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Stefan Nagel, 2013, Empirical Cross-Sectional Asset Pricing, Annual Review of Financial Economics Vol. 5:167-199.I review recent research efforts in the area of empirical cross-sectional asset pricing. I start by summarizing the evidence on cross-sectional return predictability and the failure of standard (consumption) capital asset pricing models (CAPMs) and their conditional versions to explain these predictability patterns. Part of the recent literature focuses on ad hoc factor models, which summarize the cross section of expected returns in parsimonious form, or on production-based approaches, which suggest links between firm characteristics and expected returns. Without imposing restrictions on investor preferences and beliefs, neither one of these two approaches can answer the question of why investors price assets the way they do. Within the rational expectations paradigm, recent research that imposes such restrictions has focused on the intertemporal CAPM (ICAPM), long-run risks models, as well as frictions and liquidity risk. Approaches based on investor sentiment have focused on the development of empirical proxies for sentiment and for the limits to arbitrage that allow sentiment to affect prices. Empirical work that considers learning and adaptation of investors has worked with out-of-sample tests of cross-sectional predictability.
本文回顾了最近在实证的横断面资产定价领域的研究成果。首先，本文总结了横截面收益可预测性的证据和标准（消费）资本资产定价模型 (CAPMs)的失败，以及它们的条件版本来解释这些可预测性模式。最近的部分文献集中在特设因子模型 (ad hoc factor models)上，该模型以简约的形式总结了预期收益的横截面，或基于生产的方法，表明了企业特征和预期收益之间的联系。如果不对投资者的偏好和信念施加限制，这两种方法都不能回答为什么投资者以这种方式为资产定价的问题。在理性预期范式中，最近的研究集中在跨期CAPM (ICAPM)、长期风险模型以及摩擦和流动性风险。基于投资者情绪的研究方法，主要关注情绪实证代理的发展，以及允许情绪影响价格的套利限制。考虑投资者的学习和适应的实证研究采用了横截面可预测性的样本外测试。
一、引言
金融经济学的一个基本问题是，对具有不同风险敞口和特征的资产进行定价以获得不同的回报率。本文调查了实证横截面资产定价的研究，这些研究为这个问题提供了证据，并将证据与投资者偏好和信念模型联系起来。本文首先列出一个框架，有助于对这一领域的实证工作进行分类和解释。
（一）随机贴现因子
一价定律意味着SDF的存在使得公式1成立，并且它可以被构造为资产收益的线性组合（Hansen & Richard 1987）。因此，定价模型的经济内容在于它们对SDF的限制。限制可以是理论上的【例如资本资产定价模型（CAPM）】或有一个特别的性质（例如，将一个因素模型限制为几个特殊因素）。研究人员通常希望丰富投资者偏好或风险动态的说明，以提高模型的定价性能。我将在第3节和第4节中回顾这些问题。（二）学习
（三）情绪
（四）摩擦
摩擦会以多种方式影响SDF。摩擦可能会阻止某些类别的投资者参与市场。摩擦还可能引发投资者关注的风险，如流动性风险。我将在第4节介绍有关这些问题的一些工作。第5节描述了摩擦如何在基于情绪的方法中发挥重要作用，解释了为什么成熟的投资者——他们的信仰可能更接近贝叶斯学习或理性预期基准——可能无法利用和消除情绪对资产价格的影响。（五）数据窥探
困扰横截面资产定价的一个问题是，该领域的许多实证工作本质上都是寻找异常现象。当研究人员搜索大量SDF标准模型无法解释的候选预测因子时，不可避免的是，一些预测因子仅仅是偶然出现的“显著性”。传统的统计推断程序不能解释对许多候选预测因子的搜索。第6节中回顾的样本外测试有助于阐明这个问题。（六）市场效率
关于横截面收益可预测性的实证研究经常被作为市场效率的研究来讨论，但这一概念的含义没有明确定义，这限制了其作为组织原则的实用性。Fama（1970）将（半强）有效市场定义为始终“充分反映”所有可用（公共）信息的市场，但不清楚“充分反映”是否指理性预期的苛刻概念（这是Jensen 1978的观点），或者市场效率的概念是否应该允许学习和适应（Schwert 2003和Timmermann & Granger 2004提出了这一解释）。摩擦和风险进一步模糊了市场效率的确切含义。Jensen（1978）通过建议将市场效率定义为公共信息交易中没有获利机会，从而增强了其对市场效率的理性预期定义。然而，在一个成熟且情绪驱动的投资者交易的市场中，情绪可能会影响价格，然而，考虑到他们所面临的摩擦和风险，成熟的投资者并没有发现任何异常的获利机会（例如，参见Dumas, Kurshev & Uppal 2009，了解一般均衡模型中这一点的说明）。如果将这种市场定义为有效市场，那么效率在很大程度上就变成了一个空洞的概念，因为它没有区分投资者如何定价资产的有趣的替代假设（理性预期、学习、情绪）。出于这些原因，我更愿意明确阐述研究人员所使用的信念形成假说，而不是依赖于市场效率这一不精确的概念。虽然我的目标是涵盖实证横截面资产定价中的主要概念问题，但回顾的范围必然是选择性的。我专注于最近的工作，主要是股票市场。在计量经济学方面，我强调在估计和评估资产定价模型时选择时刻条件的重要性，但我基本上没有讨论估算和测试方法（更多关注估算和测试方法的调查见Jagannathan, Skoulakis & Wang 2009和Goyal 2012）。二、横截面收益可预测性
在这一节中，我简要回顾了有关横截面收益可预测性的大量文献。我关注最常见的回报预测分类。这些文献中的大多数研究评估了SDF标准线性因子模型的可预测性，如CAPM、消费CAPM或作为基准模型的特设因子模型。我将在第3节中讨论这些模型。（一）技术预测因素
股票回报率和交易量的历史是寻找回报预测因子的自然场所，而且数据很容易获取。在投资管理实践中，此类预测属于技术分析领域。该领域研究最多的可预测性模式之一是与Jegadeesh & Titman（1993）一起进入学术文献的动量效应。Jegadeesh & Titman指出，过去三到十二个月内回报率高的股票（赢家）在未来三到十二个月的表现优于近期回报率低的股票（输家）。一个相关的现象是财报公布后的漂移。在接下来的6个月里，收益出人意料地好的股票表现优于收益出人意料地差的股票（Bernard & Thomas 1989）。Chan，Jegadeesh & Lakonishok（1996）表明，这种收益动量与价格动量效应有关，但部分不同。Lee & Swaminathan（2000）表明，交易量大的股票未来收益率低，动量效应更强。相反，在更长的时间内，回报率有一种均值回归的趋势，如DeBondt & Thaler（1985, 1987）所示：过去三到五年的赢家表现不如输家。Jegadeesh & Titman（2001）发现，动量效应在大约12个月的持有期后消失，然后在更长的持有期内开始恢复。（二）估值比率和盈利能力
因此，保持对未来ROE的固定预期，如果bm较低，则预期回报必须较低。保持固定当前bm，高预期ROE意味着高预期回报。这促使bm和预期收益率的使用，最好是联合使用，作为回报预测指标。当然，不同股票的预期回报并不一定不同。如果没有差异，bm中各股票的变化反映了未来收益率或公式6中的近似误差。但如果它们确实存在差异，则bm和/或预期ROE应与预期回报相关。由于公式6只是一个近似的会计恒等式，因此它没有阐明预期回报中横截面变化的结构性驱动因素。理性预期下的定价风险、学习效应或情绪是否会导致预期回报的变化并不重要。bm和预期收益率应该预测回报的结论适用于每一种情况。在金融领域，使用估值比率（如B/M）进行收益预测有着悠久的历史。Fama & French（1992）重新审查了证据，并确认低市值（小公司溢价）和高B/M（价值溢价）的股票获得了较高的预期回报。他们发现，公司规模和B/M吸收了市盈率的预测作用。其他研究人员将B/M与当前盈利能力指标结合起来，作为未来预期盈利能力的指标。Haugen & Baker（1996）证明在控制B/M和其他各种收益预测因素的情况下，ROE对回报率有积极的预测。Vulteenaho（2002）表明，最近的回报、ROE和B/M共同预测了回报。考虑到近似的会计特性，B/M等估值比率和盈利能力变量与未来回报正相关并不令人惊讶。更有趣的是，风险和回报的标准模型无法解释回报的这种横截面变化。目前的ROE可能不是未来ROE的最佳预测指标。例如，当前收益率的某些子组成部分可能比其他子组成部分更能帮助预测未来收益率。Sloan（1996）将收益分解为现金收益和应计项目。他发现，应计利润高的公司未来利润低，未来回报异常低。Hirshleifer等人（2004年）认为，净经营资产总结了非现金收益的累积历史，并提供了比单期应计项目更好的未来收益预测。他们发现，净经营资产能很好地预测未来的回报。Fama & French（2006）采用了各种会计变量、过去的股票收益和分析师收益预测，表明这些变量也预测收益。Novy-Marx（2013）认为，毛利（收入减去销售成本）是未来收益的良好预测指标，他发现，毛利与未来股票回报率呈显著正相关。一些研究人员使用估值比率、盈利能力指标和其他会计变量来构建财务困境的汇总指标，并发现困境股票的回报率异常低（Dichev 1998, Griffin & Lemmon 2002）。Campbell, Hilscher & Szilagyi（2008）在一个危机预测框架内报告了一个类似的发现，该框架还采用了基于价格的变量，如滞后回报和波动率。（三）企业投资和融资
企业投资和融资政策的理论可以进一步洞察潜在的回报预测因素。根据投资的q理论，企业投资与预期收益率正相关，与贴现率负相关，因此与未来股票回报负相关。Li, Livdan & Zhang（2009）最近对这一机制进行了阐述。Titman, Wei & Xie（2004）；Fama & French（2006）；Anderson & Garcia-Feijóo（2006）；Li, Livdan & Zhang（2009）发现了与这一预测一致的证据。高投资率的企业也可能进行外部融资，而低投资率的企业则将资本分配给投资者。因此，贴现率也与外部融资负相关（参见， Li, Livdan & Zhang，2009）。与这一预测一致，Daniel & Titman（2006），Fama & French（2008）和Pontiff & Woodgate（2008）构建了净股权发行活动的衡量指标，并发现与未来股票回报呈负相关。高水平的投资和外部融资也转化为更高的增长。因此，人们预期增长与未来回报之间存在负相关。Lakonishok, Shleifer & Vishny（1994）记录了过去的销售增长与回报之间的负相关关系。Cooper, Gulen & Schill（2008）研究了总资产的增长，发现其与未来回报呈负相关。投资和增长也与应计项目有关。Fairfield, Whisenant & Yohn（2003）认为高增长企业往往是高应计企业，这表明Sloan（1996）描述的应计项目和预期收益之间的关系可能是一种增长效应。然而，Lewellen & Resutek（2013）表明，投资、外部融资和应计项目在预测收益方面都有不同的作用。虽然q理论有助于识别潜在的横截面回报预测因素，但该理论对投资者为何对股票进行定价以获得不同的预期回报率的原因却一无所知。投资和融资相关变量预测收益的证据并未揭示理性预期下的定价风险、投资者学习或情绪是否是金融市场中企业面临的贴现率的驱动因素，以及企业在投资和融资决策中的反应。（四）非系统性风险
特质波动率的定价理论通常预测了特质波动率和预期收益之间的正相关关系。例如，在Merton（1987）中，正相关关系出现是因为投资者不完全分散，并要求对特质波动率进行补偿。根据实证，Ang等人（2006）发现了相反的结果：具有特质波动率的股票回报率极低。Huang等人（2010）提醒说，这种特质波动率效应似乎是由已知存在于一个月回报中的回报逆转所驱动的（Jegadeesh 1990）。特质波动率也是Campbell, Hilscher & Szilagyi（2008）的困境预测模型中使用的变量之一，其框架中的效应符号与Ang等人的研究结果一致。（五）季节性
横截面收益可预测性的一个令人费解的特征是，它受到强烈的季节性影响。Novy-Marx（2012）基于最新数据提供了一个最新的观点。他记录了本节中所述的许多截面回报预测因素在1月份具有显著的季节性：例如，规模和价值效应集中在1月份，而动量和利润相关的可预测性在1月份较弱。本调查中回顾的研究没有提到这种季节性的来源。三、线性因子模型
横截面资产定价的大多数实证研究采用SDF的（对数）线性因子表示。在本节中，我回顾了大多数实证工作中出现的经典模型；第4节介绍了最近为改进这些模型所做的努力。这里和第4节回顾的工作采用了理性预期方法。为了节省符号，我使用。（一）经典模型
如果我们用测试资产回报的（条件）投影代替非交易因素，则SDF的定价含义保持不变。更准确地说，在对数正态设置中，投影是在测试资产的对数收益和线性SDF情况下的简单收益上（公式16）。（二）特设因子模型
（消费）资本资产定价模型无法解释横截面收益的可预测性，这促使一些研究人员求助于特设因素模型。这种方法的动机在于，SDF中的风险因素可以被其模仿的投资组合所取代。最著名的例子是Fama & French（1993）三因子模型，其中SDF被指定为市场指数回报的线性函数；小型股和大型股投资组合之间的收益差异，小型股减去大型股（SMB）；以及高B/M股票和低B/M股票组合之间的收益差异，高减低（HML）。Fama & French（1993）表明，该模型捕获了按规模和B/M排序的25个投资组合平均回报的大部分横截面变化。SMB和HML是从投资组合中构建的，这些投资组合沿着模型试图解释的规模和B/M维度跨越非常相同的预期收益差。因此，模型是重复的吗？不完全是。Fama & French（1993）中的经济内容在于发现这三个因子不仅解释了横截面变化，而且还解释了规模和B/M投资组合中的大部分时间序列变化，时间序列R平方超过90%。例如，这表明小公司的回报与几乎小公司的回报比与大公司的回报相关性更强。然而，考虑到这种强大的共同作用，小公司的预期收益与几乎小公司的预期收益相似，价值股的预期收益与几乎价值股的预期收益相似，这并不令人惊讶；否则就会出现近乎套利的机会。在偏好和信念受到最小限制的任何模型中（如Ross 1976和Cochrane & Saá-Requejo 2000），都会出现几乎没有套利机会的情况，这些弱限制适用于（合理的）情绪模型和学习模型以及理性预期模型。因此，Fama-French模型对规模和B/M投资组合回报的解释并不区分这些相互竞争的解释。Fama & French（1993）认为中小企业和HML可以模拟普遍存在的定价宏观经济风险因素。如果是这样，那么SMB和HML也应该解释预期收益横截面的其他特征，而不仅仅是规模和B/M效应。Fama & French（1996）认为这是因为三因子模型也解释了与收益/价格、现金流/价格、销售增长和长期反转相关的预期回报变化。然而，所有这些变量都与B/M密切相关。他们测试中的一个异常现象——动量——与B/M无关，无法用三因子模型解释。自Fama & French（1996）以来积累的实证证据表明，预期收益的横截面变化还有其他重要来源，与Fama-French因子无关。第2节中回顾的大多数横断面回归预测因子在调整暴露于Fama-French因子后具有预测能力。举几个例子，特殊波动异常（Ang等人 2006）、净股票发行效应（Daniel & Titman 2006）以及与总盈利能力相关的可预测性（Novy-Marx 2013）都是在使用Fama-French因子对收益进行风险调整后出现的。Lewellen（2013）根据预期收益的综合衡量标准对投资组合进行了分类，该指标结合了许多已知的预测因素，他的投资组合在调整了对Fama-French因素的敞口后表现出巨大的异常收益。从这一证据来看，Fama-French因子似乎是总结规模和价值效应的一种便捷方式，但仅此而已。为了获取横截面可预测性的其他维度，研究人员提出了替代因素。Carhart（1997）在Fama-French模型中添加了动量因子。Novy-Marx（2013）提出了总盈利能力系数。Hou, Xue & Zhang（2012）构建了一个包含市场因子、规模因子、投资因子和净资产收益率因子的四因子模型。盈利能力和投资相关因子的使用受到第2.2节和第2.3节中讨论的现值关系和q理论模型的推动。当然，我们必须记住，现值关系和q理论并不能回答为什么投资者对股票进行定价以获得预期收益差异的问题。（三）条件因子模型
（四）测试资产回报中的低维因子结构陷阱
（五）更详细的力矩条件（More Informative Moment Conditions）
横截面资产定价中的实证工作通常使用无条件矩限制进行估计和评估，但条件矩限制可以增强测试的信息性。这种增强尤其适用于条件因子模型。这些模型中随时间变化的风险价格意味着对条件风险溢价的时间变化有很强的预测。询问这些时间序列预测是否与数据相符似乎很有用。对于交易因子，LN表明，这可以通过利用更高频率的数据（如每日回报）和估计因子或模型时间序列在短时间窗口（如季度）内的回归来实现。其思想是，条件贝塔和条件市场风险溢价（共同）在短时间窗口内变化很小，因此短时间窗口内的时间序列回归产生条件贝塔和条件阿尔法的近似无偏估计。然后，可以通过检查（噪声）短窗口阿尔法估计的平均值是否显著不同于零来测试条件因子模型。在此方法的基础上，LN发现条件CAPM无法解释规模和价值溢价。Ang和Kristensen（2012）通过使用更一般的非参数估计方法（LN估计量是他们的特例）改进了这种方法，他们发现了类似的结果。对于非交易因子，我们可以通过指定工具和使用力矩条件（公式2）来利用条件力矩限制。但是我们应该使用哪些工具呢？即使我们确定了我们想要设定条件的随机变量集，仍然有无数种方法来构造工具和选择力矩条件的数量，因为任何可测量随机变量的函数都是有效和可行的工具。一些工具可能会增强力矩条件的信息量，而其他工具可能会在无条件力矩限制之外添加很少的信息。Nagel & Singleton（2011）在Hansen（1985）和Chamberlain（1987）的基础上实现了一个最优工具估计器，该估计器使用了最具统计信息的工具。Nagel & Singleton研究了几个公式19形式的按比例消费CAPM，发现这些模型无法同时拟合数据的横截面和时间序列维度（相关工作参见Roussanov 2011）。综上所述，鉴于第3.3节中的讨论，在解释无条件预期规模回报率和B/M投资组合横截面方面表现出色的条件因子模型，在引入额外矩条件时，难以解释数据。更一般地说，这些结果强调，研究人员必须小心选择能够提供模型经济解释力信息的矩条件。四、随机贴现因子建模的最新进展
由于条件因子模型路线的效果不如最初看起来的那样好，因此其他提高SDF标准规范的方法最近受到了更多的关注。最近的几篇论文使用了Epstein-Zin-Weil SDF的一般版本（公式7）。他们通过对财富组合收益的可观测性（ICAPM）或消费动态（长期风险）进行额外假设，获得了可实施的实证模型。我还回顾了将资产价格与生产者、金融市场参与者和金融中介的一阶条件联系起来的工作。（一）使用跨期预算约束替代消费
总体而言，ICAPM在解释预期回报的横截面方面显示出一些希望，但仍存在一些挑战。VAR动态受到重大估计不确定性的影响，在投资机会动态的合理规范中，实证结果在一定程度上有所不同（见Chen & Zhao 2009和Bansal等人 2012）。第二个挑战是，VAR估计的投资机会动态可能与模型内部不一致。Epstein-Zin-Weil SDF意味着对风险溢价和波动性的联合时间序列动态的均衡限制，在不受限制的VAR中被忽略。将这些不受限制的VAR动态作为外生动态，Epstein-Zin-Weil投资者希望对市场进行计时，鉴于Campbell等人（2012年）的ICAPM实施假设投资者持有风险资产市场组合中100%的财富。持有市场择时投资组合反过来会改变投资者对价值和成长股风险的看法。Bansal等人（2012）探讨了一种规范，其中市场风险溢价在市场回报的条件方差中是线性的，这是使投资机会的动态与模型相协调的一个步骤（尽管不是一个完整的步骤）。（二）用长期消费动力学模型替代财富回报
尽管ICAPM方法的动机是财富回报可能比消费更容易观察，但人们也可以提出这样的论点，即财富组合回报可能难以观察，因为财富的许多重要组成部分都是在受到严重摩擦的市场（如房地产）中交易的，或者根本不交易（例如，人力资本）。如果遵循这一观点，那么用财富回报代替消费增长可能更可取。
估计长期消费动态的这些问题使人们对这些模型中理性预期假设的价值产生了一些怀疑。类似的担忧也出现在ICAPM中，在ICAPM中，贴现率的长期动态很难降低。正如Hansen, Heaton & Li（2008）强调，如果计量经济学家努力确定这些长期动态，那么赋予代理人数据生成过程参数的知识是一种信仰的飞跃。开发一个包含学习、参数不确定性和模型不确定性的资产定价框架似乎特别适合于资产定价影响由长期动态驱动的模型。事实上，Collin Dufresne, Johannes & Lochstoer（2012）表明，学习可能是长期风险的来源：学习恒定消费增长率的贝叶斯代理人意识到她对平均增长率的主观信念是以鞅的方式演变的，从而感知长期风险。（三）基于生产的方法
尽管基于消费的资产定价模型将SDF与各州消费者的边际替代率联系起来，但基于生产的模型将SDF与生产者的边际转化率联系起来（Cochrane 1991）。这就提出了一个前景，即人们可以从生产方面的宏观经济数据（可能更好地衡量）中恢复SDF，而无需依赖（难以衡量的）消费数据。然而，典型的生产函数不允许边际转化率在各州之间变化，这使得SDF在不依赖投资者一阶条件的情况下也不可能恢复。Belo（2010）的模型是一个例外。Belo指定了一个生产函数，该函数允许生产者在各州之间转移生产率，他还研究了如何从生产者的一阶条件实证地将SDF恢复为行业级生产变量的函数，而无需对消费者进行任何假设。他在定价规模、B/M和行业组合中发现了这一点。Cochrane（1996）采用了另一种方法。如果公司拥有固定的规模化技术回报、进入金融市场的机会，并且他们进行交易以消除实物投资和金融市场之间的套利机会，那么定价公式用于实物投资回报，其适用方式与股票回报相同。正如人们可以通过预测证券收益的M来构建定价核心（Hansen & Jagannathan 1991），人们也可以通过预测投资收益的M来构建定价核心。Cochrane将实物投资回报的数量限制在几个共同因素上，得出了一个特殊因素模型，其中SDF在两个投资回报中是线性的，近似于投资增长率（私人住宅和非住宅投资）。Li, Vassalou & Xing（2006）采用了类似的方法，对投资增长率进行了更为细分。这些特设因子模型在拟合股票回报的横截面方面取得了一些成功，但其经济内容有限。对这些模型的测试实际上只是测试在包含实物投资回报的情况下的一价定律，结合对几个因子的特别限制。Berk, Green & Naik（1999）率先提出的第三种方法是将SDF外生地作为一些总体冲击的函数，并继续模拟企业资产组合和系统风险的演变。Berk, Green & Naik使用了一个动态实物期权模型，其中价值型公司由现有资产和增长期权组成，而增长型股票是纯增长期权。它们外生地指定了一个对数SDF，其形式为
其中，也是唯一影响公司资产到位现金流的总冲击，而增长期权的价值还受到与v正交的利率冲击的影响。因此，价值股与SDF具有更大的负协方差，即更高的系统风险和预期回报，而不是成长型股票。Carlson, Fisher & Giammarino（2004）研究了一个具有单一总不确定性来源的相关模型。Zhang（2005）在竞争性行业均衡中内生企业的现金流和系统风险。Zhang还使用了类似SDF的公式36，但v上的载荷随时间变化。在他的模型中，v是总不确定性的唯一来源。Novy-Marx（2011）支持这些模型所暗示的预测，即经营杠杆率应与预期收益呈正相关。Berk, Green & Naik（1999）；Carlson, Fisher & Giammarino（2004）；Zhang（2005）认为，他们的模型为价值溢价提供了“理性解释”。这一结论是没有根据的。这些模型无疑对企业系统性风险敞口的起源产生了有趣的见解，但它们无法阐明实证观察到的预期回报的横截面变化是否反映理性预期下的定价风险、学习的效果或情绪的影响。除无套利以及对进入和未进入SDF的冲击类型的特别限制外，像公式36这样的SDF的外生性规范不包含任何经济假设。无套利限制并不意味着SDF反映了理性定价。例如，在一个经济体中，这是一个单一的总体不确定性来源，正如Zhang（2005）所认为，投资者情绪的任何系统性影响也将由这一单一的总体冲击驱动。因此，根据计量经济学家的客观概率测度，SDF也将采用公式36的形式。Berk, Green & Naik（1999）施加了特别限制，即与v不相关的利率冲击部分不会在SDF中显示为冲击。但投资者为什么不关心这部分冲击呢？是否有理性的理由让他们不去关心它，或者他们将风险的零价格附加到冲击上是不完全理性的？如果没有消费者偏好和信念的结构模型，该模型就无法回答这些问题。因此，第四种方法是在一般均衡中联合模拟消费者偏好和生产方。然而，在许多情况下，采用这种方法的模型也意味着有条件消费CAPM或甚至有条件CAPM成立，这将使模型与实证证据冲突。例如，Gomes, Kogan & Zhang（2003）在他们的模型中有一个单一的总冲击，并且市场投资组合在条件上是一个完全相关的消费模仿投资组合，因此条件CAPM成立（同样的情况发生在Zhang 2005和Carlson, Fisher & Giammarino 2004）。为了避免这些不受欢迎的预测，一些研究人员在模型中增加了额外的不确定性来源。例如，Papanikolaou（2011）用Epstein-Zin-Weil偏好和受到生产率冲击和技术创新冲击的生产技术进行研究。他构建了一个多空因子投资组合，模拟技术创新冲击，并帮助解释数据中平均回报的横截面。（四）罕见的灾难和更多的力矩
横截面资产定价的绝大多数实证研究都是在对数正态框架内进行的，或者是通过将对数线性SDF与收益和SDF的联合对数正态性假设相结合，或者是隐含地将一阶泰勒近似应用于非线性SDF。这种方法可能无法考虑投资者关心的更高矩和尾部风险。Barro（2006）最近的工作重新唤起了人们对灾害风险定价影响的兴趣。灾难风险的横截面定价影响的实证研究仍处于初级阶段。原则上我们可以通过对应用非线性估计方法（如GMM）在实证工作中对其进行解释，但不需要对SDF进行线性化或假设对数正态性。或者，我们可以在近似值中包含高阶多项式项。这是Harvey & Siddique（2000）和Dittmar（2002）采用的方法. 在尾部风险很重要的情况下，样本选择和估计量的有限样本分布具有特别的相关性。（五）参与限制和流动性
在代表性代理模型的典型实证应用中，消费被衡量为经济中所有消费者的（人均）总消费。事实上，并非所有消费者都参与金融市场。资产价格可能反映金融市场参与者的消费风险，但不一定反映非参与者的消费风险。为了探索这一观点，Mankiw & Zeldes（1991）构建了一个基于消费的资产定价模型中的人均资本与股东消费的关系，他们表明，通过这一系列，在基于消费的资产定价模型中比在人均总消费中更容易解释股权溢价，因为股东消费与股票收益之间具有较高的相关性。Malloy, Moskowitz & Vissing-Jørgensen（2009）将这一理念应用于长期运行风险的股票回报的交叉部分，其中对数SDF符合公式28的同方差版本。他们从1982年到2004年的消费者支出调查数据中得出了消费增长系列。他们能够解释规模和B/M投资组合的横截面变化，相对风险厌恶系数比人均消费增长的标准衡量指标低得多。金融市场的许多交易活动是由金融机构而不是家庭进行的。代理人根据其一阶条件以最佳、频繁和及时的方式做出决策的理想理念似乎更适合金融机构而非家庭。家庭的交易成本、信息成本、有限的注意力和行为偏差可能会降低金融市场定价风险的总消费数据的信息量。因此，探讨金融机构的一阶条件似乎是值得的。
关于杠杆约束，还值得回顾第4.1节中对ICAPM的讨论。本文献中一个未解决的问题是，假设使用欧拉方程对资产进行定价的投资者始终完全投资于市场投资组合，而无需对市场进行计时，即使（外部指定的）投资机会是时变的。Campbell等人（2012）指出，一种可能的解决方案是将欧拉方程解释为杠杆约束投资者的一阶条件。这里的讨论表明，这可能需要SDF中的一个附加因子，该因子由约束上的拉格朗日乘数驱动。五、情绪
（一）套利限制
为了使情绪对价格产生影响，必须存在一些套利限制，以防止老练的投资者完全抵消情绪驱动型投资者的影响（有关套利限制的理论文献调查，请参见Gromb & Vayanos 2010）。如果投资者的情绪是相互关联的，并且如果情绪影响到一组股票或整个资产类别，那么就有一个自然的解释：逆情绪交易需要持有风险不可分散的风险头寸。老练的投资者希望因承担此类风险而得到补偿，这限制了他们积极对抗市场情绪的意愿。不过，许多横截面收益率可预测性模式提供了相当高的夏普比率，因此这不太可能是一个完整的解释。摩擦可能构成额外的障碍。Pontiff（1996）表明，封闭式基金股票的市场价值更有可能偏离其净资产价值，前提是套利策略面临更大的剩余风险以及发起和持有该头寸的更大成本。类似地，最近的几篇论文发现，在受此类摩擦影响的股票中，各种横截面回报率的可预测性模式更强。卖空限制就是一个例子。它们最有可能与机构所有权较低的股票相关，因为机构投资者，尤其是被动投资者，是卖空者最积极的股票贷款人。基于这一观点，Nagel（2005）表明，在机构所有权较低（控制规模）的股票中，基于多个预测因素（包括B/M）的横截面收益可预测性较强。对于拥有大型投资组合的专业投资者而言，小型股和没有分析师覆盖的股票通常不具有吸引力。Griffin & Lemmon（2002）发现这些股票的价值溢价更大，Hong, Lim & Stein（2000）报告了更强的动量效应。Campbell, Hilscher & Szilagyi（2008）发现，对于分析师覆盖率、机构所有权和流动性较低的股票，困境异常现象更强。在具有高特质性波动的股票中，横截面可预测性通常更强（例如，参见Ali, Hwang & Trombley 2003的B/M；Lipson, Vertal & Schill 2011以及Lam & Wei 2011的资产增长异常；Mendenhall 2004的盈利公告后漂移；以及Mashruvala, Rajgopal & Shevlin 2006的累积异常）。这些结果可能表明，特质性风险对成熟投资者更积极地利用可预测性起到了威慑作用（见Pontiff 2006），但尚不清楚该理论在数量上是否合理。毕竟，基于这些预测因素的策略提供了相对较高的夏普比率。（二）用横截面情绪代理预测收益
一些研究人员为投资者的主观信念开发了一套衡量指标，目的是利用这些指标来预测横截面的回报。Diether, Malloy & Scherbina（2002）和Chen, Hong & Stein（2002）基于Miller（1977）的观点，即如果持有不同信念的投资者面临卖空约束，价格由乐观主义者决定，而悲观主义者则持零头寸观望。更大的信念分歧意味着更高的定价和更低的未来回报。Diether, Malloy & Scherbina代表投资者的信念分散度和分析师预测的分散度，而Chen, Hong & Stein代表投资者的信念分散度和（缺乏）共同基金持有股票的广度。两者都支持这样一种预测，即当分散度较高时，预期收益率较低。La Porta（1996）使用分析师预测作为情绪指标，发现预测增长率高的股票随后表现不佳，特别是在未来的盈利公告前后，这支持了Lakonishok, Shleifer & Vishny（1994）的假设，即价值溢价可能来自对公司过去业绩的过度推断。Teo & Woo（2004）以小型/大型和成长/价值型的共同基金回报来代表投资者的情绪。他们发现，过去几年的高风格回报预测了与这些风格相关的股票的低回报，这与Barberis & Shleifer（2003）的模型一致。Frazzini & Lamont（2008）将具有积极情绪的股票识别为共同基金持有的股票，这些共同基金最近收到了资金流。他们展示了这些股票在未来的前景。此外，积极情绪股票往往是成长型股票和股票发行频繁的股票。（三）时变总体情绪的横截面含义
如果不同类型的股票对总体情绪的变化具有不同的敏感性，那么总体投资者情绪的波动可能具有交叉影响。LeMon & PuriaGuina（2006）发现，当密歇根大学消费者情绪指数较高时，小型股和机构所有权较低的股票的预期收益率较低。Baker & Wurgler（2006）从先前文献中的几个总体情绪代理构建了一个指数。他们发现，对套利者没有吸引力的股票（年轻、小型、无利可图、极端增长、不良和高波动性股票）的预期回报对情绪最为敏感。Stambaugh, Yu & Yuan（2012）使用Baker-Wurgler指数来检验一系列现有横断面可预测性模式（大部分在第2.2节和第2.3节中讨论）中的时间变化。他们发现，根据这些预测因素构建的多空策略在高总情绪下具有低回报，并且大部分时间的变化来自组合的空头部分，这与卖空约束的解释一致。值得注意的是，这些论文中没有一篇发现价值溢价可以用总体情绪指数来预测。Ben-Rephael, Kandel & Wohl（2012）是一个例外。他们通过衡量投资者在股票和债券基金之间的再分配构建了一个总体情绪指数，并发现高情绪预测小股和成长股的低回报最为强烈。上述研究侧重于情绪的定向测量，但一些研究人员也探索了信念分散的总体测量。如果个别股票的信念分散度对某些股票的总体信念分散度波动高度敏感，而对其他股票的影响较小，或者如果某些股票比其他股票更可能受到卖空约束的影响，则会产生横截面影响。Yu（2011）从单个股票分析师的预测中构建了一个信念分散度的总体度量，并发现高分散度预测了强大的价值溢价。Hong & Sraer（2012）认为，高贝塔股票对总体信念分散的风险敞口最高。因此，风险（贝塔）和回报之间的正关系仅在信念分散度较低的时候出现。在高色散时，这种关系遵循倒U形。他们为这些预测找到了实证支持。这一理论（基于异质性信念）是对Ofrazzini & Pedersen（2013）（基于风险规避和杠杆约束的异质性）的替代，用于解释第4.5节中讨论的高贝塔股票的低平均回报。（四）有限关注
另一个不同的工作方向是研究投资者未能及时关注估值相关信息是否会导致横向回报的可预测性。Sims（2003）建议将有限的注意力作为宏观经济变量惯性的解释，Peng & Xiong（2006）和Hirshleifer, Lim & Teoh（2011）将这些想法应用于横截面资产定价模型中。Sloan（1996）和Hirshleifer等人（2004）建议将有限的注意力作为应计异常的解释：投资者似乎对不同收益组成部分的时间序列属性的异质性不够关注。一些实证研究的证据表明，投资者对相对复杂的信息关注有限。DellaVigna & Pollet（2007）表明，人口统计信息可以预测未来的行业盈利能力，但市场在整合这些信息时会降低，从而导致行业回报的可预测性。Cohen & Frazzini（2008）研究了与经济相关的风险，发现市场在回应新闻时并不完全与经济相关。按照类似的逻辑，Menzly & Ozbas（2010）发现了经济关联行业的跨行业回报可预测性。Cohen & Lou（2012）根据经验将公司分类为复杂且易于分析的公司，并发现易于分析的公司的回报预测了其更复杂同行的回报。Belo, Gala & Li（2013）记录了与政治周期相关的现金流和预期回报的可预测变化。Hou, Peng & Xiong（2009）关注投资者关注的总代理。他们认为，高交易量和上升市场表明了投资者的高度关注，他们发现，随着投资者的关注，收益动量（被解释为反应不足）减弱，而价格动量（被解释为反应过度）增强。六、抽样检验
到目前为止，我所讨论的资产定价方法在对待信念方面可能过于严格。理性预期理论假设投资者在均衡状态下行动，就好像他们知道生成数据的均衡运动的规范和参数一样。这可能是一个有用的基准，但现实世界的投资者必须了解数据生成过程。就制度改变、参数漂移和记忆丢失的程度而言，目前还不清楚最终的收敛到理性的有多快（如果有的话）。相反，情绪理论的基础是投资者有一些固定的偏见和注意力缺陷。现实世界中的投资者可能有偏见和注意力，但他们可能也没有完全不受学习的影响。如果投资者学习并适应，这将对横截面回报的可预测性产生影响（关于这一观点的阐述，见Lo 2004）。关于学习如何影响资产价格，仍有许多悬而未决的问题，而涉及这些问题的实证文献仍然很少。然而，已经取得了一些进展。这项工作的大部分采用了样本外测试方法。样本外测试可以帮助解决数据窥探问题。我在讨论了学习问题后，回顾了数据窥探问题的实证性工作。（一）学习与样本外评估
如公式42所示，交易策略的预期超额回报的幅度随着投资者了解分割过程的时间而下降。这个时间衰减可能提供一个学习的信号，我们可以在数据中寻找。时间衰减的形式通常取决于投资者正在了解的过程的具体情况，但样本外测试返回的可预测性比原始样本内测试弱的预测可能是稳健的。然而，现实世界投资者面临的学习问题可能有点不同。在贝叶斯学习模型中，代理人可以无成本地关注可能相关的任何数量的变量（在代理所接受的模型集合中）。实际上，即使是老练的投资者及其计算机算法也只能选择性地关注有限的变量集。随着时间的推移，他们可能会发现新的，并对它们的相关性形成看法。Schwartzstein（2012）提供了一个模型，将选择性注意下的这种学习形式化。在他的模型中，一个代理人只以一定的概率关注一个预测器z，这取决于代理人是否相信z是一个重要的预测器。最终，当代理人更新对z重要性的信念时，代理人将学习关注z，但学习过程可能需要很长时间。应用于横截面资产定价，选择性注意下的学习意味着，只要投资者对z关注不够，与预测因子z相关的（异常）回报可预测性就可以存在。一旦关注开始增加（例如，当一项学术研究公布了z的预测能力时），投资者很快将z纳入他们的回报预测模型，与z相关的预测性也随之显现。检查公布后可预测性的样本外测试可以揭示这类学习。几项研究已经检验了横断面收益可预测性的证据是否在样本中减弱，随后是公开的学术研究。Dimson & Marsh（1999）发现，在研究公布了英国小企业溢价后，1989年至1997年英国的小企业溢价并不明显。Schwert（2003）发现美国的规模和价值效应在1994-2002年间消失。Green, Hand & Soliman（2011）发现，应计异常在公布后已消失。相反，Jegadeesh & Titman（2001）发现，在Jegadeesh & Titman（1993）公布后的几年中，动量利润继续存在。这些分析的一个问题是样本外周期很短，因此很难区分可预测性的真正消失和偶然消失。一种可能的补救办法是同时考虑多个回报预测因子。McLean & Pontiff（2012）研究了与学术研究确定的82个特征相关的出版后回报可预测性。他们估计回报预测的平均衰减率约为35%。上述研究在样本研究中是真实的。他们使用的数据样本尚未提供给发表原始研究的研究人员。可预测性的衰减也可用伪样本外测试的情况下进行研究，其中研究者将数据样本分为一个训练样本（用于估计预测关系）和一个预测样本（用于评估预测模型的预测性能）。Haugen & Baker（1996）使用这种方法，发现了各种预测因子的大量伪样本外可预测性。Lewellen（2013）为15个预测因子的预期收益构建了一个汇总度量。使用递归扩展窗口作为训练样本，并提前一个月预测样本，他发现预测能力与样本内估计值相比衰减约20%-30%。Cooper, Gutierrez & Marcum（2005）发现，在10年的训练样本中，通过选择表现最佳的规模、B/M和动量排序投资组合的策略，样本外可预测性很小。Chordia, Subrahmanyam & Qing（2011）发现，在1976-2009年的下半年，流动性股票中，动量和收益过度相关的可预测性较弱。总的来说，证据表明，样本外的可预测性往往稍弱，但对于大多数横断面预测，即使样本外的可预测性仍然很大。衰退的程度在多大程度上与学习相一致仍然是一个悬而未决的问题。（二）数据窥探和样本外评估
真实样本外测试的可预测性较弱也可能表明原始研究中存在数据窥探问题。在样本中发现的预测因子z和未来收益之间的相关性可以反映出样本之间的相关性z和噪声之间的相关性，而不是与收益的真实可预测成分之间的相关性。如果计量经济学家进行规格搜索，寻找具有显著预测能力的预测因子，传统的统计推断程序会夸大统计显著性，因为他们没有考虑这种规格搜索。解决这个问题的一种方法是调整规范搜索的测试统计的临界值，如Lo & MacKinlay（1990）和White（2000）所建议的，但当规范搜索以非正式方式发生或通过不同研究人员的顺序调查发生时，实现这些方法可能很困难。真正的样本外测试有助于解决数据窥探问题。如果研究人员发现样本内关系恰好是预测器z和噪声之间的样本内相关性，那么没有理由在发布初始结果的研究人员无法获得的数据样本中存在预测关系。相比之下，伪样本外测试并不是数据窥探问题的解决方案，因为研究人员可以用与挖掘样本内可预测性相同的方法挖掘数据，以获得显著的伪样本外可预测性。除了上面讨论的发布后证据外，还存在多个横截面预测的真实样本外证据。Davis, Fama & French（2000）收集了新的会计数据，以构建20世纪60年代之前的B/M分类投资组合，他们发现了强劲的价值溢价。Dimson, Nagel & Quigley（2003）也做了类似的工作，将英国数据追溯到20世纪50年代，他们发现了强大的价值溢价。其他研究对来自非美国股市的数据进行了检验，并确认存在价值溢价（Fama & French 1998）、动量（Rouwenhorst 1998）、特质性波动效应（Ang等人2009）、股票发行效应（McLean, Pontiff & Watanabe 2009）、资产增值效应（Watanabe等人 2013），以及国际上各种资产类别的价值和动量效应（Asness, Moskowitz & Pedersen，2013）。相反，Leippold & Lohre（2012）发现应计异常并非股票回报的全球稳健特征。因此，除了少数例外，证据表明早期研究中发现的横截面收益可预测性不可能仅仅是数据窥探的结果。七、总结
本综述中讨论的研究对股票收益的实证性质产生了许多新的见解，可作为未来实证横截面资产定价工作的参考点：1.大量的证据已经让我们超越了Fama & French（1996）所做的研究。实证研究发现了几种稳健的横截面收益可预测性模式，它们不被规模和账面价值以及Fama-French三因子模型所包含。对于在异常收益计算中使用特设因子模型作为基准的研究人员来说，现在几乎没有实证证明可以依赖Fama-French因子，而不是一个包含其他这些横向收益可预测性来源的因子模型。2.特设因子模型是总结横断面收益可预测性的主要维度的有用工具，但它们不能用于测试基于风险的理性预期对这种可预测性的解释与情绪解释。如果不限制投资者的偏好，进而限制与投资者相关的风险，实证检验就无法区分这些相互矛盾的解释。同样的评论也适用于具有外部指定的约简形式SDF的基于生产的模型。最近关于ICAPM和采用此类限制的长期风险模型的工作，比特设因子模型文献更有希望在这个问题上取得进展。3.将基于情绪和基于风险的解释一分为二的观点，从一开始就可能是错误的。首先，在一个受情绪驱动的投资者与理性投资者交易的市场中，系统性情绪可以影响价格；然而，理性投资者的一阶条件也同样成立。因此，基于情绪和基于风险的横截面回报可预测性解释可以同时成立。ICAPM最近的实证成功是否可以这样解释，这是一个有趣的问题。第二，学习和适应理论既不属于理性预期，也不属于情绪类别。随着现实世界的投资者以与计量经济学家类似的方式从数据中学习，这些理论在横截面资产定价研究中可能值得更多关注。4.矩条件的选择对于计量经济学评估至关重要，以便为模型的性能提供信息。特别是，仅将具有时变风险价格的SDF拟合到预期回报的横截面，而不注意条件矩限制，可能会在条件矩中产生与数据严重不一致的隐含时间变化。
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