小寒：数说23，图画24。

2024年1.06小寒：数说23，图画24。

2023年进一步补充了

个人睡眠统计数据库，

今天小寒，继续分享：

过去五年来睡眠变化的初步研究

2023.12.20文

2023.12.29图

（6828字）

一、背景介绍：

1、自然常数：

先从自然常数e谈起,为什么叫自然常数，它从哪里来？自然常数字母e是数学家欧拉引入，也被称为欧拉数。定义：

e用在金融领域：单位本金在单位时间里投资，利率为100%，若单位时间里分成x次投资，则拆分利率单次为1/x，x次本息共计。

当x=1,本息共计=2，

当x=2,本息共计=2.25，

当x=4,本息共计≈2.4414……

付息频率越大本息越高，x趋近无穷大时，本息的增长极限为e=2.7182818284......

自然常数e还有什么用？在《数学模型话安全》、《化工大楼装修和搬迁中的责任体系、任务分工、项目推进和统筹方法研究》，我均已用到了e：前者是能垒模型，后者是欧拉公式。数理化生处处都有e的身影，跟e相关的等角螺线在大自然中更是比比皆是：星系、气旋、海螺壳图形、DNA双螺旋结构等等。

等角螺线

2、统计分布：

再说跟e相关的的两个重要的统计分布：

在中学阶段，我们学习了统计学正态分布：

图1：正态分布图（来自知乎）。

在大学阶段，学了统计热力学玻尔兹曼分布：

其中β=1/kT，系统温度有限，粒子数守恒N=∑Ni，能量守恒E=∑Ei=∑piεi。玻尔兹曼分布的分子Ni=e^(-βεi)，即能级εi上有Ni个粒子，分母被称为配分函数N=∑e^(-βεi)，即总微观状态数。分子和分母都是含有e的指数函数，实质是能量和粒子数按指数分布。配分函数在热力学中特别重要，可以说一切热力学量的计算归结于配分函数的计算，下文会多次涉及。由玻尔兹曼能量分布推导的麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布，是正态分布在热力学的具体体现：

玻尔兹曼也得到熵的统计学定义：1854年克劳修斯首先引进了熵的概念，给出熵的宏观定义ΔS=Q/T。1877年，玻尔兹曼给出熵的微观定义，用S∝lnΩ表示衡量系统无序性大小，其中Ω是微观状态数。1900年，普朗克引进了玻尔兹曼常量k，得出玻尔兹曼公式S=klnN。这个自然对数公式里同样包含着e，这个e来自配分函数。并且克劳修斯熵与玻尔兹曼熵本质相通，可以用配分函数推导出来。一百年来熵增定律（热力学第二定律）逐步从统计热力学延伸到信息学、哲学、天文学、社会学等各个学科，但回归熵的定义，最经典的莫过于玻尔兹曼熵，即系统熵正比于微观状态数的对数。

——————————————————————————————————————————

3、睡眠与熵：

睡眠与统计学熵听起来很遥远，但当我获得了近六年的睡眠数据（包含每日起床、午休和晚睡时间），又迫切呼唤以上知识工具了，再次感慨“不是学了没有用，而是没有设法去用”！！

睡觉是人类维持作息平衡的重要途径，是最自然的生命活动之一。一个人每一天大约有30~40%的时间花在睡觉上，睡眠质量直接关系生活质量和工作效率。为此，我从2018年开始统计个人睡眠情况。学习竺可桢《中国近五千年来气候变迁的初步研究》，我尝试对过去五年睡眠状况进行统计分析，以践行学以致用理念。

数学角度怎么衡量睡眠？睡眠作为自然的生命活动，能否从中引入e？我发现了正态分布和熵的定义，因为两者都有e。玻尔兹曼熵的定义S=klnN，可还原为对数形式N∝e^S，N定义为睡眠微观状态数，S定义为睡眠熵，即离散程度；正态分布也可简化f∝e^-s，或s∝-lnf，f代表频数，s代表睡眠偏差:

图2：睡眠偏差s与频数f关系图。特定正态分布内的平均值μ、标准差σ不变。

数学上正态分布f=f(x)为概率密度函数，对它积分得到概率函数，正态分布的总积分面积为1，即概率100%（如图1）。统计热力学玻尔兹曼分布中微观状态数归一化后也是概率，即每个微观状态数的概率1/N。f对s的积分面积S=f0-f对应正态分布图的面积（复合函数的积分，f对s的总积分面积为S=f0=），这与玻尔兹曼分布微观状态数本质相同，都有概率的意义。睡眠偏差s可以反映睡眠离散程度，偏差为零说明睡眠稳定，偏差越大，睡眠状况越离散。某一睡眠偏差区间si的正态分布面积Si等于该偏差区间睡眠微观状况的概率pi,有pi=Si∝e^-si。睡眠偏差区间si类似能级εi，概率pi∝e^-si也是含e的指数函数，实质也是频数和概率按照指数分布，这一点与配分函数N=∑e^(-βεi)高度吻合。

4、定量计算：

状态函数指表征体系特性的宏观性质，变化值只取决于系统的始态和终态，与中间变化过程无关，可以定量计算变化量或基准值，比如温度和熵。统计上通常用方差或标准差表示一组数据的离散程度，几组数据的离散程度可以用方差或标准差进行比较，但方差或标准差不是状态函数,不能计算变化量或基准值。为了定量研究五年的睡眠变化，本文在方差或标准差基础上，引入睡眠熵。先从基本粒子角度阐述睡眠熵——

玻尔兹曼熵具有量子性：基本粒子有物理极限，即不连续性，还有运动不确定性。本文睡眠熵也具有量子性，最基本“粒子”是一天睡眠情况，包括早起、晚睡和午休等。玻尔兹曼熵基本粒子具有空间性，睡眠熵基本“粒子”具有时间性。每个基本“粒子”都在时间里做无规则运动，微观状态呈现不确定性：比如六点起床或十点起床。热力学第三定律（绝对零度）统计学意义：在绝对零度时，基本粒子停止运动，固体或液体微观状态数N为1，则熵S=klnN=0。同理当绝对自律时，比如每天早上六点整准时起床、晚上十点整准时睡觉，睡眠基本“粒子”停止变化,睡眠的微观状态数N为1，睡眠熵S=klnN=0。但正如绝对零度永远不能达到，绝对自律同样不能达到（即便人能做到按时作息，也有入睡快慢和起床快慢的误差）。所以睡眠熵总是大于零。再做个思想实验：在一个封闭无外力做功的系统里，类比两组玻尔兹曼熵的基本粒子混合，对两组睡眠熵的基本“粒子”混合，都符合熵增定律，这也是本文理论预测的结论。

如何计算睡眠熵？根据玻尔兹曼公式S=klnN，可知睡眠熵是状态函数，基准值只与睡眠微观状态数N有关。但实际应用中，睡眠微观状态数跟观察者的观察精细度有关，如果观察精细度达到物理极限，可以采用玻尔兹曼公式计算出睡眠熵的基准值，但理论上不可行。故本文采用本质一致且应用更广泛的信息熵公式（信息学偏爱二进制，采用对数底数2。我偏爱e，选择保留玻尔兹曼公式的自然对数ln，两个定义只是相差一个常数ln2）：

S=-k∑pilnpi

其中某偏差区间si的概率pi=Ni/N，∑pi=1，pi可以通过正态分布面积计算。例如：

当pi=1,即N=Ni，

S=-k∑pilnpi=0；

当p1=p2=0.5,N=N1+N2，

S=-k∑pilnpi=kln2；

当p1=p2=p3=p4=0.25,N=N1+N2+N3+N4，

S=-k∑pilnpi=2kln2……

有趣的是：这种拆分概率计算的方法，是不是与前面谈到拆分利率相似，且随着概率拆分得越精细，是不是存在一个类似本息极限e的上限?事实S确实存在一个上限：在统计热力学中，在粒子数守恒N=∑Ni，能量守恒E=∑piεi系统中，当Ni=e^(-βεi)或pi∝e^(-βεi)，即玻尔兹曼分布时，S最大。在统计学中，∑pi=1，μ=∑xipi，2∑pisi=1条件下，当pi∝e^(-si)，即正态分布时，S最大。通俗理解：正态分布和玻尔兹曼分布是出现概率最大的分布（又叫最概然分布），即微观状态数最多，熵最大。

综上，抽象的睡眠熵S，是不是可以定量计算了？看看五年统计分析的过程和结果。

二、数据处理：

苏霍姆林斯基认为能力是获得知识的工具，故本文还要重点介绍数据处理方法。

1、平均值计算公式：

获得各年/月/周平均值,可利用excel或origin画出折线图及兰丁格尔玫瑰图。兰丁格尔玫瑰图也能看出各阶段睡眠集中或离散程度。

2、方差计算公式：

或标准差：

可利用excel计算方差：VARP是总体方差，分母为n,VAR是样本方差,分母为n-1。样本方差和总体方差有什么区别？想到大一时龙老师在分析化学课上曾讲过标准偏差分母n-1且n>5，以控制误差范围。此处类似：因总体数据和平均值难以获得，故常以样品方差近似代表总体方差。对于样本方差，采用n-1作为分母，使得样本方差的期望值近似等于总体方差。如果采用n作为分母，每个样本点与样本均值之间的距离，包含了样本均值与真实均值的距离，计算结果偏小，即：

当样本容量足够大时，分母为n-1或n几乎不影响方差结果，本文的样品容量足够大，可不计较分母取值。

本文中平均值μ、标准差σ属于年整体分析，方差在一定程度上反映睡眠熵。

3、正态分布：

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为：或(μ，σ)。期望值μ决定了位置，标准差σ决定了分布的幅度。

获得五年睡眠数据的平均值μ方差σ后，可直接利用desmos作图。也可利用origin画正态分布直方图。

4、需要说明：

数据处理过程中，我通过excel公式批量处理2018-2023年的平均值μ、标准差σ。其中2018年数据缺失，样本容量小对方差影响很大，故舍弃2018年方差统计，重点对比2019-2023这五年睡眠数据的平均值和方差。

由于数据量庞大，往年睡眠统计采用分组（周）整化处理方法，数据以周为单位，即以一周七日睡眠数据的算术平均值代替每日实测值，再以各周平均值进行统计分析。这样处理的好处：简化了数据运算且不影响年平均值计算，并减小了睡眠数据的不确定性，突出周平均值稳定性的现实指导意义。不足是产生一定的误差，特别是方差计算。本文在此基础上，五年睡眠数据还进行了月整化处理方法。整化处理误差计算可参考周生祥《数据分组整化求平均值的误差分析》等论文，本文略。

三、结果分析：

1、五年睡眠统计：睡眠时间含昼夜两部分

2023年平均早起时间6:35；平均晚睡时间23:06；平均睡眠时间8.50h；

2022年平均早起时间6:13；平均晚睡时间23:12；平均睡眠时间8.69h；

2021年平均早起时间6:21；平均晚睡时间23:01；平均睡眠时间7.84h；

2020年平均早起时间5:42；平均晚睡时间23:02；平均睡眠时间7.03h；

2019年平均早起时间5:24；平均晚睡时间22:56；平均睡眠时间6.40h；

2018年平均早起时间4:56；平均晚睡时间22:34；平均睡眠时间6.51h。

图3：五年来早起、晚睡和睡眠时间曲线及玫瑰图（注：红绿总高度为早起时间）。

2、历年平均值、标准差曲线、玫瑰图及正态分布：数据如下，记作年份(μ,σ)

2019-2023年早起时间2019(5.40,0.292)、2020(5.70,0.517)、2021(6.35,0.223)、2022(6.22,0.460)、2023(6.58,0.468)。

2019-2023年晚睡时间2019(22.93,0.430)、2020(23.03,0.304)、2021(23.02,0.306)、2022(23.20,0.454)、2023(23.11,0.481)。

2019-2023年睡眠时间2019(6.40,0.504)、2020(7.03,0.453)、2021(7.84,0.426)、2022(8.69,0.661)、2023(8.50,0.776)。

图4：2019-2023年早起时间年平均值、标准差曲线、玫瑰图及正态分布。

图5：2019-2023年晚睡时间年平均值、标准差曲线、玫瑰图及正态分布。

图6：2019-2023年睡眠时间年平均值、标准差曲线、玫瑰图及正态分布。

3、睡眠熵曲线：

那如何计算熵值呢？熵值计算与分辨能力有关，为简化计算，假如我的观察记录的分辨能力是平均值前后半小时（实际是一分钟）。根据以上正态分布数据求以下概率：p1代表平均值前半小时以内概率，p2代表平均值前半小时以外概率，p3代表平均值后半小时以内概率，p4代表平均值后半小时以外概率。由S=-k∑pilnpi得：

图7：2019-2023年来睡眠熵变化曲线，与标准差相对应，近三年趋势上升。

4、数据分析：

年平均值又升了，方差普遍更大了！

为什么会变懒散？符合熵增定律。

另外，兰丁格尔玫瑰图有趣的现象：年初白昼短日出晚气温低任务重，看起来早起困难种种，反而起床时间早且集中。因为外界困难激发内在斗志，加强自律，局部方差降低，睡眠变得更有序（此外，创作效率、运动和洗澡频率等在一定程度提升了）。看似熵S也减了？但通过数据统计和反馈产生了信息熵，自律实践也对系统做了功，外界输入的物质、能量和信息，比如气温、气压、湿度、生活动力和工作压力等对睡眠造成影响，打破了内在的封闭系统，故不违背热力学第二定律。

四、总结展望：

1、总结：睡眠总体状况逐年懒散、熵增。前几年的年平均睡眠统计结果，我已初步发现了自己逐年变“懒”的迹象，五年来睡眠方差统计进一步发现自己逐年变“散”的迹象，究其原因，是自然熵增过程。

2、展望：加强自律，多做减法。以上统计学工具都很经典，我没有新的创新，只是将其引入到熟悉的睡眠领域。首先是促进知识的流动，即学以致用；其次，通过统计的过程和结果，建立睡眠反馈机制，更好指导改善睡眠状况的实践，比如加强自律，多做减法，远离电子产品等。

3、收获：有机质和无机质的连接是植物的光合作用，苹果和月亮的连接是牛顿的万有引力，现象与本质的连接是数学的想象力，睡眠和熵的连接是大自然的常数e。

4、说明：本文主体内容是2023.12.20写的，统计图是2023.12.29画的。原因一是统计内容完整性需要，二是先理论推导后应用并检验。

正是：

封闭不做功，无序熵值蹭。

覆水应难收，化雨乘秋风。

后记：化腐朽为神奇——熵

熵简单又不简单，最后，我从四个方面再简单谈谈不简单的熵——

1、我的作息：

有时会有人问我，我的自律习惯是不是来自部队？我通常回答：不是。一是实事求是，我的早起习惯自幼养成；二是我的军旅期间睡眠是极其混乱的，撇开站岗不提，还要经常通宵出黑板报。但客观来讲，部队的严格纪律让大家保持了低熵状态：正常情况下，几乎到点起床、到点睡觉。但需要注意：这种自律是一个开放系统，有外力做功的，比如不起床、不睡觉会有惩罚的压力。所以很多战士退伍后，缺乏纪律约束，熵会很快反弹。后来我读研时，看到睡眠熵增现象，意识到这个问题的根源在于缺少信息熵输入，于是我开始了长达六年的睡眠统计，通过自我反馈来维持低熵状态。但即便如此，熵还是逐年惊人增长。

2、熵的历史：

熵增定律被冠为科普重灾区，因为始终存在历史渊源和学术争议,比如熵的正式定义就有许多种，绝对零度熵值到底为不为零？像我这样的不良学者还一直在往里添乱，本文再次申明上面谈了的睡眠熵是玻尔兹曼熵的应用，也是信息熵的一种。熵概念泛滥也是熵增的表现，因为信息总是朝着未知和无序的方向发展，唯有用实践检验、数学工具和历史唯物才能抵制熵概念的熵增现象！

回顾历史源头，克劳修斯熵极为重要：克劳修斯熵首次给出熵的定义dS=dQ/dT。热温比也是“熵”中文字义来源：胡刚复教授（1936年后被竺可桢聘为浙大教授，随即跟随浙大西迁之路）于1923年5月23日为普朗克( Planck)来南京东南大学作《热力学第二定律及熵(Entropie)之观念》讲学的翻译时，第一次将Entropie译为‘熵’,读音也读作“商”，表示S的量纲为热量与温度的之商，并且还与火有关，就加上了火字旁。在蒸汽时代，熵回答了热能多大程度转化为有价值功的问题，熵是能量的品质，打破了第二类永动机的幻想——热不能全部转化为功。理想的卡诺热机热功效率：η= 1 - (T1/T2) ；现在路上跑的油车的热功效率：柴油机35-45%、汽油机25-35%；电车（电动机）的热功效率在85%左右。从热功效率看，电动车要经济多；从熵值来看，电车的熵值低、价值高。

3、熵的辩证：

熵增定律的泛滥，让熵背负了许多悲观消极的骂名，我再从辩证唯物角度为熵正名。首先，作为一个状态函数和一个名词，熵不但是无辜的，而且是有价值的，它让我们看到了浑沌世界中有价值的东西：在原始社会，让天然火为我们做功；在蒸汽时代，让热为我们做功；在信息时代，让信息/知识为我们做功；在上文中，让睡眠统计数据为我和大家做功。其次熵增也是无辜的，它是大自然的普遍规律，宣布了第二类永动机的破产，告诫人们不要妄想一劳永逸，只有勤劳能创造财富，只有自律才能到达自由。

之所以人们畏惧熵增，因为熵增意味着无序、未知、分散、不确定等，但一分为二看：熵增是把双刃剑——无序与有序相对，分散和集中统一，自由同自律并存；信息熵增加表明，信息（知识）越多越未知，但子曰知道的未知也是知识；吉布斯自由能公式ΔG=ΔH-TΔS表明低熵是不稳定的：分散后ΔS>0、自发反应ΔG<0且绝对值增加，能量降低更稳定，所以冬天睡觉蜷缩一团熵增大，和露珠一样自然。极寒ΔS小，低熵电车也罢工。

4、宝贵的熵：

品质越好越稀缺，越稀缺的越宝贵，因为熵增也让我们看到熵的宝贵：“一年之计在于春，一日之计在于晨”，把最宝贵的时间用来做最重要的事情，比如春季和早晨的熵最低；社会主义的优越性，在于集中力量办大事，因为越集中熵越低；项目管理中，资源（也包含人力）、精力、目标、时间等集中有序则高效，因为熵值低；“少就是多”，话越少错也越少，影响效果也越好，因为熵低。所以就说得这里。

参考资料

1、知乎：自然常数e是怎么来的？

2、知乎：一文讲透自然对数底数e到底有多自然？

3、知乎：麦克斯韦速率分布推导及分子动理论。

4、知乎：信息熵与热力学统计物理中的熵有什么区别和联系？

一候雁北乡

二候鹊始巢

三候雉始鸲（qú）

大雁始北移；喜鹊始筑巢；野鸡始鸣叫。