宇宙膨胀背后的故事（之一）：爱因斯坦无中生有的宇宙常数

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| 程 鹗

1907年底，德国的《放射性和电子学年鉴》（Yearbook of Radioactivity and Electronics）编辑邀请瑞士专利局的一位“二级技术专家”（Technical Expert Second Class）撰写一篇关于相对论的年度综述。

当时28岁的爱因斯坦（Albert Einstein）刚刚从“三级技术专家”提升到“二级”，个人生活随着工资的相应上涨而略有改善。但他对写这篇综述文章显然比在专利局中的本职工作更为上心。

在瑞士专利局中工作的爱因斯坦。

狭义相对论这时已经发表两年多了，也已经逐渐被物理学界接受。但爱因斯坦对他自己这个理论的“狭义”始终耿耿于怀。之所以有着这么个定语，是因为她有着两个明显的缺陷。一是不能与牛顿（Isaac Newton）的万有引力和谐：后者的瞬时“超距作用”特性在违反着相对论中作用力传播速度不能超过光速的限制；二是这个理论只适用于匀速运动的“惯性参照系”，无法应用于有加速度的系统。

就在爱因斯坦坐在专利局里纠结如何综述这两个不足之处时，他脑子里突然冒出个思想火花：如果一个人在空中自由落下，他是感觉不到重力的——他处于“失重”状态。还不仅仅是这个人自己的感觉：如果他在下落过程中放开手里的苹果，他也不会看到苹果像牛顿所说的会落下地面，而是会“静止”地停留在他手边。（当然，在旁观者看来，苹果正在和这个人一起落下地面。）

爱因斯坦后来说那是他一辈子所产生的“最快乐的想法”（happiest thought），并由此推论出他著名的“电梯假想试验”：一个处于封闭电梯中的人没有办法知道他的“失重”是因为电梯在坠毁，还是电梯其实是浮游于不存在重力的宇宙空间。反过来，如果这个人感受到重力，他也不可能知道那是因为电梯停在地球表面，还是在没有重力的太空中正加速上升。

于是，重力与加速度并没有区别，只是着眼点不同。因此，狭义相对论的两个缺陷其实是同一个，可以同时解决。在狭义相对论中，时间、距离等概念不再绝对，而是“相对”于所在的参照系。在推广的相对论中，重力——或万有引力——也不再绝对，只是相对于所在的参照系是否加速而存在。

这样，他为年鉴撰写的狭义相对论综述的后面加上一节，成为走向广义相对论的第一座路标。

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转眼又是好多年过去了。爱因斯坦早已告别专利局，成为正式的、也越来越著名的物理学家。他对如何推广相对论也有了逐渐清晰的想法：苹果落地、月亮绕地球转等等重力现象其实是因为地球的质量让其附近的空间弯曲了，苹果和月亮只是在弯曲的空间中做惯性运动。而且，不只是苹果、月亮这类“物体”，即使是没有质量的光，也会在大质量附近随着空间而弯曲。

但直到1915年，他在寻求一个完整的理论的征途上还一直是在屡败屡战，不得要领。那年夏天，爱因斯坦去哥廷根大学访问讲学，与那里的数学大师希尔伯特（David Hilbert）切磋。两人都有直觉，广义相对论的数学形式已经几乎触手可及，正等待着那最后的突破。

回到柏林后，爱因斯坦进入近乎癫狂状态。第一次世界大战已经打响，德国实行战时管制，限量供应生活必需品。偏偏此时，他妻子带了两个儿子离家出走，让他一个人在公寓中自生自灭，吃不上一顿可口饭菜。他们为了金钱和孩子不停地在通信中打着笔战。但更让他忧心的是与希尔伯特的持续信件来往，从对方的书信中越来越明显地可以看出来希尔伯特有可能抢先发现、发表广义相对论场方程。

为了不失去优先权，爱因斯坦提前安排11月在普鲁士科学院举行每周一次的学术讲座，“第一时间”发布他的最新进展。11月4日第一讲开始时，他内心里对这个系列的走向其实还十分迷茫。

在讲座之外，爱因斯坦整天除了给夫人、希尔伯特及其它同事朋友写信便是在埋头演算，一次又一次发现、修正自己推导中的错误。终于在11月中，他尝试用正在建构中的新公式推导水星公转轨道近日点进动问题时，一举得到了与牛顿力学不同、而与实际观测几乎理想符合的数值。

这是他的新理论的第一个成功，解决了一个困扰天文学家、物理学家几十年的老问题。已经不那么年轻的爱因斯坦突然兴奋莫名，心慌意乱，竟连续三天没能平静。

11月25日，爱因斯坦在普鲁士科学院做了他的讲座系列的最后一讲。留在黑板上的是一个简洁得难以置信的方程，一个统一了惯性参考系和加速运动的广义相对论场方程。

希尔伯特在哥廷根也同时举行着他自己的系列讲座，并在20日发布了他发现的场方程，比爱因斯坦早了五天。但他没有试图争取发明权。他说，哥廷根的每个人都比爱因斯坦更懂得【广义相对论中所用的】四维时空的数学，但只有爱因斯坦才明白它背后的物理。

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爱因斯坦写出的广义相对论场方程是一个看起来直截了当的等式：左边是描述四维时空“形状”的张量，右边则是时空中能量（和质量）、动量的分布。中间那个等号将这两个过去毫无关联的元素联系了起来。方程中没有“力”，却能描述水星绕太阳的公转：因为太阳的质量造成它附近空间的弯曲，而在这弯曲空间中的水星便自然地绕太阳转起了圈——并且比在牛顿力学中转得更为精确。

荷兰布尔哈夫科学博物馆（Museum Boerhaave）东墙上纪念广义相对论的壁画。上面是太阳引力造成光线弯曲的示意图。下面则是广义相对论场方程，其中的第三项便是爱因斯坦无中生有引进的宇宙常数项（“Λ”便是宇宙常数）。

后来，美国的物理学家惠勒（John Wheeler）言简意赅地总结出广义相对论场方程的真谛：“时空告诉物体如何运动，物体告诉时空如何弯曲。”（“Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.”）二者相辅相成，浑然一体。

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广义相对论发表之后，不仅在水星公转轨道进动的计算上令人信服，更因为光线因为太阳而弯曲的预测在1919年日全食时由英国天文学家爱丁顿（Arthur Eddington）的观测证实而轰动世界，一举奠定爱因斯坦在科学史上的地位。

爱因斯坦一发而不可收拾，进入了十年前他石破天惊地连续发表光电效应、布朗运动、狭义相对论、质量能量之等价那一系列划时代论文的“奇迹年”（Annus Mirabilis）之后的又一次创造性高峰。他的眼光更是超越太阳系，投向更广阔的宇宙：既然“物体告诉时空如何弯曲”，那么只要知道宇宙中的星球质量分布，就可以直接推导出整个宇宙的形状。

在20世纪初，人类对宇宙的格局只有非常朴素的直觉认识。我们所处的太阳系有一个恒星：太阳。围绕着太阳在不同距离的轨道上运行的有包括水星、地球的八个行星（有争议的“第九大行星”冥王星当时尚未被发现），多数行星还各自带有数目不同的卫星。

在太阳系之外，我们可以看到满天的繁星。它们虽然看起来铺天盖地，但并不很匀称：大部分星星似乎集中在相对很窄的一条带子上，就像天空中的一道河流。这在中国叫做“银河”，在西方则称为“奶路”（Milky Way）。在这条河外面的星星分布明显稀疏，有些部位甚至漆黑一片，似乎没有星星。

而这么多的星星，天文学家对它们的距离、质量只有猜测，实际上一无所知。

但爱因斯坦不拘泥这些细节。

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一个流传甚广的笑话说一位牧场主因为牛奶产量问题求教于各方专家。经过一番仔细的调查、研究之后，一位理论物理学家找出了应对方案。他自信满满地对牧场主说，“首先，我们必须假设奶牛是一个标准的圆球……”

在遇到未知或无法全面掌握的复杂问题时，将其高度简化、抽象到看起来没有实际意义的简单模型是理论物理学家的拿手好戏。这样研究出来的结果也许无法直接应用，却可以帮助人们理解定性的特质。

爱因斯坦心目中——更确切地说，运算纸上——的宇宙便是这样的一个“球形奶牛”：假设宇宙中的质量是完全理想化的均匀分布，没有哪个地方多一点，也没有哪个地方少一点。让我们来看看新出炉的广义相对论场方程会给出一个什么形状的宇宙。

这个假设虽然听起来匪夷所思，其实也不那么离谱。太阳系看起来结构复杂，但它所有的质量接近99.9%集中在太阳这一个点上。与太阳相比，其它的行星、卫星质量完全可以忽略不计，等于不存在。而在太阳系以外，爱因斯坦觉得宇宙可能比我们肉眼所及还更大得多。在那个大尺度上，也许离我们近的恒星集中在银河也会显得微不足道，遥远的恒星质量分布还是近乎均匀的。

当然，更重要的还是只有这样极端简化了的模型才有可能从广义相对论那数学上极其复杂的场方程中求出一个解来。而即便如此，爱因斯坦也还花费了一年的时间。因为他遇到了一个颇为奇葩的难题。

假设宇宙质量均匀分布之后，整个宇宙的形状便由一个变量决定：密度。爱因斯坦发现他的宇宙不是无限大的，而是有一个由密度决定的大小。但同时因为广义相对论方程中空间和时间是紧密相连的四维时空，这个宇宙大小不是恒定的，而是随时间演变，或者越来越小（塌缩），或者越来越大（膨胀）。无论他怎么折腾，总也找不出一个不随时间变化的、静止的宇宙。

他没有太多地去思考这背后可能隐含的意义，而是认定了这样的解是荒唐、不符合物理现实的。他发明的广义相对论显然并不完整，遗漏了某个能让宇宙稳定的物理性质。

经过反反复复地尝试，爱因斯坦终于找到了缺陷：如果在场方程的左边再另加一项，他就可以得出一个静止的宇宙解。

这个新加的项也是同样的描述时空形状的张量，但附带着一个新的常数作为系数。爱因斯坦把它叫做“宇宙常数”（cosmological constant）。因为这个新加的项只有在研究宇宙这样的大尺度时才有效果。在太阳系这样的“小”尺度上，这个项因为宇宙常数的数值太小而可以忽略不计。这样，他以前计算所得的水星轨道进动、光线因太阳质量弯曲等结果不受影响。

爱因斯坦1917年发表的宇宙学论文首页。

1917年2月，他在普鲁士科学院宣讲了这个新成果，并以《基于广义相对论的宇宙学思考》（Cosmological Considerations in the General Theory of Relativity）为题在院刊上发表了篇幅10页的论文，正式发表了他的宇宙模型。

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爱因斯坦所遭遇的困难其实并不是广义相对论带来的新问题。早在牛顿发现万有引力时，他便面临了同样的质问：既然所有质量之间都互相吸引，那么它们必然会逐渐趋近，最终全部“塌缩”到一个点上。因此宇宙不可能稳定。牛顿没有什么好办法。他一厢情愿地辩解道，假如宇宙是无限大的，没有哪个点是中心，也就没法塌缩到任何一个点上。或者，在无限大的宇宙中，每个质量都同时受到来自四面八方的吸引力，互相抵消因此没有实际效用。

这两个论点其实都不成立，因为它们描述的是不稳定系统，无法实际存在。很有一些物理学家一直试图构造不同模型试图解决或者绕开这个问题，均不得要领。事实上，爱因斯坦的论文开篇也是讨论牛顿力学的这个老问题，他指出如果在牛顿的引力场方程中人为引入一个项，至少可以在数学上避免这个困难，但在物理上却没有这样做的理由。

他之所以要提出这个可能，便是为了后面在广义相对论场方程中引入几乎雷同的“宇宙常数”项做铺垫。但即便如此，他也没有能找出在相对论中强加这个附加项的理由。

爱因斯坦自己颇为沮丧。宇宙常数项的引入是完全人为的，破坏了场方程原有的浑然天成之美感。他只能辩解说非如此无法描述我们所在的宇宙，真真是不得已而为之。好在这个项本身没有破坏方程原有的对称性，至少在数学上是可以被允许的。

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爱因斯坦的宇宙模型发表后，引人注目的并不是这个只有物理学家才会纳闷的宇宙常数，而是他所描述的宇宙之形状：一个有一定大小的圆球，其半径由宇宙中的质量密度决定。但她又不是我们日常生活中所熟悉的球。爱因斯坦曰，虽然宇宙的大小有限，却没有边界。

宇宙中的质量“告诉”了空间需要弯曲。因为质量均匀分布，宇宙中所有的地方都有着相同的弯曲度。就像一条纸带弯起来首尾相连构成一个环，这个宇宙便弯成了一个标准的圆球——恰如理论物理学家心目中的奶牛。

他说，如果我们能往天上某一个方向打一道有足够能量的光束（那个时代还没有激光的概念），这束光在若干亿年后会从相反方向回到地球，就像麦哲伦（Ferdinand Magellan）的船队完成了环球航行胜利地回到出发的港口一样。

麦哲伦的船队只能在地球表面的海面上航行，他们用3年时间绕地球一圈回到了原地，说明地球表面是一个大小有限而又没有边界的世界。这是三维的地球在其表面这个二维世界的一个投射。

爱因斯坦解释说我们所生存的宇宙圆球其实是一个四维空间中的形状在人类所能感知的三维空间的一个投射。生活在三维空间中的人类无法看到四维宇宙真正的形状，只能感知这么一个有限无边的圆球形投射。

这个匪夷所思的图像不仅让一般人摸不着头脑。即使是物理学家、天文学家也将信将疑，姑且把她称之为“爱因斯坦的宇宙”（Einstein universe）。

但在人类仰望星空几千年，对满天繁星发出过无数的猜想、感慨之后，爱因斯坦是第一个基于物理学原理为整个宇宙构造模型的人。他的这篇论文因此标志了现代宇宙学的诞生。

只是，宇宙究竟有多大、是否有限、是否有边界、是静止还是演变、甚至……真的只有一个宇宙吗？在爱因斯坦所处的时代，这些问题不仅没有答案，甚至无从把握。爱因斯坦的“奶牛”宇宙和他那无中生有的“宇宙常数”只是一个起点，为后续的几代人审视宇宙指出了一个方向。

而要踏实地走上这条路，我们还需要仔细地审视我们所在的这个宇宙。

（待续）

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