天下之物，无不用数者。夫天所盖大也，地所生之众也，岁四时之至也，日月相代也，星辰之生<往>与来也，五音六律生也，毕用数”）。这里的排序值得注意：何以天地之后先言岁、四时，然后才提及更具体的日月和星辰？李学勤曾提到，“四时成岁”的框架是中国古代数术的基本要素之一。[8]马克（Marc Kalinowski）也认为，先秦时期的宇宙生成论是以岁历的完成作为定型之标识。[9]陈起对这些要素的排序，符合这种早期中国岁历文化讨论宇宙生成的逻辑顺序：首先是分出天和地（由“一”生“二”）；“岁”紧跟其后，因为“岁”的周期是我们对天地运行方式的理解或总结；而“四时”作为“岁”之标识，因而在“岁”之后；二者在“日月”之前，是因为虽然天文上是日月之运行形成了四季，但从有目的导向的生成理论上讲，“岁”和“四时”则是下一阶段的日月（也包括其他星辰）之运行的基本框架。马克认为这是早期中国独特的、“将天体运动的规范化过程纳入到由多个不同抽象周期所组成的复杂的历法体系”，而以此为中心的宇宙生成论可以叫作“历法模式的宇宙论”或“历法生成论”。[10]我们接着马克的说法，将他对早期中国历法模式的宇宙生成进程修正为1—>2—>岁[11]，“岁”是其他历法周期能够被纳入的体系，其下可以包括的子项目有四时、月、日、星宿，二分二至等，它们都是对一岁的划分。

陈起的回答，在历法生成论中加入了“五音六律”的要素。将他所叙述的进程以数位标记，记作：1数—2天地—岁（4四时—日月、星辰）—5/6五音六律—天下之物。[12]如果说这是“加入音律要素的历法生成论”很容易，但要说这是一种“音律-历法生成论”，则需要做以下工作：一方面解释音律生成论序列（即1—>2—>5/6—>天下之物）中各个要素及其相互关系；另一方面解释该序列与之前解释的历法生成序列（即1—>2—>岁[4四时—日月、星辰]）如何相配、如何融合为一个整体。

二、音律生成论：音律数的生成原则与黄钟作为度量衡标准对于音律生成论的基本进程，即1—>2—>5/6—>天下之物。在《陈起》中，我们看到从“黄钟之副”（占数位2）生成的事物有两组，一组以5为基础，以五音为首，另一组以6为基础，以六阴律六阳律为首，两组数都来源于黄钟。因而我们需要解释“二”（黄钟之副）如何既生“五”（五音）、又生“六”（六律）。回答这个问题需要引入生律法的相关讨论。早期文献中出现过两种生律法，一种是五声音阶的生律法，以《管子·地员》为代表，一种是导生十二律的方法，以《吕氏春秋》为代表。[13]二者不同在于管子法“先益后损”，而吕氏法则是“先损后益，蕤宾重上生”（即在呈五度关系的第七律前后两次上生）。音乐学界曾就吕氏法如何生律有过争论[14]，但现在我们可以说吕氏法采用先损后益只是由于避免多一次的麻烦[15]，而在蕤宾重上升则为了将音程控制在一个八度内。由此可见吕氏法与管子法的不同只是技术处理上的不同，二者的生律原则却是一样的，都属于五度相生法。正因为如此，五和六才在音律生成论中处于同一位置。黄钟之副可以生五音六律，那么五音六律如何生天下之物？我们借助《汉书·律历志》看到，音律生成序列指向的天下之物其实不在自然，而在政治生活领域，特别是与度数应用相关的领域。按照《律历志》，这种音律生成论的完整形态是：将发出黄钟律的律管长度（汉制为九寸）作为其他长度单位的标准值，由此确定“度”的其他单位；以黄钟律律管的容积作为“量”的标准值，确定最小的体积单位，继而得到其他五嘉量；以黄钟的重量作为“权”的标准值，得出其他重量单位。[16]由此反观《陈起》文本，可知陈起在第二次问答提到的五音六律，与紧接其后提到的食数、里数、亩数（“子其近计之：一日之役必先知食数，一日之行必先知里数，一日之田必先知亩数,此皆数之始也”），同时与第三次问答所列举的诸种度数之事，都属一条线索；其思路与《律历志》一脉相承，只是形态较为粗糙。
这种以度数为旨归的音律生成论，与上节所谈的历法生成论一样，也是早期中国特有的；在地中海与西方前现代文明也发现了相同的生律法则，但却没有出现将音律作为度量衡标准的传统。我们推测早期中国出现这种音律生成论可能既有技术原因，又有历史原因。技术上，因为实际演奏中弦乐器的音高很不稳定，需要更稳定地乐器作为定音标准，因而出现了保持绝对音高的乐器——律管；从现有的实物证据看，如雨台山战国楚墓出土的律管和汉初马王堆出土的律管[17]，以定音为目的的律管多为竹制。而黄钟律成为度量衡标准，则与战国时开始、秦汉时进一步确立、至西汉末年完成的度量衡标准化运动有关。正是在这一运动的影响下，律管的功用才逐渐从校定音高扩展到校定度量衡。当被作为度量衡的标准，律管的材质也相应地改为青铜，这是出于最大程度减少温差影响的需要；相应地，当出现青铜制律管，其对精确性的追求已超出音律领域，进入政治领域。现在我们在上海博物馆看到的青铜无射律管，就是刘歆协助王莽进行新政时所用的律管之一；而我们在《律历志》中见到的完整形态，也是刘歆考订历代度量衡制度后所确定的音律-度量衡体系。音律生成论的旨归在使用度量的政治生活领域，但其来源则在自然。在《汉书·律历志》中，度数之自然源头是通过以累黍描述黄钟之长等来表达的[18]，而这种关联在《陈起》中似乎尚未落实，但体现在了结构安排上，如将食数、里数和亩数等放在生成论背景下，将有关立度兴事的第三问答放在主要讨论自然万物生成的第二问答后。此外，陈起似乎暗示圣人贤臣是自然领域与政治领域的沟通者，是他们在自然中发现音律数,又将音律数作为度量衡的标准，并将它们记录下来以惠后世。这两个领域原初依赖“数”得到的关联，寻常百姓可能已难寻踪迹，但他们仍然可以见到：度数之于百事经纪，就如同自然中的日月之于天（“民而不知度数，辟犹天之毋日月也。天若毋日月，毋以之明晦。民若不知度数，无以知百事经纪。故夫数者必颁而改，数而不颁，毋以知百事之患”）。日月的意义在于将天运转的节奏向我们揭示出来；没有日月，天仍然运转良好，但是我们却没有了衡量时间的单位；同样地，没有度数，自然仍然运转良好，但我们就没有了安排日常生活的标准。

三、式占：论历法数与音律数如何在宇宙图像中整合

在分别讨论了历法生成论和音律生成论后，我们解决二者在数上如何相配、如何融合的问题。第二次问答的最后一句（“故曰黄钟之副,单薄之三,日之七，播之五。命为四卦,以卜天下”）提示出了理解的方向：占卜。不同于整理者将黄钟之副、单薄之三、日之七、播之五对应四卦的解读，我们将这句话看作对第二次问答整段话的总结。因而，“黄钟之副”所指就不只是音律，而指代圣人贤臣等“以作命天下之法，以立黄钟之副，副黄钟以为十二律，以印记天下为十二时，命曰十二字，生五音、十日、廿八日宿”一句；相应地，“单薄之三,日之七，播之五”也指代前面“三方三圆”的完整内容，即“大方大圆，命曰单薄之三；中方中圆，命曰日之七；小方小圆,命曰播之五”。这些内容中的数可大致分为三组。一组是黄钟之副、十二律、五音等音律数。第二组是十二时、十日、二十八宿等历法数；对它们的叙述交错进行，暗示可能在讲对应关系，如十二律对应十二时，此以地支计，五音对应十日，此以天干计。第三组数则是与“三方三圆”相关的数，其含义并不自明。在目前的解释中，学者们都注意到了三方三圆与《周髀算经》（下简称《周髀》）七衡六间图的相似性。后者实际上来源于对太阳周年运动的经验观察，即夏至时太阳运动轨迹去北极的半径最小，冬至时太阳运动轨迹去极半径最大，而春秋分去极半径为中间值。在《周髀》中，这三者分别对应于内衡、外衡与中衡，即夏至、冬至与春秋分；同理，《陈起》中的小圆、中圆和大圆，应该也对应这四个一岁中最重要的时间节点：以夏至对应的小圆为起点，太阳全年日照范围从同心圆不断扩大，中圆时日夜平分，到达大圆时则达最大值。至于五、七、三的含义目前尚无定论，我们认为陈、曲解释更为合理。他们的解释是借《九章算术》中“方五斜七”的近似值来解释“播之五”与“日之七”，将其与小圆和中圆半径对应；如此小方小圆和中方中圆呈现为外切圆及其内接正方形相互嵌套的结构，再将这个结构推至大方大圆，便可算得大圆半径的近似值为10；设大圆半径为一个单位，那么其面积就是三个单位（π值取3，同《周髀》）, 也就是简文中的“单薄之三”的含义。[19]因而这个模型中标识夏至、春秋分和冬至的半径就是等比数列（近似值为5:7:10），虽然不同于《周髀》中的半径等差数列，但它们都是以模拟日照范围的方式标识二分二至，即对“四时”中的日照变化做几何化表达。[20]因此，我们也可以将三方三圆相关的数归入历法数。如此，“地方三重，天圆三重，故曰三方三圆，规矩水绳，五音六律六间皆存”就相当于说，在一个以“岁”为旨归、以三方三圆为“四时”标识的历法生成论中，规矩准绳和五音六律六间皆存。五音六律与规矩准绳的关系，上节已在音律生成论中解释过，因而剩下的任务就是解释历法生成论和音律生成论的融合问题了。笔者解决这个问题的工具是式图或宇宙图像。式（或栻）是中国古代最重要的数术工具。[21]这个数术工具最基本的要素是空间或方向，但通常要标记时间，因为其主要的用途是占岁与时，因而这些作为时间标记的数就是我们所讲的历法数。学者们将出土数术类文献中配合文字解释的示意图，以及出土式盘实物所呈现的图像，均称作式图（又称勾绳图、TLV纹、日廷图、罗图等），它的基本构成由十字（“二绳”）代表的东西南北四个方向，和四个L形（“四钩”）标出的其他八个方向，有时会标出“四维”，即从四个L形直角上各引一条对角线。二绳、四钩、四维共标出十六个方向，有时省略“四维”而只保留十二个方向。以式盘为例，我们来看标记时间的历法要素与标记空间的诸方向的搭配。式盘一般有天盘、地盘两层，上南下北放置；其中方形地盘在下，出于天地交错的考虑，会配上时间要素，如四方各配七宿，四方对应四时或二分二至（后来也会配上节气），一方对应三月，等等。天盘是对天穹的模拟，因而其上有星宿、月份等时间要素，同时也会标记主要方向，有时还会刻上与之对应的人事，表示时空因素对人产生的影响。式盘/图中这种标识记时间、空间要素并使之相互配合的整体概念，实际上就是在模拟宇宙，因而我们说式图本质就是“宇宙图像”[22]。在这个宇宙图像中，加入用于计数的地支和天干，一般十二地支顺时针排列[23]，即子对应正北，午对应于正南，卯酉分别对应正东和正西；而十天干安排方式则一般是四方和中心各二。（早期式图可参考周家台秦简，见下）

周家台秦简“二十八宿占”式图

假设陈起在回答久次关于天下之物毕用数的问题时，头脑中有这样一个假想的宇宙图像，那么他提到的历法数——包括十二时、十日、二十八宿，以及三方三圆图标记的四时和二分二至——就可以这样排布：十二时对应十二地支，与二绳和四钩所指示的十二个方向一一对应；十日对应十干支，安排方式因而也是四方和中心各二；二十八宿，四个方向上各七宿；四时和二分二至则对应二绳所指示的四个正方向。十二时这里应指十二月，而非十二时制。原因同样与历法有有关，由于秦汉时使用的历法是四分历（即一岁为三百六十五又四分之一日），据此将不能为月份和节气整除的余数（五又四分之一日）分配到每月与每节气中，每月小余、每节气小余的分母分别是十六和三十二；因而在秦汉文献及出土日书中我们多见十六和三十二时制[24]，因为按照这两种方式划分每日，才能确保节气点落在一日中特定的时间内。正因为《陈起》中的十二时是对一“岁”、而非一日的划分，它才是圣人贤臣命天下之法、定音律后，最先出现的历法要素。[25]这个假想的宇宙图像中可以继续配入音律要素。由于五音自乘后便可与十天干数配，十二律则可与十二地支数配[26]；因而，五音的空间安排也与十天干类似，位于中心和四方；一般起始音宫音被安排在中心，但不同的出土文献对四音与四方的搭配各有不同。[27]十二律的空间安排同十二地支，可按音高顺序将其顺时针排列（黄钟、大吕、太簇、夹钟……），同时与十二月对应，也就是以黄钟对应子、对应岁首之月，依次类推。在放马滩秦简《钟律式占》中，我们可以看到同时有音律要素和历法要素的式图（见下，左图）；同时，其生律原则与《吕氏春秋》中的十二律生律法相同，若将其用直线连接，则可得一副首尾相连的生律周期图（见下，右图）。也就是说，不仅音律各个要素可以找到空间对应，生律原则也能够在宇宙图像中得到完全展现。左图：放马滩182-190号简（竹简残损部分先后经吕亚虎、晏昌贵、程少轩补足）右图：据放马滩简与音律相关文字所制的假想式图[28]一些前辈学者曾指出，早期中国数术图像化中最困难的是奇数和偶数相配的问题（如钱宝琮），并且主要是五和四如何相配的问题（如白奚）。[29]由于《陈起》中未出现五行和阴阳要素，因而这一奇偶相配困难就集中在五音和四时。简文中奇数组以五音为中心，由于音生日，因而有十日，且以十干支计；偶数组以四为中心，包括四时（由二分二至标识）、十二律、十二月、十二地支。两组数在这个系统中是通过五音、六律六吕（合为十二律）、对应十二月，因而与四时连接的；前两项关系的建立，是由于生五音与生十二律的生律法实质相同；后两项的关系则建立在以“岁”为中心的历法生成论基础上，十二月和四时都是对“岁”的划分；而中间两项以十二律对应十二月，则是以数为媒介进行音律—历法关联。在这个过程中，生律法是解决奇、偶相配问题的理论基础，而出土式图中二绳与四钩所指示出的十二方向分别与十二月和十二律的对应，则暗示音律—历法要素的关联与式占操作有关。至于陈起最后提到的“四卦”，我们则倾向于认为只是顺带提及，但它或许暗示着另一占卜系统及其相关数术——周易筮占——正在汇入早期音律—历法系统，但尚未得到有机整合。在年代较晚的式盘实物上（如朝鲜乐浪遗址王盱墓式盘[对应汉明帝时期]、上博藏六朝铜式盘），的确出现了四卦的刻入，四卦对应着四维的方向。在式占和假想宇宙图像的思路下，穿插在简文中对疾病之治疗的两次讨论，也能够得到合理解释。首先，由于式占的主要功用除了占岁与时外，还包括占病祟，因而陈起在讨论中提及“療与死各有数”就并不突兀。其次，根据学者对出土日书中所见疾病占卜系统的分类， 我们发现陈起对疾病的看法更接近其十二地支系统（如九店楚简《占出入盗疾》和云梦睡虎地《日书（乙）·有疾》）。[30]十二地支系统常常将疾病的发展描述为疾→少瘳→大瘳三个阶段，进而再作死生选择，因而占辞也一般遵循“以有疾，某少瘳，某大瘳，死生在某”的格式；对照陈起所言“苟知其疾发之日，早暮之时，其瘳与死毕有数，所以有数故可以医”，其对于时间的强调以及瘳与死的分段，都与十二地支的占病祟系统较接近。这也符合上文认为十二时、十二律及其在宇宙图像中的具象化是理解陈起所谈音律数和历法数关键的思路。相较而言，另一占病系统则与《月令》相似，主要以五行、五色、五方为基础；陈起未采用这一系统，也与简文未出现五行要素吻合。这也说明可能五行系统在早期是一个独立系统，而后来与音律—历法生成论系统的融合，或许也与五音与五行的对应有关。最后，我们还发现陈起在列举患病部位时（“今夫疾之发于百体之树也，自足、胻、踝、膝、股、髀、尻、膂、脊、背、肩、膺、手、臂、肘、臑、耳、目、鼻、口、颈、项”），导头到足身体之部位正好是22处，这或许也不是偶然，因为二十二正是地支与天干之和。若上文解释成立，那或许陈起列举身体部位时，也是配合假想宇宙图像来安排的。反过来，这也成为以宇宙图像解释简中之“数”合理性的旁证。四、结论

至此，我们为《陈起》中所有内容提供了一个整体性解释：解释了其历法模式的宇宙生成论框架、音律生成序列及其与天下之物的关联；在确定其与式占相关后，又根据其他出土文献，大致还原出涉及“数”的要素在宇宙图像中可能的排列和相配方式。在这个解释中，生成论是一把钥匙。首先，它容纳了在其他先秦文献中也出现了的历法生成论一般模式，即以“岁”为中心，包括四时、二分二至、十二月等对“岁”的不同划分或标识；四时和二分二至被表达在三方三圆图中，该图与《周髀》中七衡六间图一样，都是一岁中太阳日照范围的几何化表达。同时，生成论也包含音律生成序列。音律要素的加入对于这个“音律-历法生成论”的形成非常重要：一方面，律管可以用于为其他乐器定音的标准化作用，在战国秦汉的标准化运动中逐渐被用作了度量衡的标准，从而使来自自然的音律数与政治领域的百事经纪关联；另一方面，由于生五音和生六律的生律原则相同，因而五和六在生成序列中处于同一位置，这就为解决数术图像化时出现的奇偶数相配问题提供了可能。最后，早期中国独有的律历一体的生成论的产生，实际上无法脱离占卜实践而谈，因为式占所表达的宇宙图像，本身就是能够将音律、历法、干支计数法等融合到一起的基础。

《陈起》为我们理解早期中国律历一体的生成论提供了一扇窗口。在之后的发展过程中，由于与其他数术类宇宙生成论（如五行传统、《易传》传统等）和非数类宇宙论传统（如强调气的传统）融合，而变得越来越庞杂。这使我们面对这些融合形态时，常常难以察觉各要素的有机联系，只好泛泛称其为“关联性思维”；诸种传统融合必定带来更多需要解决的问题[31]，也有可能带来生拉硬凑的“比附”；同时，由于汉初古史造神话的影响深远，后人也常常误认为中国早期的宇宙生成论（如印欧传统一样）脱胎于神话或隐喻[32]，而忽略了它们形成时与占卜操作之间相互生发的关系，[33]从而只从历史书写或者思想建构的角度对这些材料进行研究。以上种种都成为我们理解早期中国宇宙论的障碍。近年来早期材料和出土文献的一项重要贡献，正在于帮助我们部分恢复这些要素的原初联系，使我们逐步接近对其“为何关联”以及“如何关联”的理解。[34]

【注释】

[1]“数”是指一切与计数相关的知识，包括数、历、律、度、易、卜等内容。参见郭世荣，“《陈起篇》的四个问题”，收于韩巍、邹大海（整理），《北大秦简<鲁久次问数于陈起>今译、图版和专家笔谈》，《自然科学科学史研究》，2015年第2期，第246页。

[2]这里所说的“语”是早期中国的一种文类，尤其保存在先秦迄两汉的文献中。有的学者认为“语”包括诸子百家之言和记言记事的史书（韩巍，《北大藏秦简<鲁久次问数于陈起>初读》，《北京大学学报（哲学社会科学版）》，2015年第2期，第31页），但有的学者认为“语”的内涵更加宽泛，其作为文类成立不是由于某种特定形式，而是由于其特定的功用，即“明德”，只要是围绕“明德”编选的，不论长短，无论重记言还是记事，都可称“语”。（俞志慧，《语:一种古老的文类——以言类之语为例》，《文史哲》，2007年第1期，第9页。

[3]“Notes on Beida Mathematical Document 《陈起》篇：Preliminary Thoughts and Reflections”，收于韩巍、邹大海（整理），《北大秦简<鲁久次问数于陈起>今译、图版和专家笔谈》，《自然科学科学史研究》，2015年第2期，第261页。

[4]古克礼，“鲁久次和陈起的对话和早期中国数学史”，同上，第256页。

[5]这里的理解与韩巍、邹大海给出的白话文译文不同，他们认为“夫学者必前难而后知其益”中的“学者”是特指“学习数学的人”，因而“前难后易”就专指学习数学时的次第。

[6]程少轩：《也谈“隸首”为“九九乘法表”专名》，《出土文献研究》第15辑，2016年7月，第119-126页。

[7]如史杰鹏：《北大藏秦简<鲁久次问数于陈起>“色契羡杼”及其他——从词源学的角度考释出土文献》，《简帛》，2017年第1期，第43-68、279页；陈镱文、曲安京：《北大秦简<鲁久次问数于陈起>中的宇宙模型》,《文史》，2017年第3期，第93-96页；曹方向：《北大秦简<鲁久次问数于陈起>衡间图浅析》，《简帛》，2018年第1期，第119-129页。

[8]李学勤：《太一生水的数术解释》,《道家文化研究》 第17辑，陈鼓应主编，生活·读书·新知三联书店，1999，第298页。

[9]参见[法]马克：《先秦岁历文化及其在早期宇宙生成论中的功用》，《文史》，2006年第2期，第5-22页。

[10]同上，第18-20页。

[11]马克总结的式子是：1—>2—>4—>岁。然而这样总结后，他又多次强调虽然有时在表述时“岁”被放在“四时”之后（如《太一生水》），但在目的的意义上和等级上“岁”都先于“四时”。因而我们将这个式子修正为现在的形式，一方面避免了误解，但更重要的是强调了“岁”是一个可以容纳不同项目的复杂体系，不仅“四时”是“岁”的一个子项，而且“岁”可以与音律关联，也可以被具象化。

[12]本文在讨论中国古代文本时，若使用阿拉伯数字，则表示数位、排序和计算时的数值；而在叙述中国古代文本中原有概念时（如四时、五音、六律），则保持汉字书写数字的方式。

[13]先秦至汉初关于五音和十二律记载的其他文献还有《国语》《放马滩秦简》《礼记·月令》《淮南子》和《汉书》等，但以《管子》生五音和《吕氏春秋》生十二律最为典型。

[14]争论点在于吕氏法究竟是“先益后损”（陈应时、罗科钧）还是“先损后益，蕤宾重上生”（杨荫浏、黄翔鹏、李成渝等），但放马滩秦简公布后肯定了后一种说法。相关讨论参见谷杰：《从放马滩秦简<律书>再论<吕氏春秋>生律次序》，《音乐研究》，2005年第3期，第29-34页；方建军：《秦简律书生律法再探》，《黄钟》，2010年 第4期，第133-137页；程少轩：《放马滩简式占古佚书研究》，中西书局，2018，第53-61页。

[15]吕氏法在生律上的考虑，可参吴南薰，《律学会通》，科学出版社，1964年，第70—71页。

[16]“度者，分、寸、尺、丈、引也，所以度长短也。本起（于）黄钟之长，以子谷秬黍中者，一黍直广，（度之）九十（黍，得）黄钟之长。”“量者，龠（仑）、合、升、斗、斛也，所以量多少也。本起于黄钟之龠，用度数审其容，以子谷秬黍中者千有二百实其龠，以井水准其概。合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为斛，而五量嘉矣。” “权者，铢、两、斤、钧、石也，所以称物平施，知轻重也。本起于黄钟之重，一龠容千二百黍，重十二铢。”“石者，大也，权之大者也，……重百二十斤者，十二月之象也。终于十二辰而复于子，黄钟之象也。”（见《汉书·律历志》）

[17]吕林岚修正了以往似乎已成定论的将这组“竽律”作为明器使用的看法，见吕林岚：《长沙马王堆一号汉墓出土十二律管考释》，《音乐研究》，1985年第3期。

[18]这常被今人误认作这一度量衡标准不精确、无法在现实中难以操作的证明，但实际上累黍只是形象化的描述，黄钟管长（按汉制）为九寸是有一系列比例数字保证的。参见马承源，潘建明：《新莽无射律管对黄钟十二律研究的启示》，《上海博物馆集刊》，1981年，第1-9页。

[19]参见陈镱文、曲安京：《北大秦简<鲁久次问数于陈起>中的宇宙模型》,《文史》，2017年第3期,第94-96页。

[20]我不大认同陈、曲认为《陈起》模型比《周髀》模型更合理的说法，因为那种“合理性”是从天球投影的角度看的（同上，第96页），但当时并没有天球的观念。从太阳在天穹上的运动情况看（采用《周髀》中去极半径的视角），春秋分去北极半径均分才更合理。《周髀》中之所以将各个同心圆的间隔均匀化，可能是为了方便与二十四节气对应；或许也与均分时间的理念有关。 

[21]关于式和式图的详细讨论，见李零：《“式”与中国古代的宇宙模式》，《中国文化》，1991年第1期，第1-30页；《中国方术正考》，中华书局，2006，第69-140页，尤其是92-126页；以及黃儒宣，《<日书>图像研究》，中西书局，2013，第28-108页。

[22]“宇”“宙”的本义也正是空间和时间。

[23]早期式盘/图个别也出现十二地支逆时针旋转的情况，如马王堆帛书《式图》和江苏仪征刘集联营西汉墓M10所出式盘，但目前仅此两例。

[24]十二干支与十二时称相对应的情况，先秦时期目前只发现一例，即睡虎地秦简。

[25]整理者韩巍在释读中直接说“十二时应指十二月”，但没说明原因。曹方向有不同意见，认为十二时可能包括年、月、日的十二分法。

[26]《淮南子·天文训》中有音生日、律生辰的讲法：“音自倍而为日，律自倍而为辰，故日十而辰十二。”又如刘歆：“六律六吕而十二辰立矣。五声清浊而十日行矣。”《淮南子·天文训》中也有十二律与十二月相配的讲法：“律之数六，分为雌雄，故曰十二钟，以副十二月。”

[27]如孔家坡汉简《岁》篇，是以角对应北方、徵对应东、羽对应南、商对应西，《吕氏春秋·十二纪》则采用不同方式。

[28]程少轩：《放马滩简式占古佚书研究》，中西书局，2018，第60页，图2-1-3。

[29]参见钱宝琮，《太一考》，《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社，1983年，第207—233页；白奚，《中国古代阴阳与五行说的合流——<管子>阴阳五行思想新探》，《中国社会科学》，1997年第5期，第28页。

[30]另一系统被称为十干支系统，其基础是五行、五色、五方，如云梦秦简《日书（甲）·病》；也有两种系统都存在的，如王家台秦简《日书·病篇》。参见杨华，《出土日书与楚地的疾病占卜》，《武汉大学学报(人文科学版)》,2003年第5期，第564-570页。

[31]如五行要素的出现，将引入更加复杂的奇偶配数问题。相关讨论参见白奚，《中国古代阴阳与五行说的合流——<管子>阴阳五行思想新探》，《中国社会科学》，1997年第5期，第28页。谷杰，《从古代阴阳五行宇宙观看先秦至汉初五音与十二律生律法的思想根源》，《黄钟》，2010年第4期，第138-147页。

[32]如艾兰、鲍海定、马绛等人的文章，均收于《中国古代思维模式与阴阳五行说探源》，艾兰、汪涛、范毓周主编，江苏古籍出版社，1998年，第58-117页。

[33]关于太一生水的宇宙生成论和太乙九宫占的关系，也是一例证。见姚治华：《<太一生水>与太乙九宫占》，《古墓新知》，庞朴、刘怡群编 ，台北古籍出版社，2002，第47-67页。

[34]拙作初稿在2017年博士后出站时写成，思想形成期得到合作导师孙小淳教授的帮助；后来在多次重写和改动过程中，又受益于与程少轩博士的多次探讨；最后在投稿《哲学动态》过程中，又承匿名外审专家提供诸多建议；谨此一并致谢。

刘未沫，2017年12月进入中国社会科学院哲学研究所《哲学研究》编辑部工作，2019年11月起兼任中国社会科学院希腊中国研究中心特约研究员。主要研究领域与兴趣：古希腊哲学（尤其是自然哲学）、科学史（尤其是中国古代天文学史）、文明比较研究（尤其是宇宙论比较研究）。此外，音乐理论和钢琴演奏也是个人兴趣，未来还将在音乐哲学方面进行研究拓展。

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