杂器| 理科钢铁直男的爆款数学课，速来围观

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杂器| 理科钢铁直男的爆款数学课，速来围观

Original 汉英俊陕西历史博物馆 2021-04-07

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#文物鉴赏

23个

这位数学老师有多奇妙？数学到底有多好？

计算器请拿出来，

Wifi请打开，

全体同学，

我们要开始上网课了

幻方铁板的内心独白

前些天在戏精文物们的拜托下，我们写了一篇文章叫《当文物宅在家》（点击查看详情），毕竟这么长时间没人去看他们，都憋了一肚子话，这不让小编们代为转达一下他们的心声嘛。当然现在这个时候我们在与病毒的抗争中还没有取得最后的胜利，大家还是安心宅在家中，保护好自己。

在文章发布之后，小编们陆续收到一些很有意思的留言。

幻方铁板：嗯？我的名字不好记么？小编快来帮我解释一下！

当然，宅在家里还是要好好学习的，那么今天就让我们来认识一下这位有着36个格子的神奇“数学老师”——幻方铁板。

温馨提示

要认识这位“数学老师”得备好一个计算器

幻方铁板的生辰八字

幻方铁板

元代边长14厘米厚1.5厘米1957年元代安西王府遗址出土

1956年冬，元代安西王府遗址宫殿的基址-台基被挖去了一部分，陕西省文物管理委员会得知后，即进行调查和保护。1957年春，中国科学院考古研究所对该遗址又进行复查，并将城址和殿基的范围作了勘测。

最有趣的发现是在夯土台基（由台基最高点向下约25米）中出土了五块铸有阿拉伯数码字的方形铁板，五块铁板均相同，长宽各14.2cm，厚1.5cm。其中四块在出土时全是夹在凿制整齐的两块方石（石函）之中……另外一块铁板是基建部门交来的，其位置已不详，据说出土时亦是藏在石函内，与以上四块的情形相同。铁板的文字当时会即函请夏鼐（nài）先生译出，知道是阿拉伯数码字的幻方。
节选自《西安元代安西王府遗址勘察记》

夏鼐：1910年-1985年，字作铭，浙江温州人，考古学家、社会活动家，清华大学历史系毕业。是新中国考古工作的主要指导者和组织者，中国现代考古学的奠基人之一，中国科学院院士。

幻方铁板拓片

如果幻方铁板的真身大家看不太明白的话，让我们把它翻译一下。

“翻译”过来的幻方铁板

“翻译”过来的幻方铁板相信大家已经发现它的奥秘，这36个格子里其实全部都是一些数字。

幻方，又名方阵，也叫做纵横图。它的特点是将n²个数字，排成正方形，使纵、横和对角线上的数字总和都是相等的。我国古代的“洛书”，便是一种三三幻方，和数是15。

洛书

安西王府遗址出土的这件幻方是六六图，即正面分割为36个小方格，内填数字1-36，构成一个数字方阵，无论纵、横、对角线上的数字相加，总和都是一样的，和为111。这里的111也可以被称为幻和。这就是奇妙的幻方。（是不是已经打开了手里的计算器？）

然而，除了幻和是111这个奥秘外，幻方铁板还有隐藏更深的神奇之处。

酷炫的数字游戏

幻方铁板

5分钟前：

小眼睛看这里，我要变身了！既然我是个“数学老师”，自然要考考大家的运算水平，如果算不过来的话允许使用计算器。

01二次幻方：平方和的奥秘

再看一遍这张翻译图，让我们试着来进行更高阶的运算

横着看，幻方中第一行和第六行6个数的平方和是相等的，即：

28²+4²+3²+31²+35²+10²=3095

27²+33²+34²+6²+2²+9²=3095

竖着看，幻方第一列和第六列6个数的平方和也是相等的，即：

28²+36²+7²+8²+5²+27²=2947

10²+1²+30²+29²+32²+9²=2947

而一般的幻方是不具有这个特性。

02回整幻方的奥秘

这件幻方还是一个回整幻方，即去掉最外面一层，中间剩下的部分仍然是一个四阶幻方。这个四阶幻方由16个数组成，其每行、每列及两条对角线上的4个数之和都是74。

幻方铁板删减最外围一圈数字后得到一个四阶幻方

举个例子验证一下：

第一行：18+21+24+11=74

对角线：18+12+19+25=74

左起第二列：21+12+26+15=74

更为奇特的是，这个回整幻方还是一个完美幻方。

小贴士：

完美幻方指的是一个四阶幻方各条泛对角线上的4个数之和是相等的。

泛对角线即一个四阶幻方的前面若干行移动到幻方的下面，新方阵的主对角线是原来幻方的泛对角线。

比如，我们把幻方铁板删减得到的四阶幻方中第一行18、21、24、11四个数字放在最后一行得到一个新幻方。新幻方中对角线上的22、19、15、18就可以看做原四阶幻方的一条泛对角线。

得到的新幻方

让我们把新幻方的主对角线（也就是原四阶幻方的其中两条泛对角线）加起来，就是见证奇迹的时刻：

18+15+19+22=74

23+26+14+11=74

原四阶幻方的泛对角线和依旧为74。

幻方铁板

3分钟前：

不是我吹，作为一个幻方，既是二次幻方、回整幻方，又是一个完美幻方，这在我们幻方家族中是很少见的。可以想象，要设计像我这样的幻方，难度非常大哦。

听幻方铁板讲那过去的故事

今天我们将幻方视为可以进行数理研究的纵横图，然而在古代，幻方是被视为神奇莫测之物。夏鼐先生认为：“重要建筑物奠基时，常在基地中埋藏一些压胜或避邪的器物，以求保护这些建筑物永不受灾害。我们这几件幻方铁板的埋藏，用意当是相同的。”

在中世纪，信奉伊斯兰教的阿拉伯人已把幻方当作护身符，并赋予具有数学或数字特征的幻方以神秘的色彩，可见阿拉伯人把幻方作为宗教和数学的综合体，以预卜未来，寻吉避祸，这可能也是他们的传统。

出土幻方的安西王府是元世祖忽必烈在至元九年（1272年）封其第三子忙哥刺为安西王时的王府所在地，忙哥剌去世后，其子阿难答于至元十七年（1280年）袭封安西王位，继续在秦、蜀地区行使最高统治权。据《多桑蒙古史》记载，阿难答因自幼由一穆斯林抚养，所以在其继任安西王之后皈依伊斯兰教，其所部15万人大部分亦随之信奉伊斯兰教。因为阿难答本人的信仰，故当时安西王府中及长安城内外也受到了阿拉伯文化的影响。

幻方铁板，虽是毫无疑问地受到了阿拉伯文化的影响，但是它们的铸造，仍有可能是西安本地穆斯林书写出来交工匠铸造的，不一定是阿拉伯国家直接输入的，但幻方铁板也表明阿拉伯幻方至晚于元初就已传入中国，并且它的发现是我国应用阿拉伯数字最早的实物资料（这里的阿拉伯数字指的是阿拉伯语中的数字形式）。

阿拉伯数字与阿拉伯语中的数字

看到这里也许你会问，为什么幻方铁板上的数字看起来和我们今天用的数字完全不一样？确实，这两种数字之间的差别还是挺大的。

我们日常所使用的数字在今天被称为“阿拉伯数字”，但是在数学史上被称为“印度-阿拉伯数码字”。由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个计数符号组成。采取位值法，高位在左，低位在右，从左往右书写。借助一些简单的数学符号（小数点、负号、百分号等），这个系统可以明确的表示所有的有理数。

“阿拉伯数字”最早起源于印度，大约公元700年前后，阿拉伯人征服了印度的旁遮普地区，他们发现：被征服地区的数学比他们先进。于是设法学习吸收这些数字形式。后来，阿拉伯人把这种数字传入西班牙。公元10世纪，又由教皇热尔贝·奥里亚克传到欧洲其他国家。公元1200年左右，欧洲的学者正式采用了这些符号和体系。至13世纪，在意大利比萨的数学家斐波那契的倡导下，普通欧洲人也开始采用阿拉伯数字，15世纪时这种现象已相当普遍。那时的阿拉伯数字的形状与现代的阿拉伯数字尚不完全相同，只是比较接近而已，为使它们变成1、2、3、4、5、6、7、8、9、0的书写方式，又有许多数学家花费了不少心血。

再说回幻方铁板，幻方铁板上的数字是阿拉伯语系中的计数方式（下面简称为“阿语数字”以示区分），这些数字的字形与我们今天通用的“阿拉伯数字”字形完全不同。

阿语数字和现代通用数字的对比

直到现在，一些阿拉伯语系的国家和地区依然在使用这样的数字形式。

开罗机场标有两种数字的路牌

摄影：郭嘉

把十世纪及现代的阿语数字和幻方铁板上的数字相比较，可以看出幻方铁板所用的数字，其中5、6、9与十世纪阿语数字相同或接近；2、3、4、8与现代阿语数字相同或接近；而1、7字形变化不大。由此夏鼐先生认为，幻方铁板上的数字是由十世纪向现代阿语数字演化的中间形式，而接近于十世纪的阿语数字。结合其他史料，夏鼐先生推断，这件幻方铁板的制作时间大约为十三世纪五十至七十年代。

不同时代阿语数字的变化

图片来源：夏鼐《元安西王府址和阿拉伯数码幻方》

元代青玉幻方佩挂 1969年出土于上海浦东陆家嘴

1969年，在上海浦东陆家嘴，还出土了一枚元代青玉幻方佩挂（长3.6㎝，高3.5㎝，厚0.7㎝）。除数字“5”之外，其他数字和安西王府遗址中出土的幻方铁板数码相似，属阿拉伯四阶幻方，反映出很高的数学水平。这些幻方与阿拉伯数学家阿尔·卡西于1427年成书的《算术之钥》中所介绍的数码形式完全相同，介于10世纪阿语数字和现代阿语数字之间。

阿拉伯幻方的价值

这些写着阿语数字的幻方既可以作为研究阿拉伯数字演变史和数学史的资料，又提供了研究当时的宗教和风俗的重要史料，同时也是十三世纪中西交通频繁的重要物证。

那我们的老祖宗用阿语数字吗？

元代，天文学家扎马鲁丁把阿拉伯天文学传入中国，这一时期的中国天文学得到空前发展，如我们所熟知的天文学家郭守敬和他主持完成的当时世界上最先进的天文历法《授时历》就是这个时候的故事。而数学是天文学的基础，用天文仪器观测的天象数据，需要用到数学演算才能得出结论，可以说，阿拉伯数学是随天文学传入中国的。

这套阿拉伯数码虽然辗转传入我国，但这套数码当时并没有为中国学者所采用，也没被当时的人们所广泛使用。

比如“0”，中国数码中的零号是宋元时期我国数学家和天文学家自己创造的。宋代学者仿照古代用方框“□”表示脱落文字的习惯，用“□”来表示数据中的空位，后来，为了书写方便，方框“□”顺笔写成圆圈“〇”，于是形成中国数码中的零码。总的来说，中世纪阿拉伯数学在中国的影响，远不如它对欧洲数学所产生的影响大。

还有一些其他理由，比如：

1.表示数目的中国文字一、二、三、四等九个字笔划简单，记忆便利，直到清末还有许多算书还仍全用中国数字的。

2.我国很早也产生算码，约公元九世纪的敦煌石室算书内已有算码。到十三世纪时算码使用更广，并且这种算码书写也很方便，和阿语数字相比，在效用上几乎相同。

3.十九世纪后期和二十世纪初大量翻译欧美和日本方面的数学书，大势所趋，普遍使用印度-阿拉伯数码字

——《阿拉伯数码字传到中国来的历史》

奇妙的幻方

在过去，幻方铁板以其神秘的数字组合成为人们心中镇宅辟邪的神物，但在今天的数学家眼中，幻方成了一种很有意思的填数游戏。比如有幻和最小的素数幻方和合数幻方、公倍数最小的四阶幻方、幻和最小的六阶幻方……

幻方铁板

1分钟前：

相信大家听我说了这么多估计眼皮都开始打架了吧，不知道小伙伴们有没有从我身上感受到数学奇妙的魅力。没什么可以感谢大家的，就送大家一道关于幻方的题目吧，参考答案见下期。