增材制造技术作为一种新兴的制造技术，一经出现就在制造业引起了广泛的关注，尽管它目前还存在着不尽如人意的地方，但是人们普遍认为这是一种具有巨大发展潜力和想象力的技术，代表着数字化转型的重要发展方向之一。安世亚太公司深耕增材制造产业化应用多年，深刻认同增材制造在未来数字化制造变革中的核心地位，我们基于多年的项目经验和思考沉淀，推出了“增材思维

安世增材DLM-280是一款基于SLM技术（选择性激光熔化技术）的金属3D打印系统，凭借其超高打印精度和性能稳定的优势，为众多制造领域的用户实现了“设计自由，制造自由”。DLM-280到底有什么魅力？让我们来一探究竟。▌顶尖配置，打破制造局限DLM-280配备了国际一线品牌硬件，包括IPG

大家常说花钱如流水，其实真正如流水的是岁月。自己克制点，钱还是能少花甚至不花的，但是岁月这条小溪，堵不住也截不住，无论你如何节省克制不去使用它，它都会按照自己的步伐永远前进，甚至一代人时间用尽了，岁月还会让下一代人继续蹉跎老去！不知不觉间，喜欢的影视明星电视机上看不到了，不知不觉间，工作十年有余了，不知不觉间，接触有限元仿真快二十年了！仿真这个事并不是靠时间积累就能成为专家的。很多人工作时间虽然长，但是大部分时间都是机械重复工作，肯定有很多技术工程师也是过着类似的生活，至少身边认识的人中，工作多年还是只会基础操作的人不在少数。一.高端轴承设计仿真的现状十几年下来，觉得有点技术含量，或者说还有点难度的技术点总结起来就两个，一个是轴承仿真建模，一个是螺栓有限元疲劳计算。一个极限强度计算，一个疲劳强度计算。最近几年，国内的很多技术领域都取得了长足的进步，甚至很多领域都已经达到国际领先水平，但是不得不承认，高端轴承领域不管是设计还是生产，国内依然是弱项，很多高端大型轴承质量依然不如国外的好。这也造成国内轴承设计人才短缺，相对应的轴承仿真方法也相对较弱。任何工业国家，设计生产能力都必然有一个漫长的提升过程，我们当然也不例外。使用动力学仿真软件，模拟一个轴承，简直简单的不要不要的，一个简单操作而已，但是针对静强度中的轴承仿真，就没这么方便容易实现了。最近各个有限元商业软件新版本，也逐渐出现了简单轴承的仿真模块，虽然有的模拟的不精确，或者收敛性太差，亦或实现的操作方法太繁琐，但是总归能实现了，不用被领导责问“这里有个轴承你为什么不建模？没有轴承你这仿真肯定不准啊！”当然，也可以使用动力学软件进行仿真计算提取结果，然后把提取的反力结果放进有限元软件中去计算，也是个不错的方法。前提是，你会动力学软件，并且时间足够用于两次建模计算。有没有一种方法，既精确，又不借助于动力学软件，操作也不太难，收敛性又好的方法呢？当时是有的，该方法来源也是国外的咨询机构，我们需要做的是消化吸收再利用，以便更好的服务于我们自己的工程项目。ANSYS软件进入国内很多年了，国外使用历史更长一些，全世界无数的工程师再使用有限元计算软件的过程中，总结了很多简单有效的仿真方法，轴承仿真目前应用最广的方法就是使用杆单元模拟轴承滚子或者滚珠，同时对轴承内外圈进行实体建模。该方法得到国际认证机构的认可（其实来源也是国外的仿真咨询机构），建模方法简单易懂，计算过程易于收敛，计算结果也可靠，唯一的缺点就是建模过程稍微复杂一点，只要对软件操作稍微熟悉的人，处理起来也完全没有难度。任何项目咨询，都是价格昂贵且时间冗长的，但是反应到实际技术操作，可能就没有这么复杂难懂了，有些可能是很简单的技巧性操作而已。二.轴承仿真的四个小技巧给大家分享几个轴承仿真的小技巧，即使不做轴承仿真，仿真其他机械结构也可能用得到的。1、轴承内外圈必须进行几何清理，小螺栓孔，线孔，小结构等等一律去除！2、可以把内外圈切分成两个半圈，再合成一个Part，既不影响结构计算，还能更方便的观察几何特征。3、轴承内部结构应力分布复杂，而且是运动部件，建议有需求的学员尝试切分简化处理模型。4、轴承内部杆单元也可以做一些分析，案例如下。三.不同轴承仿真方式对风电机组主机架计算的影响我们知道，主机架是风力发电机组中最关键和承载最复杂的部件之一，其良好的设计、可靠的质量和优越的性能是保证风电机组正常稳定运行的关键因素，是风力发电机组结构设计的重点和难点。对类似的复杂结构部件，有限元法越来越多地应用于风机部件强度分析中。风电机组中的大部件损坏，很多部件都是与主机架连接的部件，如齿轮箱箱体，主轴承，力矩臂等，而这些部件的损伤，也是和主机架的安全性稳定性所相辅相成的，这也更说明了主机架安全稳定的重要性。风电机组的主轴，其功能是将扭矩载荷传递给齿轮箱以及发电机，将其他载荷传递给支撑结构主机架。在实际风机故障中，主轴承损坏主要为滚子破损或保持架损坏，而对于主轴承损坏严重的情形下，主机架轴承安装位置都不可避免的造成一定程度的损伤，甚至于需要重新返厂维修整机。在设计和选用轴承的过程中，需要对轴承的性能和寿命进行分析，以便及时改进设计，合理选型，提高风力发电机组的可靠性，避免失效，降低成本。我们知道轴承结构主要是双排滚子轴承支撑结构。首先看一下主轴承的结构形式以及与主机架的安装配合形式。如图1为主轴承结构图的横切图。轴承为内外两环，内部滚子为带锥度的近圆柱体，内外两环之间设有保持架结构，主要为了保持滚子能均匀匀速滚动。我采用三维有限元计算方法，按主机架的实际几何特征建立模型。以便计算所得的结果能较好反映实际问题，并能更详细和准确地反映真实应力的分布，得到不同位置的应力，从而为主机架的强度校核及改进主机架结构设计提供依据。主机架材料一般是球墨铸铁，铸造结构。采用三维软件建立主机架的CAD模型，并在ANSYS模块中进行有限元计算。使用的载荷是轮毂中心固定坐标系载荷，主机架有限元计算模型有必要对连接过渡段和主机架的主轴承进行建模。而在建模计算过程中分析发现，轴承建模方式的不同对主机架的应力计算结果有较大的影响，不同的工况相差5%至15%不等。在有限元计算中，圆锥滚子轴承的模拟通常采用简化滚子的方式，即保持轴承内圈的构造，将滚子用几根受压不受拉的杆单元替代，同时轴承内外圈采用solid187单元，这样的简化模拟出了轴承只传递压力的特点。目前，国内外风电厂家基本使用的这种建模方式建立轴承模型用于主机架的强度计算分析。两种不同轴承模拟方法的主机架计算应力结果存在明显的区别，使用没有联系的杆单元计算出来的主机架应力值要大于使用有联系的杆单元的计算结果。出现这种情况的主要原因，是由于主机架前端轴承安装位置的整体刚度存在着巨大的差别，同时载荷在向主机架后端传导时的作用方式也不存在差别。后者的作用方式，是在主机架前端圆环面端建立了相互联系，向后端传导载荷时也更均布一些，所以应力分布也更均匀一些。文章来源：仿真秀微信公众号，版权归作者所有，转载旨在分享。延伸阅读：1、ANSYS轴承CAE仿真问题分析和案例分享2、ANSYS

2020R1已于近日发布，相关的软件更新资料也正在同步放出。安世亚太的工程师们正在进行相关的梳理和翻译工作，希望对大家有所帮助。本文为大家分享ANSYS

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邀请函尊敬的客户：近期，ANSYS2020R1正式发布，为了让广大用户深入了解此次新版本功能，同时便于大家学到最新的仿真技术在前沿行业的应用，ANSYS中国推出了一系列仿真网络研讨会。2020年2月和2020年3月ANSYS网络研讨会聚焦ANSYS各类产品在前沿行业的应用和2020

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人们关心流体的运动是很自然的，因为地球为大气所包围，而地球表面的2/3为水面覆盖。作为科学问题的湍流，是在1883年Reynolds做了区分层流和湍流这两种不同形态流动的实验后确立的。而自20世纪初以来，由于工程技术的发展，对认识湍流的规律提出了迫切的要求，从而大大地推动了湍流的研究。在这100多年中，对湍流的认识的确取得了很大进展，否则如航空、航天、船舶、动力、水利、化工、海洋工程等工程技术，以及气象、海洋科学等自然科学都不可能有很大的进展。但另一方面，人们对湍流的认识又还很不全面，从而制约了这些工程技术和自然科学的进一步发展，也可能会对21世纪的某些新兴科学技术的形成起到制约作用。因而在21世纪之始，再一次将这一世纪难题提到科学工作者面前是很必要的。湍流运动的复杂性湍流运动复杂性的根源在于它是强非线性系统的运动。控制湍流运动的方程——Navier-Stokes

以下案例选自安世中德案例解决方案案例一：斜槽异步电动机电磁、结构、声学耦合分析案例特色：低频瞬态电磁场分析获得随时间变化的电磁力，将电磁力做FFT变换后施加在结构模型上计算结构动力响应，利用自主开发的SBSound计算结构噪声。案例二：齿轮齿根部裂纹的断裂力学参数计算案例特色：首先进行整个齿轮的无裂纹静力计算，然后建立齿根过渡圆弧处的精细模型，利用Workbench参数化方法在齿根模型中建立参数化裂纹模型，快速计算不同裂纹尺寸下裂纹前端的KI、KII、KIII应力强度因子。案例三：某柴油机曲轴运动学载荷分析及疲劳强度校核案例特色：首先用RecurDyn计算曲轴连杆机构动力学特性，获得曲柄销所受切向力、法向力以及合力随曲轴转角的变化，根据各缸发火顺序，以尽量兼顾各曲轴销最大、最小载荷为原则确定整个曲轴强度和疲劳计算的载荷工况

数值模拟的核心就是控制方程。对于每一个做数值模拟的研究生而言，特别害怕老板提问的就是：

安世亚太和博览达基于20多年的仿真经验，结合国内外的先进技术，开发了集成于WorkBench的仿真模型对标物理样机测试的桥梁——SafeDesign。今天，就给大家介绍这款通用于各行业，连接仿真与测试对标的桥梁——SafeDesign。概述断裂失效是大多数机械产品的失效形式。据统计，工程中80%以上的机械产品失效都是与静力或疲劳失效相关的断裂失效，因而，定性、定量地把握产品的安全性能是企业产品研发的重中之重。测试与仿真虽然是目前产品研发中的两种主要手段，但由于这两种主要方法的特点和局限性，使得他们各行其道，无法相互促进。一、基于物理样机的测试技术：测试结果相对准确，但该方法需要花费大量的时间和成本来进行测试前的准备工作，并且测试精度受到多种因素的影响，如测试位置，应变片方向，温度等。针对一款产品的测试验证，往往需要打造多个物理样机，需要进行多轮测试，因此测试成本高、测试周期长是影响产品研发成本和效率的客观因素。测点的选择和布置对能否正确了解结构的受力情况和实现正确的测量影响很大，因此需要将有限数量的应变片以最佳的方向粘贴在最合适的位置，以达到真实反映结构受力状态的目的。----Timothy

本段视频主要介绍了网格划分的初步介绍，并通过将我的激砺改成外电路，用外电路进行了计算与分析。以上视频选自“大咖慧”免费系列课更多详细讲解欢迎收看

概述便携式电子设备包括数码相机、手机与掌上电脑等等均需要使用印制电路板（PCBs）。随着对产品的便捷性与多功能的要求越来越高，产品的设计也越来越倾向于使用高密度和尺寸更小的集成电路（IC）封装。这种设计要求使用间距更小的焊点，这样会使板级的集成电路连接变得更为脆弱。在产品运输与客户使用产品过程中，电子设备的集成电路板均可能受到随机而又剧烈的动力载荷的作用，此时设备的安全性是个较为重要的问题。随机振动的功率谱密度分析可以模拟设备在随机激励的载荷作用下的结构响应特性。模态叠加法可以有效地求解大型的线性动力学模型，这种算法可以将计算模型转化成一系列不相互耦合的基于系统模态的方程组。模态叠加法的第一步是进行模态分析，得到系统的固有频率与振型，然后基于这些结果就可以进行瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析。当施加的外界动力载荷激励激起结构的高频振动时，模态叠加法趋于不准确，这就需要更多阶的模态来保证获得准确的模态叠加解。残余向量法在这种情况下能够起到较好的帮助作用，使用残余向量法可以改善只求解少量的模态进行模态叠加法计算的精度。使用应力/应变的模态的直接组合可以有效地提高模态叠加法的扩展效率。在模态分析中可以使用单元结果扩展选项启用扩展功能。电路板有限元模型建立模型是有三块印制电路板层叠而成，每一块印制电路板都包含有电路板与集成电路封装的芯片。电路板的长宽尺寸是0.20m×0.28m，厚度是5mm。电路板可以使用壳单元shell181建模，封装芯片采用20节点的高阶实体单元solid186建模。三个印制电路板在其四边的角点上使用柱子连接，柱子采用梁单元BEAM188进行建模（梁一般用于长度与截面直径的比值不小于10的结构）。电路板与封装芯片采用的是柔性的绑定面对面的接触形式。下图是有三个印制电路板组成的电路板组件。

本文来自于安世亚太仿真工程师的演讲,分析了电子产品可靠性影响因素和工程问题，ANSYS结构仿真在电子产品设计中的应用，以及电子产品可靠性仿真客户化程序开发。延伸阅读：1、可穿戴医疗设备研发仿真解决方案2、面向5G的终端天线仿真关键技术3、热模拟驱动产品设计

随着5G商用序幕的拉开，5G标准不断演化，面对5G应用的三大场景：增强型移动宽带(eMBB)、海量机器类通信(mMTC)及低时延高可靠通信(uRLLC)。5G移动通信技术通过引入大规模MIMO技术、同时同频全双工

可穿戴医疗行业的发展能够为病人带来全新的医疗体验，医生可以借助可穿戴设备全面地了解病人的身体状况，而且通过相应的自动化软件，医生诊疗工作的负担能够显著降低。为了满足市场的需求，可穿戴医疗设备须具备良好的无线通信能力、长时间无故障工作能力和超低功耗等，使用普通的设计方法，难以使设备在一个足够小的尺寸上满足这样的要求，因而必须依靠仿真软件完成。安世亚太在可穿戴医疗领域提供结构、热、电磁和系统等领域的全面解决方案，可以帮助可穿戴医疗公司解决在医疗应用中所面临的各种挑战：如天线的共形和小型化、设备的低功耗、传感器灵敏度的提升、产品重量降低、热管理等。面向可穿戴医疗设备的仿真解决方案可穿戴医疗设备研发中的仿真应用包括以下方面内容：1、可穿戴医疗设备散热控制与优化：ANSYS

当前，电子产品朝着功能齐全、轻量化、低成本的方向发展，这种需求使得PCB板必须在高密度电流的情况下工作。一般来说，汽车电子产品在恶劣的环境中运行。在过去的几十年中，电子在汽车行业中使用越来越多，其对轻量化和经济高效电子的需求呈指数级增长。另外与外部包装轻量化要求相同，电子产品的功能增加了很多，这势必对电子产品的热管理提出了挑战。为了满足应用程序所需的众多功能，电路板器件的密度、PCB板上的电流也增加了很多。在高电流的需求下，焦耳加在PCB板上的热耗是非常大的。如果采用自然散热的方式，不对PCB表面使用额外冷却手段的情况下，PCB上的器件和铜箔层的散热是一个巨大的热挑战。关键词：设计优化

Icepak在新能源汽车9个应用场景的仿真分析2、新能源汽车热管理方案介绍3、新能源汽车电池包液冷热流如何计算？4、分享

Design（GD）”翻译过来的一种对设计系统和方法的表达，早期通常翻译为“生成式设计”或“衍生式设计”，有些文献和书籍上称这种方法为“算法辅助设计(AAD——Algorithms-Aided

Workbench，可以将结构、热、流体和电磁场解算器结合在一起以实现真正的多物理模拟，可以在这些解算器之间自动共享几何图元，以考虑场与场之间的耦合影响。使用共享几何图形，ANSYS

新能源汽车系统组成复杂，涉及到到电、磁、控制、机械、流体等不同的物理域；以及总体、机械、气动外形、电子电气等不同设计部门。如何综合考核各个关键部件的电磁、结构、温升等性能；如何综合评估系统与部件的匹配性；如何在各个设计部门中协调设计？上述问题涉及到横向多域设计，又涉及纵向多层次设计，甚至需要综合考虑流程与数据管理等问题。针对新能源汽车的研发设计，安世亚太提供统一、精准的分析系统和解决方案。本期，为大家分享的是安世亚太在新能源汽车驱动系统设计仿真分析的解决方案。延伸阅读：1、ANSYS

优化方案结果通过各发热件体积平均温度数据对比可以看出，安装挡风板的机箱，在隔板上打两层孔、新增一风扇后，激光器、MCP、工控机、工作腔室的温度均有明显下降。图11

舰载相控阵雷达是舰载雷达的一个主要发展方向，具有探测目标精度高、抗干扰能力强、可靠性高、隐身性能好等诸多优点。在今年中国人民解放军海军成立70周年海上阅兵活动上两大明星驱逐舰——检阅舰“西宁”号、新一代主力驱逐舰“南昌”号受到了关注，且都安装了有源相控阵雷达。该雷达由于性能优异而被冠以“中华神盾”称号。“西宁号”驱逐舰采用大型有源相控阵雷达，形状趋近为正方形，没有上一代相控阵的弧形外罩，而且面积也更大，是平板型的新一代相控阵雷达。“南昌号”驱逐舰使用X波段和S波段双波段有源相控阵雷达，S波段与上一代对比，主要改进是取消了原先布置下天线阵面下的相控阵天线校准所用的辅助天线，推测是采用了先进的软件算法进行天线校准，简化了整体天线布局和RCS特征。什么是相控阵雷达？说起相控阵雷达，就不得不提一下传统雷达的工作方式。在电影电视中，如果非要出现雷达画面的话，转圈圈的传统雷达就是最好的道具，因为传统雷达动感十足的快速旋转，便于营造大战在即的紧迫感。而相控阵雷达与它的区别是，绝大多数相控阵雷达都是不动的。相控阵雷达的天线由无数个小单元天线组成，这些小单元天线叫做阵元，对于有源相控阵雷达来说，每一个阵元都是独立控制，它们既能独立发射雷达波，也能接收雷达波的回波信号。“相控阵”这三个字就是控制每个阵元产生电磁波的相位与幅度，以此强化电磁波在指定方向上的强度，并压抑其他方向的强度，从而实现让电磁波束的方向发生改变的雷达阵列的意思。举例说明，传统雷达类似于一个独眼龙，只有一个眼睛要看哪一个方向必须转头，而相控阵雷达类似蜻蜓的复眼，有无数的小眼睛构成，不必转头只要把这些小眼睛都集中往这个方向看就可以了。相控阵雷达的先进性1、没有机械运动相控阵雷达因为没有天线的机械驱动系统，可靠性非常高，平均无故障时间远远高于传统雷达。另外，相控阵雷达某些单个节点坏了并不影响整体功能的使用，在数千个甚至上万阵元中，就算有百分之十的阵元损坏，相控阵雷达依然可以使用。2、分身有术相控阵雷达的能力和阵元数量的多少有很大的关系。美国的“铺路爪”陆基相控阵预警雷达主要用于监视弹道导弹，它可以探测导弹的弹道、发射点，计算出弹著点的位置，这种雷达有15360个能发射电磁波的阵元和2000个不发射电磁波的阵元。15360个阵元分成96组，与其他不发射电磁波的辐射器搭配起来，相当于96部雷达的组合。正是因为有非常多的阵元，当搭载相控阵雷达的军舰面对来自多个方向的敌方攻击时，可以把所有雷达阵元分成若干组，每一组跟踪和对付一个目标。我们经常听到某种战机或者军舰能同时对付多少个目标，其实就是指战机或者军舰上的相控阵雷达的多目标能力。3、快速切换由于相控阵雷达没有机械运动全靠电控，因此可以做到同时“既看左，又看右”，举例来说，如果要调整100度的方向，普通雷达因为要机械转动，大约需要1秒左右的时间，而相控阵雷达所需时间不到1毫秒。快速切换的另一个好处是能够一机多用。在过去军舰上雷达天线林立，看着及其壮观，但实际上这些雷达不但体积庞大、质量重，另一个麻烦是相互干扰，通常在一种雷达工作时，另一种雷达就会受到干扰，严重的甚至不能同时工作，大家一起开也就意味着大家一起瞎。而现代的军舰看上去非常简洁的原因正是因为相控阵雷达技术，相控阵雷达由电脑控制，所以它的方位指向和波段切换速度极快，能够同时完成对空、对地、对海的不同目标探测，如此的话，它可以把原来需要多种雷达才能完成的任务一下子接过来，实现火控、搜索、预警等合而为一。另外，相控阵雷达还可以进行战机间通信，如果集中波束，可以对敌实施电磁干扰战。ANSYS在雷达相控阵系统设计仿真的能力1、天线：天线是相控阵雷达的最前端，天线的形式也是跟传统雷达最直观的区别，ANSYS

问题选自“安世亚太订阅号-技术咨询”专栏

在前两期文章里，我们给大家分别介绍了麦克斯韦方程组的积分和微分形式（点击蓝字查看）。大家也都知道麦克斯韦从这套方程组里推导出了电磁波，然后通过计算发现电磁波的速度正好等于光速。于是，麦克斯韦就预言“光是一种电磁波”，这个预言后来被赫兹证实。电磁波的发现让麦克斯韦和他的电磁理论走上了神坛，也让人类社会进入了无线电时代。你现在可以随时给远方的朋友打电话，能用手机刷长尾科技的文章，都跟电磁波有着密切的关系。那么，麦克斯韦到底是怎么从麦克斯韦方程组推导出电磁波方程的呢？这篇文章我们就来一起见证这一奇迹的时刻。什么是波？要理解电磁波，首先我们得了解什么是波？有些人可能觉得这个问题有点奇怪，什么是波这还用问么？我丢一块石头到水里，水面上就会形成一个水波；我抖动一根绳子，绳子上就会就会出现一个波动。生活中还有很多这种波动现象，我虽然读书少，但是什么是波还是知道的。没错，水波、绳子上的波动这些都是波，我在这里抛出“什么是波？”这个问题并不是想来掰指头数一数哪些东西是波，哪些不是，而是想问：所有这些叫作波的东西有什么共同的特征？我们如何用一套统一的数学语言来描述波？我们研究物理，就是从万千变化的自然界的各种现象里总结出某种一致性，然后用数学的语言定量、精确的描述这种一致的现象。现在我们发现了水波、绳子上的波等许多现象都有这样一种波动现象，那我们自然就要去寻找这种波动现象背后统一的数学规律，也就是寻找描述波动现象的方程，即波动方程。为了寻找统一的波动方程，我们先来看看最简单的波：抖动一根绳子，绳子上就会出现一个波沿着绳子移动，以恒定的频率抖动就会出现连续不断的波。为了更好地研究绳子上的波动，我们先建立一个坐标系，然后把注意力集中到其中的一个波上。于是，我们就看到一个波以一定的速度v向x轴的正方向（右边）移动，如下图：那么，我们该如何去描述这种波动呢？首先，我们知道一个波是在不停地移动的，上图只是波在某个时刻的样子，它下一个时刻就会往右边移动一点。移动了多少也很好计算：因为波速为v，所以Δt时间以后这个波就会往右移动v·Δt的距离。另外，我不管这个时刻波是什么形状的曲线，反正我可以把它看成一系列的点（x,y）的集合，这样我们就可以用一个函数y=f(x)来描述它（函数就是一种对应（映射）关系，在函数y=f(x)里，每给定一个x，通过一定的操作f(x)就能得到一个y，这一对（x,y）就组成了坐标系里的一个点，把所有这种点连起来就得到了一条曲线）。然后，y=f(x)只是描述某一个时刻的波的形状，如果我们想描述一个完整动态的波，就得把时间t考虑进来。也就是说我们的波形是随着时间变化的，即：我绳子上某个点的纵坐标y不仅跟横轴x有关，还跟时间t有关，这样的话我们就得用一个二元函数y=f(x,t)来描述一个波。这一步很好理解，它无非告诉我们波是随时间（t）和空间（x）变化的。但是这样还不够，世界上到处都是随着时间、空间变化的东西，比如苹果下落、篮球在天上飞，它们跟波的本质区别又在哪呢？波的本质仔细想一下我们就会发现：波在传播的时候，虽然不同时刻波所在的位置不一样，但是它们的形状始终是一样的。也就是说前一秒波是这个形状，一秒之后波虽然不在这个地方了，但是它依然是这个形状，这是一个很强的限制条件。有了这个限制条件，我们就能把波和其它在时间、空间中变化的东西区分开了。我们这样考虑：既然用f(x,t)来描述波，那么波的初始形状（t=0时的形状）就可以表示为f(x,0)。经过了时间t之后，波速为v，那么这个波就向右边移动了vt的距离，也就是把初始形状f(x,0)往右移动了vt，那么这个结果可以这样表示：f(x-vt,0)。为什么把一个函数的图像往右移动了一段vt，结果却是用函数的自变量x减去vt，而不是加上vt呢？这是一个中学数学问题，我这里稍微帮大家回顾一下：你们想，如果我把一个函数图像f(x)往右移动了3，那么我原来在1这个地方的值f(1)，现在就成了4这个地方的函数值。所以，如果你还想用f(x)这个函数，那肯定就得用4减去3（这样才能得到f(1)的值），而不是加3（4+3=7，f(7)在这里可没有什么意义）。所以，如果我们用f(x,t)描述波，那么初始时刻（t=0）的波可以表示为f(x,0)。经过时间t之后的波的图像就等于初始时刻的图像往右移动了vt，也就是f(x-vt,0)。于是，我们就可以从数学上给出波运动的本质：也就是说，只要有一个函数满足f(x,t)=f(x-vt,0)，满足任意时刻的形状都等于初始形状平移一段，那么它就表示一个波。水波、声波、绳子上的波、电磁波、引力波都是如此，这也很符合我们对波的直观理解。这里我们是从纯数学的角度给出了波的一个描述，下面我们再从物理的角度来分析一下波的形成原因，看看能不能得到更多的信息。张力一根绳子放在地上的时候是静止不动的，我们甩一下就会出现一个波动。我们想一想：这个波是怎么传到远方去的呢？我们的手只是拽着绳子的一端，并没有碰到绳子的中间，但是当这个波传到中间的时候绳子确实动了，绳子会动就表示有力作用在它身上（牛爵爷告诉我们的道理），那么这个力是哪里来的呢？稍微分析一下我们就会发现：这个力只可能来自绳子相邻点之间的相互作用，每个点把自己隔壁的点“拉”一下，隔壁的点就动了（就跟我们列队报数的时候只通知你旁边的那个人一样）这种绳子内部之间的力叫张力。张力的概念也很好理解，比如我们用力拉一根绳子，我明明对绳子施加了一个力，但是这根绳子为什么不会被拉长？跟我的手最近的那个点为什么不会被拉动？答案自然是这个点附近的点给这个质点施加了一个相反的张力，这样这个点一边被我拉，另一边被它邻近的点拉，两个力的效果抵消了。但是力的作用又是相互的，附近的点给端点施加了一个张力，那么这个附近的点也会受到一个来自端点的拉力，然而这个附近的点也没动，所以它也必然会受到更里面点的张力。这个过程可以一直传播下去，最后的结果就是这根绳子所有的地方都会张力。而且，我们还可以断定：如果绳子的质量忽略不计，绳子也没有打结没有被拉长，那么绳子内部的张力处处相等（只要有一个点两边的张力不等，那么这个点就应该被拉走了，绳子就会被拉变形），这是个很重要的结论。通过上面的分析，我们知道了当一根理想绳子处于紧绷状态的时候，绳子内部存在处处相等的张力。当一根绳子静止在地面的时候，它处于松弛状态，没有张力，但是当一个波传到这里的时候，绳子会变成一个波的形状，这时候就存在张力了。正是这种张力让绳子上的点上下振动，所以，分析这种张力对绳子的影响就成了分析波动现象的关键。波的受力分析那么，我们就从处于波动状态的绳子中选择很小的一段AB，我们来分析一下这个小段绳子在张力的作用下是如何运动的。放心，我们这里并不会涉及什么复杂的物理公式，我们所需要的公式就一个，大名鼎鼎的牛顿第二定律：F=ma。牛顿第一定律告诉我们“一个物体在不受力或者受到的合外力为0的时候会保持静止或者匀速直线运动状态”，那么如果合外力不为0呢？牛顿第二定律就接着说了：如果合外力F不为零，那么物体就会有一个加速度a，它们之间的关系就由F=ma来定量描述（m是物体的质量）。也就是说，如果我们知道一个物体的质量m，只要你能分析出它受到的合外力F，那么我们就可以根据牛顿第二定律F=ma计算出它的加速度a，知道加速度就知道它接下来要怎么动了。牛顿第二定律就这样把一个物体的受力情况（F）和运动情况（a）结合起来了，我们想知道一个物体是怎么动的，只要去去分析它受到了什么力就行了，所以它牛。再来看我们的波，我们从处于波动状态的绳子里选取很小的一段AB，我们想知道AB是怎么运动的，就要分析它受到的合外力。因为不考虑绳子的质量，所以就不用考虑绳子的重力，那么，我们就只要分析绳子AB两端的张力T就行了。如上图，绳子AB受到A点朝左下方的张力T和B点朝右上方的张力T，而且我们还知道这两个张力是相等的，所以才把它都记为T。但是，我们知道波动部分的绳子是弯曲的，那么这两个张力的方向是不一样的，这一点从图中可以非常明显的看出来。我们假设A点处张力的方向跟横轴夹角为θ，B点跟横轴的夹角就明显不一样了，我们记为θ+Δθ。因为绳子上的点在波动时是上下运动，所以我们只考虑张力T在上下方向上的分量，水平方向上的就不考虑了。那么，我们把AB两点的张力T都分解一下，稍微用一点三角函数的知识我们就能发现：B点处向上的张力为T·sin（θ+Δθ），A点向下的张力为T·sinθ。那么，整个AB段在竖直方向上受到的合力就等于这两个力相减：F=

在前五期的ANSYS经典案例在Workbench中实现的分享中，我们分享了ANSYS经典案例在Workbench中实现之汽车刹车盘制动噪音分析、密封圈仿真分析、基于网格重划分的金属成型仿真分析和涡轮机叶片冷却过程的热应力分析以及薄壁结构的屈曲与后屈曲分析（可以点击蓝色文字查看前期内容），本期为大家分享钢筋混凝土结构分析案例六:某钢筋混凝土结构分析1、工程背景钢筋混凝土结构在建筑和部分机械结构中经常被用到，钢筋布置不合理会使得结构在载荷影响下（例如恒定静载，冲击载荷，地震载荷等）发生脆性断裂。所以，对于混凝土和钢筋的力学性能研究非常重要。本案例以某简化的跨海桥桥墩结构为例，介绍如何在ANSYS

新版本功能介绍，同时也包括最新的行业热点解决方案，ANSYS将与各位深入探讨行业热点趋势：诸如无人驾驶、PCB结构可靠性、天线设计、数字孪生等等。2019/10/15

本文来自安世亚太产品经理、资深工程师王永康的演讲PPT，内容详细分享了热仿真在5G时代的应用，包括芯片\PCB板仿真案例、无人机仿真案例，以及数据中心全场仿真案例等。延伸阅读：1、变压器散热CFD计算2、某无油双螺杆压缩机流固热仿真案例3、为什么任正非说芯片热分析是尖端技术？4、新能源汽车动力电池热仿真技术与优化5、让美国紧张的5G商用，仿真在做什么？6、5G面向智能产品的天线技术

在前四期的ANSYS经典案例在Workbench中实现的分享中，我们分享了ANSYS经典案例在Workbench中实现之汽车刹车盘制动噪音分析、密封圈仿真分析以及基于网格重划分的金属成型仿真分析和涡轮机叶片冷却过程的热应力分析（可以点击蓝色文字查看前期内容），本期为大家分享薄壁结构的屈曲与后屈曲分析。薄壁结构的屈曲与后屈曲分析案例背景屈曲分析对于一个成功的结构设计，尤其是包含壳和梁的结构，是至关重要的。虽然线性特征值屈曲分析相对直接与简便，但是也有其自身缺点：因为实际屈曲过程是一个非线性（大变形）过程，如果不能考虑结构非线性，分析只能得到近似结果，另外线性屈曲分析对于结构后屈曲分析无能为力。非线性屈曲分析过程较为复杂，同时可能需要多次尝试才能得到较为可信的结果，但是由于其不存在线性屈曲分析的局限性，所以工程上倾向通过非线性屈曲来评价结构的稳定性。实际中，工程师很难判断结构究竟何时开始发生屈曲。从工程和科研角度看，人们在整个屈曲过程中，最感兴趣的阶段其实是结构将要产生大变形，但是尚未产生较大变形的阶段，有时结构甚至还未产生变形，因为此时对应的载荷是结构的临界屈曲载荷。非线性屈曲分析可以很好得在这方面提供工程意义上的指导。非线性屈曲分析通过使用以下一些方法，控制整个仿真计算的收敛性，达到用户的工程需求：1

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在上一篇文章《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）》里，我们带着大家从零开始一步一步认识了麦克斯韦方程组的积分形式，这篇文章我们就来看看它的微分形式。在积分篇里，我们一直在跟电场、磁场的通量打交道。我们任意画一个曲面，这个曲面可以是闭合的，也可以不是，然后我们让电场线、磁感线穿过这些曲面，它们就两两结合形成了四个积分形式的方程组。从这里我们能感觉到：麦克斯韦方程组的积分形式是从宏观角度来描述问题，这些曲面都是宏观可见的东西。那么微分形式呢？微分形式似乎应该从微观角度去看问题，那么我们要怎样把曲面、通量这些宏观上的东西弄到微观里来呢？一个很简单的想法就是：我让宏观上的东西缩小缩小，直到缩小成一个点，这样不就进入微观了么？积分形式的麦克斯韦方程组需要选定一个曲面，但是它并没有限定这个曲面的大小，我可以把这个曲面选得很大，也可以选得很小。当你把这个曲面选得很小很小的时候，麦克斯韦方程组的积分形式就自然变成了微分形式。所以，微分形式的基本思想还是很简单的，它真正麻烦的地方是在于如何寻找一种方便的计算方式，这些我后面会细说。

随着金属增材制造技术的不断深入应用，如何提高制造质量、制造效率，降低制造成本，成为人们关注的焦点。利用仿真分析工具，开展金属增材制造过程分析，可以有效帮助企业快速固化不同零件的成形工艺，提高零件的成形质量和效率，降低零件生产周期和废品率。关于仿真在粉末床激光熔化工艺的应用，增材专栏曾经通过《增材专栏

2019年6月6日，工信部向中国电信、中国移动、中国联通、中国广电发放5G商用牌照，宣布了5G商用时代的到来。不过随之而来的还有一个争议——“5G的应用会让我周围的辐射量变大吗？”澳洲人民显然并不相信现在的5G技术，仅仅本月他们就在墨尔本、布里斯班、珀斯和悉尼等地展开了多次反5G游行。这些抗议者认为5G技术尚未经过“安全测试”，可能对智能手机用户和儿童造成无法逆转的伤害。事实果真如此吗？电磁仿真工程师挑选了人们对于5G辐射最关心的4个问题从专业的角度给出了解答。电磁工程师从专业的角度给出了解答问题1：手机和基站的电磁辐射是不是非常大？答：通信基站的辐射量还不如你家的电器。并不是有天线的设备就会辐射很大的功率，也不是没有天线的设备就不对外辐射。天线的作用只是将相对小的能量高效的辐射。家用电器中能够辐射电磁波的设备非常多，而且辐射功率都远远大于手机和基站。如图1所示，冰箱电视电磁炉的辐射都要比通信基站大得多。图1

作为第五代移动通信，5G拥有更高的信息传输速率、更少的延迟、更大的容量和极高的频谱利用率，其应用将面向未来的VR/AR、智慧城市、工业互联网、车联网、智联网等多样化领域。面对5G在各行业的新应用，在射频模块、封装、芯片、终端、基站和典型应用场景中，都需要通过可靠有效的仿真工具帮助研发人员进行性能设计与问题分析。射频模块微波射频电路与微系统是现代雷达、通信、导航、测控等系统的重要组成部分，作为最前端的部分对系统的整体性能指标和可靠性有非常重要的影响。微波射频电路与微系统正向着小型化、集成化、高频和超高频、宽带和超宽带、更大动态范围等方向发展，随之对更高性能的微波射频器件和组件等产生了强烈的需求。ANSYS仿真解决方案可以帮助设计者验证全新的设计思路，强大的高性能计算提升了仿真效率，可以在更短的时间内得到仿真结果，加快新产品上市的时间。天线天线作为通信与电子系统的重要组成部分，对整体技术指标有着至关重要的影响。5G移动通信的天线不仅要实现天线本体的高指标要求，还需要考虑到载体对天线的影响，天线相互之间的影响以及耦合等，这对5G终端天线提出了新的要求。ANSYS天线解决方案依托于HFSS软件的强大电磁场算法，电子桌面系统的强大前后处理功能，以及ANSYS多学科多物理域的系列软件仿真生态，具有良好的深度扩展和广度覆盖，能很好的解决天线设计有关的本体设计、载体布局、环境分析、阵列设计、可靠性设计、优化设计等多方面问题，为天线设计及总体部门提供一站式全面解决方案。关键技术包括：1.自适应迭代技术保障精度;2.多算法及混合算法保障大问题及复杂问题的求解能力;3.高性能计算技术保障大规模问题及阵列问题求解;4.多学科仿真环境保障复杂工况下的设计可靠性。有源天线的设计流程芯片-封装-系统系统的频率不断提高、集成度不断加强、尺寸不断减小，因此无论是考虑系统的芯片设计还是考虑芯片的系统设计，芯片-封装-系统（CPS）的协同仿真都是不可是缺少的。ANSYS端到端的CPS仿真解决方案如下图所示：仿真流程如下：1）在Redhawk中导入芯片版图和RTL级模型，仿真提取芯片版图中电源地网络的无源参

2004年，英国的科学期刊《物理世界》举办了一个活动：让读者选出科学史上最伟大的公式。结果，麦克斯韦方程组力压质能方程、欧拉公式、牛顿第二定律、勾股定理、薛定谔方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。麦克斯韦方程组以一种近乎完美的方式统一了电和磁，并预言光就是一种电磁波，这是物理学家在统一之路上的巨大进步。很多人都知道麦克斯韦方程组，知道它极尽优美，并且描述了经典电磁学的一切。但是，真正能看懂这个方程组的人却不多，因为它不像质能方程、勾股定理这样简单直观，等式两边的含义一眼便知。毕竟，它是用积分和微分的形式写的，而大部分人要到大学才正式学习微积分。不过大家也不用担心，麦克斯韦方程组虽然在形式上略微复杂，但是它的物理内涵确是非常简单的。而且，微积分也不是特别抽象的数学内容，大家只要跟着我们的思路，看懂这个“最伟大“的方程也不会是什么难事~01电磁统一之路电和磁并没有什么明显的联系，科学家一开始也是独立研究电现象和磁现象的。这并不奇怪，谁能想到闪电和磁铁之间会有什么联系呢？1820年，奥斯特在一次讲座上偶然发现通电的导线让旁边的小磁针偏转了一下，这个微小的现象并没有引起听众的注意，但是可把奥斯特给高兴坏了。他立马针对这个现象进行了三个月的穷追猛打，最后发现了电流的磁效应，也就是说电流也能像磁铁一样影响周围的小磁针。消息一出，物理学家们集体炸锅，立马沿着这条路进行深入研究。怎么研究呢？奥斯特只是说电流周围会产生磁场，那么这个电流在空间中产生的磁场是怎么分布的呢？比方说一小段电流在空间某个地方产生的磁感应强度的多大呢？这种思路拓展很自然吧，定性的发现某个规律之后必然要试图定量地把它描述出来，这样我不仅知道它，还可以精确的计算它，才算完全了解。三个月，在奥斯特正式发表他的发现仅仅三个月之后，毕奥和萨伐尔在大佬拉普拉斯的帮助下就找到了电流在空间中产生磁场大小的定量规律，这就是著名的毕奥-萨伐尔定律。也就是说，有了毕奥-萨伐尔定律，我们就可以算出任意电流在空间中产生磁场的大小，但是这种方法在实际使用的时候会比较繁琐。又过了两个月之后，安培发现了一个更实用更简单的计算电流周围磁场的方式，这就是安培环路定理。顺便，安培还总结了一个很实用的规律来帮你判断电流产生磁场的方向，这就是安培定则（也就是高中学的右手螺旋定则）。至此，电生磁这一路的问题“似乎”基本解决了，我们知道电流会产生磁场，而且能够用安培环路定理（或者更加原始的毕奥-萨伐尔定律）计算这个磁场的大小，用安培定则判断磁场的方向。那么，我们现在知道怎么单独描述电和磁，知道了电怎么生磁，秉着对称的思想，我怎么样都要去想：既然电能够生磁，那么磁能不能生电呢？由于种种原因，奥斯特在1820年发现了电生磁，人类直到11年后的1831年，才由天才实验物理学家法拉第发现了磁生电的规律，也就是电磁感应定律。法拉第发现磁能生电的关键就是：他发现静止的磁并不能生电，一定要变化的磁才能生电。发现电磁感应定律之后，我们知道了磁如何生电，有了安培环路定理，我们就知道电流如何产生磁场。咋一看，有关电磁的东西我们好像都有解决方案了。其实不然，我们知道安培环路定理是从奥斯特发现了电流周围会产生磁场这一路推出来的，所以它只能处理电流周围表示磁场的情况。但是，如果没有电流呢？如果我压根就没有导线让你可以形成电流，如果仅仅是电场发生了变化，那么这样能不能产生磁场呢？大家不要觉得我胡搅蛮缠，你想想，根据电磁感应定律，变化的磁场是可以产生电场的。所以，我会反过来猜想变化的电场能否产生磁场并不奇怪。而这，正好是安培环路定理缺失的部分。于是，麦克斯韦就对安培环路定理进行了扩充，把变化的电场也能产生磁场这一项也添加了进去，补齐了这最后一块短板。到这里，电和磁的统一之路就走得差不多了，麦克斯韦方程组的基本形式也呼之欲出了。这里我先让大家考虑一下：我们都知道麦克斯韦方程组描述了经典电磁学的一切，而且它是由四个方程组成的。那么，如果让你选择四个方程来描述电磁里的一切，你大致会选择四个什么样的方程呢？此处思考一分钟……我不知道大家是怎么考虑的，反正我觉得下面这条思路是很自然的：如果要用四个方程描述电磁的一切，那么我就用第一个方程描述电，第二个方程描述磁，第三个方程描述磁如何生电，第四个方程描述电如何生成磁。嗯，好巧，麦克斯韦方程组就是这样的～所以，我们学习麦克斯韦方程组，就是要看看它是如何用四个方程优雅自洽地描述电、磁、磁生电、电生磁这四种现象的。接下来我们就来一个个地看。02库仑的发现在奥斯特发现电流的磁效应之前，人类已经单独研究电研究了好长时间，人们发现电荷有正负两种，而且同性相斥，异性相吸。后来库伦发现了电荷之间相互作用的定量关系，它发现电荷之间的作用力跟距离的平方成反比的。也就是说，如果我把两个电荷之间的距离扩大为原来的两倍，这两个电荷之间的作用力就会减少为原来的四分之一，扩大为三倍就减少为九分之一。这个跟引力的效果是一样的，引力也是距离扩大为原来的两倍，引力的大小减少为原来的四分之一。为什么大自然这么偏爱“平方反比”规律呢？因为我们生活在一个各向同性的三维空间里。什么意思？我们可以想想：假设现在有一个点源开始向四面八方传播，因为它携带的能量是一定的，那么在任意时刻能量达到的地方就会形成一个球面。而球面的面积公式S=4πr²（r为半径），它是跟半径的平方r²成正比的，这也就是说：我们同一份能量在不同的时刻要均匀的分给4πr²个部分，那么每个点得到的能量就自然得跟4πr²成反比，这就是平方反比定律的更深层次的来源。因此，如果我们生活在四维空间里，我们就会看到很多立方（三次方）反比的定律，而这也是科学家们寻找高维度的一个方法。许多理论（比如超弦理论）里都有预言高维度，科学家们就去很小的尺度里测量引力，如果引力在一个很小的尺度里不再遵循平方反比定律，那就很有可能是发现了额外的维度。好了，从更深层次理解了静电力遵循平方反比定律后，要猜出静电力的公式就是很简单的事情了。因为很明显的，两个电荷之间的静电力肯定跟两者的电荷量有关，而且还是电荷越大静电力越大，加上距离平方反比规律，两个电荷之间的静电力大致就是下面这样的了：这就是我们中学学的库伦定律：两个电荷之间的静电力跟两个电荷量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比，剩下的都是常数。q1、q2就是两个电荷的电荷量，ε0是真空的介电常数（先不管它是啥意思，知道是个跟电相关的常数就行了），我们熟悉的球面积公式S=4πr²赫然出现在分母里，这是三维空间平方反比规律的代表。库伦定律是一个实验定律，也就说库伦做了很多实验发现两个电荷之间确实存在着一个这么大小的静电力，但是它并没有告诉你这个静电力是如何传递的。两个并没有接触的物体之间存在某种力，一个常见的想法就是这两个物体之间存在着某种我们看不见的东西在帮它们传递作用力，那么这种东西是什么呢？有人认为是以太，有人认为是某种弹性介质，但是法拉第说是力线，而且这种力线不是什么虚拟的辅助工具，而是客观的物理实在。它可以传递作用力，也可以具有能量。这些思想慢慢形成了我们现在熟知的场。03电场的叠加有了场，我们就可以更加细致的描述两个电荷之间的相互作用了。为什么两个电荷之间存在这样一个静电力呢？因为电荷会在周围的空间中产生一个电场，这个电场又会对处在其中的电荷产生一个力的作用。这个电场的强度越大，电荷受到的力就越大，正电荷受力的方向就是这点电场的方向。所以，电场具有大小和方向，这是一个矢量。为了直观形象的描述电场，我们引入了电场线。电场线的密度刚好就代表了电场强度的大小，而某点电场线的切线方向就代表了该处电场的方向。一个正电荷就像太阳发光一样向四周发射电场线，负电荷就汇集电场线。这些内容大家在中学的时候应该都学了，我就一笔带过，接下来我们考虑一个稍微复杂一点的问题：库伦定律告诉了我们两个点电荷之间静电力的大小，那么我们就可以根据这个求出一个点电荷周围的电场强度。然而，一个点电荷是最简单的情况，如果带电源再复杂一点呢？如果我有很多个电荷，或者说我直接就是一块形状不规则的带电体，这时候我们要怎么求它产生的电场呢？一个很简单自然的想法就是：如果有很多个电荷，我就把每个电荷在这点产生的电场强度算出来，再把它们叠加起来就行了。如果这是一个连续的带电体（比如一根带电的线），那我们就再次举起牛顿爵爷留给我们的微积分大刀，哗啦啦地把这个带电体切成无数个无穷小的部分，这样每一个无穷小的部分就可以看做一个点电荷，然后把这无数个点电荷在那点产生的电场强度叠加起来（就是积分）就行了。我们上面的思路其实就是秉着“万物皆可切成点，万物皆可积”的精神，强行让库伦定律和微积分联姻，“硬算”出任何带电体在任意位置的场强。这在原理上是行得通的，没问题，但是在具体操作上就很复杂了，有没有更简单优雅一点的办法呢？有，不过这需要我们换个角度看问题。物理学研究物体运动变化的规律，但是物体时时刻刻都处在变化之中，你要怎么去寻找它的规律呢？这里就涉及到科学研究的一个重要思想：把握变化世界里那些不变的东西。牛顿发现一切物体在运动中都有某种共同不变的东西，不管物体怎样运动，受到什么样的力，这个东西只由物体的密度和体积决定，于是牛顿从中提炼出了质量的概念（当然，现在质量是比密度体积更基本的概念）；科学家们发现物体在各种变化的过程中有某种守恒的东西，于是提炼出了能量的概念。那么，带电体在周围空间中产生电场的过程，能不能也提炼出某种不变的东西呢？04通量的引入我们先不管电，先来看看我们更熟悉的水。毕竟水流和电流有某种相似之处，我在一个水龙头的出口处装一个喷头，让水龙头向周围的空间喷射水流（就像正电荷喷射电场线一样），然后我用一个完全透水（水能够自由的穿过塑料袋）的塑料袋把水龙头包起来。那么，从水龙头出来的所有的水都必须穿过这个塑料袋，然后才能去其他地方，穿过这个塑料袋的表面是所有水的必经之路。这个看似平常的现象后面却隐藏了这样一个事实：无论塑料袋有多大，是什么形状，只要你是密封的。那么，从水龙头流出的水量就一定等于通过这个塑料袋表面的水量。从这里，我们就抽象出来了一个非常重要的概念：通量。通量，顾名思义，就是通过一个曲面的某种流量，通过塑料袋表面的水的流量就叫塑料袋的水通量。这样上面的例子我们就可以说成水龙头的出水量等于塑料袋的水通量了。好，水的事就先说到这里，我们再回过头来看看电。还是用上面的实验，现在我们把水龙头换成一个正电荷，我们还是用一个完全透电（对电没有任何阻力）的塑料袋套住一个正电荷，那会发生什么呢？水龙头的喷头散发的是水流，正电荷“散发”的是电场线；通过该塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那么电场线通过塑料袋的数量自然就叫塑料袋的电通量。对于水通量，我们知道它等于水龙头的出水量，那么塑料袋的电通量等于什么呢？我们知道，之所以会有电场线，是因为空间中存在电荷。而且，电荷的电量越大，它产生的电场强度就越大，电场线就越密，那么穿过塑料袋的电场线的数量就越多，对应的电通量就越大。所以，我们虽然无法确定这个电通量的具体形式，但是可以肯定它一定跟这个塑料袋包含的电荷量有关，而且是正相关。这就是在告诉我们：通过一个闭合曲面的电通量跟曲面内包含电荷总量是成正比的，电荷量越大，通过这个任意闭合曲面的电通量就越大，反之亦然。这就是麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律的核心思想。把这个思想从电翻译到水上面去就是：通过一个闭合曲面的水量是这个曲面内包含水龙头水压的量度，水压越大，水龙头越多，通过这个闭合曲面的水量就越大。这几乎已经接近“废话”了~所以，大家面对那些高大上的公式方程的时候不要先自己吓自己，很多所谓非常高深的思想，你把它用人话翻译一下，就会发现它非常简单自然。我们再来审视一下高斯电场定律的核心思想：通过一个闭合曲面的电通量跟曲面包含的电荷量成正比。那么，我们要怎么样把这个思想数学化呢？电荷的总量好说，就是把所有电荷的带电量加起来，那么通过一个闭合曲面的电通量要怎么表示呢？05电场的通量我们先从最简单的情况看起。问题1：我们假设空间里有一个电场强度为E的匀强电场，然后有一个面积为a的木板跟这个电场方向垂直，那么，通过这个木板的电通量Φ要怎么表示呢？我们想想，我们最开始是从水通过曲面的流量来引入通量的，到了电这里，我们用电场线通过一个曲面的数量表示电通量。而我们也知道，电场线的密度代表了电场强度的大小。所以，我们就能很明显的发现：电场强度越大，通过木板的电场线数量越多；木板的面积越大，通过木板的电场线数量越多。而电场线的数量越多，就意味着电通量越大。因为电场强度E是一个矢量（有大小和方向），所以我们用E的绝对值|E|来表示E的大小，那么我们直接用电场强度的大小|E|和木板面积a的乘积来表示电通量的大小是非常合理的。也就是说，通过木板的电通量Φ=|E|×a。木板和电场线方向相互垂直是最简单的情况，如果木板和电场的方向不垂直呢？问题2：还是上面的木板和电场，如果木板跟电场的方向不是垂直的，它们之间有一个夹角θ，那这个电通量又要怎么求呢？如上图，首先，我们能直观地感觉到：当木板不再和电场方向垂直的时候，这个木板被电场线穿过的有效面积减小了。原来长度为AB的面都能挡住电场线，现在，虽然还是那块木板，但是真正能够有效挡住电场线的变成了BC这个面。然后，我们再来谈一谈曲面的方向，可能很多人都认为曲面的方向就是定义为AB的方向。其实不是的，我们是用一个垂直于这个平面的向量的方向表示这个平面的方向，这个向量就叫这个平面的法向量。如上图所示，我画了一个跟木板垂直的法向量n，那么这个法向量n和电场E的夹角才是木板这个平面和电场的夹角θ。AB、BC和θ之间存在一个非常简单的三角关系：BC=AB×cosθ（因为夹角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形里邻边和斜边的比值）。而我们有知道垂直的时候通过木板的电通量Φ=|E|×|a|，那么，当它们之间有一个夹角θ的时候，通过木板的电通量自然就变成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。06矢量的点乘到了这里，我们就必须稍微讲一点矢量和矢量的乘法了。通俗地讲，标量是只有大小没有方向的量。比如说温度，房间某一点的温度就只有一个大小而已，并没有方向；再比如质量，我们只说一个物体的质量是多少千克，并不会说质量的方向是指向哪边。而矢量则是既有大小，又有方向的量。比如速度，我们说一辆汽车的速度不仅要说速度的大小，还要指明它的方向，它是向东还是向南；再比如说力，你去推桌子，这个推力不仅有大小（决定能不能推动桌子），还有方向（把桌子推向哪一边）。标量因为只有大小没有方向，所以标量的乘法可以直接像代数的乘法一样，让它们的大小相乘就行了。但是，矢量因为既有大小又有方向，所以你两个矢量相乘就不仅要考虑它的大小，还要考虑它的方向。假如你有两个矢量，一个矢量的方向向北，另一个向东，那么它们相乘之后得到的结果还有没有方向呢？如果有，这个方向要怎么确定呢？这就是说，我们从小学开始学习的那种代数乘法的概念，在矢量这里并不适用，我们需要重新定义一套矢量的乘法规则，比如我们最常用的点乘（符号为‘·’）。你两个标量相乘就是直接让两个标量的大小相乘，我现在矢量不仅有大小还有方向，那么这个方向怎么体现呢？简单，我不让你两个矢量的大小直接相乘，而是让一个矢量的投影和另一个矢量的大小相乘，这样就既体现了大小又体现了方向。如上图，我们有两个矢量OA和OB（线段的长短代表矢量的大小，箭头的方向代表矢量的方向），我们过A点做AC垂直于OB（也就是OA往OB方向上投影），那么线段OC的长度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根据三角函数的定义，一个角度θ的余弦cosθ被定义为邻边（OC）和斜边（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（绝对值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示为：OC=|OA|×cosθ。既然两个矢量的点乘被定义为一个矢量的投影和和另一个矢量大小的乘积，现在我们已经得到了投影OC的表达式，那么矢量OA和OB的点乘就可以表示为：OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。为什么我们上面明明还在讲电场通过一个平面的通量，接着却要从头开始讲了一堆矢量的点乘的东西呢？因为电场强度也是一个矢量，它有大小也有方向（电场线的密度代表大小，电场线的方向代表它的方向）；平面其实也是一个矢量，平面的大小不用说了，平面的方向是用垂直于这个平面的法向量来表示的。而且，我们再回顾一下当平面跟电场方向有一个夹角θ的时候，通过这个平面的电通量Φ=|E|×|a|×cosθ。这是不是跟上面两个矢量点乘右边的形式一模一样？也就是说，如果我们从矢量的角度来看：电场E通过一个平面a的电通量Φ就可以表示为这两个矢量（电场和平面）的点乘，即Φ=E·a（因为根据点乘的定义有E·a=|E|×|a|×cosθ）。这种表述既简洁又精确，你想想，如果你不使用矢量的表述，那么你在公式里就不可避免地会出现很多和夹角θ相关的地方。更关键的是，电场强度和平面本来就都是矢量，你使用矢量的运算天经地义，为什么要用标量来代替它们呢？总之，我们知道一个电场通过一个平面的电通量可以简洁的表示为：Φ=E·a，这就够了。但是，高斯电场定律的核心思想是通过闭合曲面的电通量跟曲面包含的电荷量成正比，我们这里得到的只是一个电场通过一个平面的电通量，一个平面和一个闭合曲面还是有相当大的区别的。07闭合曲面的电通量知道怎么求一个平面的电通量，要怎么求一个曲面的电通量呢？这里就要稍微涉及一丢丢微积分的思想了。我们都知道我们生活在地球的表面，而地球表面其实是一个球面，那么，为什么我们平常在路上行走时却感觉不到这种球面的弯曲呢？这个答案很简单，因为地球很大，当我们从月球上遥望地球的时候，我们能清晰地看到地球表面是一个弯曲的球面。但是，当我们把范围仅仅锁定在我们目光周围的时候，我们就感觉不到地球的这种弯曲，而是觉得我们行走在一个平面上。地球的表面是一个曲面，但是当我们只关注地面非常小的一块空间的时候，我们却觉得这是一个平面。看到没有，一个曲面因为某种原因变成了一个平面，而我们现在的问题不就是已知一个平面的电通量，要求一个曲面的电通量么？那么地球表面的这个类比能不能给我们什么启发呢？弯曲的地球表面在小范围内是平面，这其实是在启发我们：我们可以把一个曲面分割成许多块，只要我们分割得足够细，保证每一小块都足够小，那么我们是可以把这个小块近似当作平面来处理的。而且不难想象，我把这个曲面分割得越细，它的每一个小块就越接近平面，我们把这些小平面都加起来就会越接近这个曲面本身。下面是重点：如果我们把这个曲面分割成无穷多份，这样每个小块的面积就都是无穷小，于是我们就可以认为这些小块加起来就等于这个曲面了。这就是微积分最朴素的思想。如上图，我们把一个球面分割成了很多块，这样每一个小块就变成了一个长为dx，宽为dy的小方块，这个小方块的面积da=dx·dy。如果这个小块的电场强度为E，那么通过这个小块的电通量就是E·da。如果我们我们把这个球面分割成了无穷多份，那么把这无穷多个小块的电通量加起来，就能得到穿过这个曲面的总电通量。这个思想总体来说还是很简单的，只是涉及到了微积分最朴素的一些思想。如果要我们具体去计算可能就会比较复杂，但是庆幸的是，我们不需要知道具体如何计算，我们只需要知道怎么表示这个思想就行了。一个小块da的电通量是E·da，那么我们就可以用下面的符号表示通过这个曲面S的总电通量：这个拉长的大S符号就是积分符号，它就是我们上面说的微积分思想的代表。它的右下角那个S代表曲面S，也就是说我们这里是把这个曲面S切割成无穷小块，然后对每一块都求它的通量E·da，然后把通量累积起来。至于这个大S中间的那个圆圈就代表这是一个闭合曲面。08方程一：高斯电场定律总之，上面这个式子就代表了电场E通过闭合曲面S的总电通量，而我们前面说过高斯电场定律的核心思想就是：通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比。那么，这样我们就能非常轻松的理解麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律了：方程的左边，我们上面解释了这么多，这就是电场E通过闭合曲面S的电通量。方程右边带enc下标的Q表示闭合曲面内包含的电荷总量，ε0是个常数（真空介电常数），暂时不用管它。等号两边一边是闭合曲面的电通量，另一边是闭合曲面包含的电荷，我们这样就用数学公式完美地诠释了我们的思想。麦克斯韦方程组总共有四个方程，分别描述了静电、静磁、磁生电、电生磁的过程。库伦定律从点电荷的角度描述静电，而高斯电场定律则从通量的角度来描述静电，为了描述任意闭合曲面的通量，我们不得不引入了微积分的思想。我们说电通量是电场线通过一个曲面的数量，而我们也知道磁场也有磁感线（由于历史原因无法使用磁场线这个名字），那么，我们是不是也可以类似建立磁通量的概念，然后在此基础上建立类似的高斯磁场定律呢？09方程二：高斯磁场定律磁通量的概念很好建立，我们可以完全模仿电通量的概念，将磁感线通过一个曲面的数量定义磁通量。因为磁场线的密度一样表征了磁感应强度（因为历史原因，我们这里无法使用磁场强度）的大小。所以不难理解，我们可以仿照电场把磁感应强度为B的磁场通过一个平面a的磁通量Φ表示为Φ=B·a。同样，根据我们在上面电场里使用的微积分思想，类比通过闭合曲面电通量的作法，我们可以把通过一个闭合曲面S的磁通量表示为：然后，我们可以类比高斯电场定律的思想“通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比”，建立一个高斯磁场定律，它是核心思想似乎就应该是：通过闭合曲面的磁通量跟这个曲面包含的“磁荷量”成正比。然而这里会有个问题，我们知道自然界中有独立存在的正负电荷，电场线都是从正电荷出发，汇集与负电荷。但是自然界里并不存在（至少现在还没发现）独立的磁单极子，任何一个磁体都是南北两极共存。所以，磁感线跟电场线不一样，它不会存在一个单独的源头，也不会汇集到某个地方去，它只能是一条闭合的曲线。上图是一个很常见的磁铁周围的磁感线，磁铁外部的磁感线从N极指向S极，在磁铁的内部又从S极指向N极，这样就形成一个完整的闭环。如果磁感线都是一个闭环，没有独立存在的磁单极，那我们可以想一想：如果你在这个闭环里画一个闭合曲面，那么结果肯定就是有多少磁感线从曲面进去，就肯定有多少跟磁感线从曲面出来。因为如果有一根磁感线只进不出，那它就不可能是闭合的了，反之亦然。如果一个闭合曲面有多少根磁感线进，就有多少根磁感线出，这意味着什么呢？这就意味着你进去的磁通量跟出来的磁通量相等，那么最后这个闭合曲面包含的总磁通量就恒为0了。这就是麦克斯韦方程组的第二个方程——高斯磁场定律的核心思想：闭合曲面包含的磁通量恒为0。通过闭合曲面的磁通量（B·a是磁通量，套个曲面的积分符号就表示曲面的磁通量）我们上面已经说了，恒为0无非就是在等号的右边加个0，所以高斯磁场定律的数学表达式就是这样的：对比一下高斯电场定律和高斯磁场定律，我们会发现他们不仅是名字想象，思想也几乎是一模一样的，只不过目前还没有发现磁荷、磁单极子，所以高斯磁场定律的右边就是一个0。我们再想一想：为什么这种高斯XX定律能够成立？为什么通过任意闭合曲面的某种通量会刚好是某种量的一个量度？原因还在它们的“平方反比”上。因为电场强度和磁感应强度都是跟距离的平方成反比，而表面积是跟距离的平方正比，所以你前者减小多少，后者就增加多少。那么，如果有一个量的表示形式是前者和后者的乘积，那么它的总量就会保持不变。而通量刚好就是XX强度和表面积的乘积，所以电通量、磁通量就都会有这样的性质。所以，再深思一下你就会发现：只要一种力的强度是跟距离平方成反比，那么它就可以有类似的高斯XX定律，比如引力，我们一样可以找到对应的高斯定律。数学王子高斯当年发现了高斯定理，我们把它应用在物理学的各个领域，就得到了各种高斯XX定律。麦克斯韦方程组总共就四个方程，就有两个高斯定律，可见其重要性。静电和静磁方面的事情就先说这么多，还有疑问的请咨询高斯，毕竟这是人家独家冠名的产品。接下来我们来看看电和磁之间的交互，看看磁是如何生电，电是如何生磁的。说到磁如何生电，那就肯定得提到法拉第。奥斯特发现电流的磁效应之后，大家秉着对称性的精神，认为磁也一定能够生电，但是磁到底要怎样才能生电呢？不知道，这就得做实验研究了。10电磁感应既然是要做实验看磁如何生电，那首先肯定得有一个磁场。这个简单，找两块N极和S极相对的磁铁，这样它们之间就会有一个磁场。我再拿一根金属棒来，看看它有没有办法从磁场中弄出电来。因为金属棒是导电的，所以我把它用导线跟一个检测电流的仪器连起来，如果仪器检测到了电流，那就说明磁生电成功了。法拉第做了很多这样的实验，他发现：你金属棒放在那里不动，是不会产生电流的（这是自然，否则你就是凭空产生了电，能量就不守恒了。你要这样能发电，那我买块磁铁回家，就永远不用再交电费了）。然后，他发现金属棒在那里动的时候，有时候能产生电流，有时候不能产生，你要是顺着磁感线的方向运动（在上图就是左右运动）就没有电流，但是你要是做切割磁感线的运动（在上图就是上下运动）它就能产生电流。打个通俗的比喻：如果把磁感线想象成一根根面条，你只有把面条（磁感线）切断了才会产生电流。再然后，他发现金属棒在磁场里不动虽然不会产生电流，但是如果这时候我改变一下磁场的强度，让磁场变强或者变弱一些，即便金属棒不动也会产生电流。法拉第仔细总结了这些情况，他发现不管是金属棒运动切割磁感线产生电流，还是磁场强度变化产生电流，都可以用一个通用的方式来表达：只要闭合回路的磁通量发生了改变，就会产生电流。我们想想，磁通量是磁场强度B和面积a的乘积（B·a），我切割磁感线其实是相当于改变了磁感线通过回路的面积a，改变磁场强度就是改变了B。不管我是改变了a还是B，它们的乘积B·a（磁通量）肯定都是要改变的。也就是说：只要通过曲面（我们可以把闭合回路当作一个曲面）的磁通量发生了改变，回路中就会产生电流，而且磁通量变化得越快，这个电流就越大。到了这里，我们要表示通过一个曲面的磁通量应该已经轻车熟路了。磁通量是B·a，那么通过一个曲面S的磁通量给它套一个积分符号就行了。于是，通过曲面S磁通量可以写成下面这样：细心的同学就会发现这个表达式跟我们高斯磁场定律里磁通量部分稍微有点不一样，高斯磁场定律里的积分符号（拉长的S）中间有一个圆圈，我们这里却没有。高斯磁场定律说“闭合曲面的磁通量恒为0”，那里的曲面是闭合曲面，所以有圆圈。而我们这里的曲面并不是闭合曲面（我们是把电路回路当成一个曲面，考虑通过这个回路的磁通量），也不能是闭合曲面。因为法拉第就是发现了“通过一个曲面的磁通量有变化就会产生电流”，如果这是闭合曲面，那根据高斯磁场定律它的磁通量恒为0，恒为0那就是没有变化，没变化按照法拉第的说法就没有电流，那还生什么电？所以，我们要搞清楚，我们这里不再是讨论闭合曲面的磁通量，而是一个非闭合曲面的磁通量，这个磁通量发生了改变就会产生电流，而且变化得越快产生的电流就越大。上面的式子给出的只是通过一个曲面S的磁通量，但是我们看到了最终决定电流大小的并不是通过曲面的磁通量的大小，而是磁通量变化的快慢。那么这个变化的快慢我们要怎么表示呢？我们先来看看我们是怎么衡量快慢的。比如身高，一个人在十二三岁的时候一年可以长10厘米，我们说他这时候长得快；到了十七八岁的时候可能一年就长1厘米，我们就说他长得慢。也就是说，我们衡量一个量（假设身高用y表示）变化快慢的方法是：给定一个变化的时间dt（比如一年，或者更小），看看这个量的变化dy是多少，如果这个量的变化很大我们就说它变化得很快，反之则变化得慢。因此，我们可以用这个量的变化dy和给定的时间dt的比值dy/dt来衡量量这个量y变化的快慢。所以，我们现在要衡量磁通量变化的快慢，那就只需要把磁通量的表达式替换掉上面的y就行了，那么通过曲面S的磁通量变化的快慢就可以这样表示：这样，我们就把磁生电这个过程中磁的这部分说完了，那么电呢？一个闭合回路（曲面）的磁通量有变化就会产生电，那这种电要怎么描述？11电场的环流可能有人觉得磁通量的变化不是在回路里产生了电流么，那么我直接用电流来描述这种电不就行了么？不行，我们的实验里之所以有电流，是因为我们用导线把金属棒连成了一个闭合回路，如果我们没有用导线去连金属棒呢？那肯定就没有电流了。所以，电流并不是最本质的东西，那个最本质的东西是电场。一个曲面的磁通量发生了变化，它就会在这个曲面的边界感生出一个电场，然后这个电场会驱动导体中的自由电子定向移动，从而形成电流。因此，就算没有导线没有电流，这个电场依然存在。所以，我们要想办法描述的是这个被感生出来的电场。首先，一个曲面的磁通量发生了改变，就会在在曲面的边界感应出一个电场，这个电场是环绕着磁感线的，就像是磁感线的腰部套了一个呼啦圈。而且，你这个磁通量是增大还是减小，决定了这个电场是顺时针环绕还是逆时针环绕，如下图：如果我们从上往下看的话，这个成闭环的感生电场就是如下图所示：它在这个闭环每点的方向都不一样，这样就刚好可以沿着回路驱动带电粒子，好像是电场在推着带电粒子在这里环里流动一样。这里，我们就要引入一个新的概念：电场环流，电场的环流就是电场沿着闭合路径的线积分。这里有两个关键词：闭合路径和线积分。闭合路径好说，你只有路径是闭合的，才是一个环嘛，感生电场也是一个环状的电场。电场的线积分是什么意思呢？因为我们发现这个感生电场是一个环状电场，它在每一个点的方向都不一样。但是，我们依然可以发动微积分的思想：这个电场在大范围内（比如上面的整个圆环）方向是不一样的，但是，如果在圆环里取一个非常小的段dl，电场E就可以看做是一个恒定的了，这时候E·dl就是有意义的了。然后把这个环上所有部分的E·dl都累加起来，也就是沿着这个圆环逐段把E·dl累加起来，这就是对电场求线积分。而这个线积分就是电场环流，用符号表示就是这样：积分符号下面的C表示这是针对曲线进行积分，不同于我们前面的面积分（下标为S），积分符号中间的那个圆圈就表示这个是闭合曲线（电场形成的圆环）。如果大家已经熟悉了前面曲面通量的概念，我想这里要理解电场在曲线上的积分（即电场环流）并不难。这个电场环流有什么物理意义呢？它就是我们常说电动势，也就是电场对沿着这条路径移动的单位电荷所做的功。我这里并不想就这个问题再做深入的讨论，大家只要直观的感觉一下就行了。你想想这个电场沿着这个回路推动电荷做功（电场沿着回路推着电荷走，就像一个人拿着鞭子抽磨磨的驴），这就是电场环流要传递的概念。而用这个概念来描述变化的磁产生的电是更加合适的，它既包含了感生电场的大小信息，也包含了方向信息。12方程三：法拉第定律所以，麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律的最后表述就是这样的：曲面的磁通量变化率等于感生电场的环流。用公式表述就是这样：方程右边的磁通量的变化率和和左边的感生电场环流我们上面都说了，还有一个需要说明的地方就是公式右边的这个负号。为什么磁通量的变化率前面会有个负号呢？我们想想，法拉第定律说磁通量的变化会感生出一个电场出来，但是我们别忘了奥斯特的发现：电流是有磁效应的。也就是说，磁通量的变化会产生一个电场，这个电场它自己也会产生磁场，那么也就有磁通量。那么，你觉得这个感生电场产生的磁通量跟原来磁场的磁通量的变化会有什么关系？假如原来的磁通量是增加的，那么这个增加的磁通量感生出来的电场产生的磁通量是跟原来方向相同还是相反？仔细想想你就会发现，答案必然是相反。如果原来的磁通量是增加的，你感生出来的电场产生的磁通量还跟它方向相同，这样不就让原来的磁通量增加得更快了么？增加得更快，按照这个逻辑就会感生出更强大的电场，产生更大的与原来方向相同的磁通量，然后又导致原来的磁通量增加得更快……然后你会发现这个过程可以无限循环下去，永远没有尽头，这样慢慢感生出无限大的电场和磁通量，这肯定是不可能的。所以，为了维持一个系统的稳定，你原来的磁通量是增加的，我感生电场产生的磁通量就必然要让原来的磁通量减小，反之亦然。这就是楞次定律的内容，中学的时候老师会编一些口诀让你记住它的内容，但是我想让你知道这是一个稳定系统自然而然的要求。楞次定律背后还有一些更深层次的原因，这里我们暂时只需要知道这是法拉第定律那个负号的体现就行了。到这里，我们就把麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律的内容讲完了，它刻画了变化的磁通量如何产生电场的过程。但是，我们上面也说了，我们这里的磁通量变化包含了两种情况：导体运动导致的磁通量变化和磁场变化导致的磁通量变化。这两种情况其实是不一样的，但是它们居然又可以用一个统一的公式来表达，这其实是非常不自然的，当时的人们也只是觉得这是一种巧合罢了，但是爱因斯坦却不认为这是一种巧合，而是大自然在向我们暗示什么，他最终从这里发现了狭义相对论，有兴趣的同学可以这里思考一下。也因为这两种情况不一样，所以，法拉第定律还有另外一个版本：它把这两种情况做了一个区分，认为只有磁场变化导致的磁通量变化才是法拉第定律，前面导体运动导致的磁通量变化只是通量法则。所以我们有时候就会看到法拉第定律的另一个版本：对比一下这两个法拉第定律，我们发现后面这个只是把那个变化率从原来的针对整个磁通量移到了只针对磁场强度B（因为B不是只跟时间t有关，还可以跟其它的量有关，所以我们这里必须使用对时间的偏导的符号∂B/∂t），也就是说它只考虑变化磁场导致的磁通量变化。这种形式跟我们后面要说的法拉第定律的微分形式对应得更好，这个后面大家会体会到。磁生电的过程我们先讲这么多，最后我们来看看电生磁的情况。可能有些人会觉得我这个出场次序有点奇怪：明明是奥斯特先发现了电流的磁效应，大概十年后法拉第才发现了磁如何生电，为什么你却要先讲磁生电的法拉第定律，最后讲电生磁呢？13安培环路定理确实，是奥斯特首先爆炸性地发现了电流的磁效应，发现了原来电和磁之间并不是毫无关系的。如上图，假设电流从下往上，那么它在周围就会产生这样一个环形的磁场。磁场的方向可以用所谓的右手定则直观的判断：手握着导线，拇指指向电流的方向，那么你右手四指弯曲的方向就是磁场B的方向。然后毕奥、萨伐尔和安培等人立马着手定量的研究电流的磁效应，看看一定大小的电流在周围产生的磁场的大小是怎样的。于是，我们就有了描述电流磁效应的毕奥-萨伐尔定律和安培环路定理。其中，毕奥-萨伐尔定律就类似于库伦定律，安培环路定理就类似于高斯电场定律，因为在麦克斯韦方程组里，我们使用的是后一套语言，所以我们这里就只来看看安培环路定理：

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的确，似乎没人喜欢支撑结构，不但影响生产的产量和成本。这些额外的支撑结构还增加构建时间，构建成本以及后期处理时间和后期处理的复杂性。这就带来了三个层面的减少与优化支撑的努力方向，一个层面是通过设备与工艺技术来实现更少的支撑，一个层面是通过调整组件的构建角度，达到最大的构建自由度，使用优化的支撑结构，避免了变形发生，并使可以很容易地后期去除支撑结构。还有一个层面是通过仿真优化支撑的设计。本期增材专栏文章是《金属SLM选区金属熔化工艺仿真中关于支撑的分析研究》的下篇。本文在《金属SLM选区金属熔化工艺仿真中关于支撑的分析研究》(上篇)阐述支撑类型的区分，支撑结构的有限元网格划分，支撑强度等效处理的基础上，进一步分析了不同支撑形式对SLM选区金属熔化工艺仿真的影响，不同支撑等效强度对SLM选区金属熔化工艺仿真的影响，以及利用仿真分析对零件进行支撑优化和对SLM支撑工艺仿真的未来展望。支撑设计对SLM

settings面板，设置压力松弛因子为0.7，动量松弛因子为0.3；在Precision中选择双精度Double，点击Accept接受。直接拖拽Source.1至Points模型树下，ANSYS

的确，似乎没人喜欢支撑结构，不但影响生产的产量和成本。这些额外的支撑结构还增加构建时间，构建成本以及后期处理时间和后期处理的复杂性。这就带来了三个层面的减少与优化支撑的努力方向，一个层面是通过设备与工艺技术来实现更少的支撑，一个层面是通过调整组件的构建角度，达到最大的构建自由度，使用优化的支撑结构，避免了变形发生，并使可以很容易地后期去除支撑结构。还有一个层面是通过仿真优化支撑的设计。本期增材专栏文章《金属SLM选区金属熔化工艺仿真中关于支撑的分析研究》将分为两篇，此为上篇，安世亚太的仿真专家从CAE仿真的角度来分析支撑在SLM选区金属熔化工艺仿真过程中的作用以及SLM仿真过程中对支撑的处理方式。本文通过（上篇）支撑类型的区分，支撑结构的有限元网格划分，支撑强度等效处理，（下篇）不同支撑形式对SLM选区金属熔化工艺仿真的影响，不同支撑等效强度对SLM选区金属熔化工艺仿真的影响，利用仿真分析对零件进行支撑优化，来揭示CAE仿真对优化支撑设计的作用。以激光选区熔化成型(Selective

F450风道局部图（右）本报告中给出两种挡风罩形式，添加挡风罩的目的之一为在竖直方向上，限制气流的扩展；其二为在左右方向上限制气流的流动。两种挡风罩形式如下，区别在于是否将风机上边的位置封口。