什么是“欧几里得距离”（ED）？| 群体遗传专题

在BSA（bulk segregant analysis）的结题报告中，我们经常看到欧几里得距离（Euclidean distance，ED，又称欧氏距离）算法的结果。欧几里得这位大数学家的名字我们都不算陌生，但是欧几里得距离是什么，它又是怎样应用到遗传学研究的领域当中来的呢？

要理解欧几里得距离，我们先要了解欧几里得空间。我们通常所在的空间是三维空间，三维空间任意的点可以被一个三维的坐标定义。而将三维拓展为更高的n维，即得到了n维欧几里得空间。而在n维空间中两个点之间的距离，我们就称之为欧几里得距离。

在具体的应用中，如果一组数据拥有n个相互独立的变量，我们就可以将其置于n维的欧几里得空间中，并应用欧几里得距离来量化两组数据之间的差异。我们都知道，在二维平面上，两点之间的距离计算如下：

那么应用到n维空间中，欧几里得距离的计算也同理，是坐标轴各方向差值的平方和开根号，计算如下：

应用到BSA上，欧式距离可以计算同一个位点上，两个混池之间的遗传距离。根据BSA的原理（BSA专题（一）——BSA性状定位简介），两个极端性状子代混池只在控制性状的QTL及其连锁位点出现差异，所以通过各个位点欧几里得距离的计算，我们可以判断哪些位点更可能是控制对应性状的QTL。计算公式如下：

可以看出，这里将各个位点的SNP抽象成了四维欧氏空间中的一个点，并且对两点之间的距离进行了计算，得到了两点之间的欧氏距离。欧几里得距离最早由Hill等应用于高通量测序的BSA分析中（Hill et al., 2013）。迄今为止，已经有相当多的BSA研究应用欧几里得距离算法作为定位区间挖掘的算法。

实际应用中，我们在BSA的两组混池之间可能会得到数十万甚至上百万个SNP，有的SNP可能实际与性状无关，但因为抽样偏差，导致计算得到的ED值很高，如何能将这些统计异常值排除掉，只留下真正的QTL呢？这里就要用到BSA常用的滑窗计算法。在一个窗口内，对所有位点的ED值进行拟合，这样因为抽样偏差造成的个别点高ED值的峰就会被抹去，但是真正的QTL及其周边相连锁的位点计算出的高ED值会在滑窗拟合后得到保留。

上图是某物种BSA的ED拟合图，图中的每一个散点都是一个SNP位点的ED值，而黑线是滑窗拟合后的ED值。我们可以清晰地看到，每条染色体上都有ED值较高的点，但是经过滑窗拟合后，只有染色体5B上保留了一个很强的峰值信号。这个信号峰的位置即直观地指示了QTL所在的位置。

当然你可能也注意到，对于一个双等位基因的位点（即在群体中，这个位点有且只有2个等位基因，或者说2种碱基类型）来说，ED的取值上限是根号2，但是图中的ED值上限却是2，这是为什么呢？因为在BSA定位区间计算过程中，为了降噪去除掉那些干扰信号，会对ED值进行乘方处理。上图即是使用了ED^2的值进行运算和展示，根据实际降噪结果，会在2-6次方之间浮动。

上述就是欧几里得距离应用于BSA分析的基本原理了，不过在ED之外，还有SNP-index等其他方法，能从不同的角度对BSA数据进行分析，根据实验设计灵活应用，才能够拨开云雾见天日，最终挖掘出我们与性状相关的QTL区间。当然，欧几里得距离作为一种常用的数学计算指标，在除BSA外的其他领域也有相当广泛的应用，但是只要了解其基础原理，其他方面的应用也都是万变不离其宗，可以一以贯之地进行理解。

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参考文献：Hill J T, Demarest B L, Bisgrove B W, et al. MMAPPR: mutation mapping analysis pipeline for pooled RNA-seq. Genome research, 2013, 23(4): 687-697.

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