为什么要学高等数学？
Editor's Note
The following article is from 科学出版社数学教育 Author 王天泽
Part1为何学习高等数学
从既简单又朴素的角度看，学习的目的一是丰富知识，增强认识能力，二是获得方法，解决实际问题. 学习高等数学就是为了更好地服务于这两个目的．希望读者通过学习高等数学，能从追寻角度了解高等数学的渊源，从哲学角度领会高等数学的思想，从方法角度掌握高等数学的应用．
首先，高等数学是大学所有后续课程的知识基础．凡是后续课程中涉及定量问题的知识，几乎都离不开高等数学. 学好高等数学是学好其他专业课程的基础．反之，学不好高等数学，将会对后续专业课程的学习带来很大困难. 其次，高等数学将为大家提供一个锻炼和提高逻辑思维能力的舞台．掌握了高等数学的思想和方法，会极大地增强认识和思考问题的严谨性，从而提升逻辑思维方面的素质和能力．第三，高等数学能够提供一种解决问题的思想方法. 这种思想方法区别于初等数学的一个显著特征是，初等数学处理问题大多是“一事一议”，而高等数学处理问题的特点是“一种思想，一以贯之，一种方法，广泛应用”．有了高等数学，一系列初等数学不能解决的疑难问题往往迎刃而解．也正是有了高等数学，才使数学在传承人类文明和进步中的基础地位，更加毋庸置疑，使数学在现代社会中的重要作用，更加无可替代.
大部分理工科专业的学生，在大学一年级都要学习高等数学. 现在，很多文科专业也都开设了高等数学. 这是因为高等数学在培养大学生的素质和能力方面，发挥的作用越来越大，在大学知识体系中的作用越来越重要．人类社会的进步历史，与数学的广泛应用是分不开的. 现代数学已经成为科技发展的强大动力，正越来越广泛地深入渗透到社会生活的各个领域. 因此，学好高等数学对于学习、工作、生活都很重要！
Part2高等数学思想方法
高等数学特有的核心思想方法，是读者在中学有过初步了解的极限思想方法． 从概念上粗略但直观地看，极限就是某个变化状态能够无限接近但未必达到的一个尽头，或者说是一个极致界限. 因此，就概念而言，极限二字可以由中文字面含义顾名思义. 极限一词的英文表述是limit，由清代数学家李善兰翻译而来. 中文翻译与limit一词数学含义的高度匹配，令人惊叹. 所谓极限思想，就是通过分析可以无限接近某一极限状态的各种变化状态，来理解想要了解的极限状态的思想．所谓极限方法，就是利用极限思想而产生的解决问题的方法.于是，极限思想把需要了解的一种状态，与它附近的各种状态及其变化过程，有机联系在了一起．它是一种用运动变化和联系的观点看待并分析解决问题的思想，因此深化和提升了用孤立和静止的观点看待分析问题的初等数学思想．这是高等数学看待和思考问题与初等数学的本质区别，是数学发展的一场思想革命. 极限思想贯穿高等数学始终，是高等数学乃至现代数学的一个主灵魂，其本质性、重要性和核心性，是无论如何强调都不过分的. 极限概念、极限思想、极限理论和极限方法需要认真琢磨体会！
尽管没有形成系统理论，但是利用极限的思想和方法，认识思考问题和分析解决问题，我国古代早已有之. 比如，在庄周所著《庄子》一书的“天下篇”中，就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 的认识. “一尺之棰，日取其半”，是在叙述一个做法；“万世”，是在叙述无限接近永远但又不达永远的一个过程；“不竭”，是在描述认识的结果：尽管棰的长度在不断减少，但再长的时间，棰的长度也不会是其极限状态，即不会长度为0. 这种认识问题的思维明显已经是极限思维，而其描述的不竭结果，正是古人对极限问题性质的一个比较深刻的认知．再如，魏晋时期刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．割圆术用现在的话说，相当于用圆的内接正多边形的周长去近似代替圆的周长．“割之弥细”，就是让正多边形的边数不断增加；“所失弥少”，是认识到了两者误差越来越小；“以至于不可割”，是在描述达到的极限状态．“与圆周合体而无所失矣”，是在叙述其认识到的结果．因此，这是一个结合 “以直代曲” 的观点，完整地利用极限思想方法，来解决实际问题的典型例子.
在西方，公元前3世纪，古希腊的Archimedes（阿基米德)在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠的面积、旋转双曲体的体积问题时，也使用了类似于刘徽割圆术的思想．当然，阿基米德的结果更加系统完整.
Part3高等数学知识对象
高等数学的几乎全部知识都是围绕函数建立的，因此，函数是高等数学的知识对象和知识载体. 它既是高等数学中最具有基础性的核心概念，也是高等数学的核心研讨对象. 函数一词大家并不陌生．自小学至中学，大家已经学习过了很多种函数，比如指数函数、对数函数、三角函数等．函数的英文单词是function，它是在明朝末期由徐光启翻译成中文的．一般说来，当一个量由另外一个或几个变化的量通过某种联系唯一确定时，它便成为这一个或几个变化的量的函数. 基于此，在高等数学中，变化的量，即变量，就成为最具原始地位的一个概念. 一般的函数多种多样，高等数学的主要研究对象是一元或多元函数．高等数学解决问题的第一步，总是把要解决的问题归结为函数，然后利用极限研究函数的各种分析性质，进而给出问题的答案.
Part4高等数学内容体系
高等数学内容十分丰富，应用领域十分广泛. 它包含极限理论、一元及多元函数微分学、一元及多元函数积分学、级数理论、空间解析几何基础和微分方程初步等.
微积分是高等数学的核心内容．微积分定型于17世纪，完善于18和19世纪，由英国数学家Newton（牛顿）和德国数学家Leibniz（莱布尼茨）两人分别独立创立微积分. 微积分的英文单词是calculus, 中文翻译是由李善兰给出的．在后续学习中将会看到，微积分是微分和积分的统称，而微分和积分的字面含义“用微的办法分析”和“用积的办法分析”，十分确切地反映了微积分学的数学内涵. 自微积分创立之后，数学的发展一日千里，形成了内容丰富的众多分支．同时微积分的创立也极大地推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展．
牛顿 莱布尼茨
空间解析几何基础作为高等数学知识体系的一部分，是大家学习和理解多元函数微积分的基础．其作用就好像没有平面解析几何的知识背景，很难学习和掌握一元函数的微积分学一样. 微分方程作为高等数学知识体系的另一部分，是微积分学的应用和提升．其重点是介绍微分方程基础知识，讨论一些简单微分方程的解法．级数是利用极限来理解无限多个数或函数依次相加，从而把求和运算从有限推广到无限的一个重要概念．级数是表示和研究函数以及进行数值计算的一个有力工具，是极限思想把初等数学推向高等数学的一个光辉典范.
Part5如何学好高等数学
数学中每一个成熟的重要思想方法，都是经过众多前人先哲，经过深入严格论证得到并积淀定型的，一般情况下，比较难以直观感知. 要学好高等数学，必须经过大量反复练习和思考琢磨，才能固化所学知识，养成思维习惯，进而熟练运用到实际生活和工作实践中. 所以，学习数学课程，练习就显得格外重要，做作业是一种不可替代的最好的固化知识的手段和方法，是一种必须和常态．高等数学的学习也不例外，对此要有心理准备. 当然，正是因为需要下大工夫才能学好，高等数学才显得更有价值、更有意义.
网络课程，无论是微课还是慕课，都是重要的学习渠道，这是现代教育和学习的一种趋势. 学生在课余时间可以观看网络课程，把网络课程作为传统学习方式的有效补充，实现二者互补. 这样一定会提升学习兴趣，提高学习效率，加深内容理解，增强学习效果.
学好高等数学是不容易的. 大家上大学，就是要学习一些更加高深、更加有用的知识，获得更多思考问题和解决问题的办法，进而拥有更加敏捷的思维、更加突出的能力，成为社会栋梁.
让我们共同努力，学好高等数学！
（本文摘选自王天泽教授主编的《高等数学（上、下册）》，略有修改，题目为编者所加。）
作者简介
王天泽，师从陈景润院士，1991年博士毕业。博士生导师，河南省特聘教授。“百千万人才工程”国家级人选，国务院政府特殊津贴专家，国家自然科学基金会评专家。教育部高等学校优秀青年教师，河南省优秀专家，河南省黄大年式教学团队负责人。现任华北水利水电大学副校长，河南省数学会副理事长，河南省数学教学指导委员会副主任。主持完成国家自然科学基金项目7项，主持获教育部自然科学二等奖1项、教育部高校青年教师奖1项。新书 推荐
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简
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《高等数学（上、下册）》
本书为河南省“十四五”普通高等教育规划教材、河南省数学教学指导委员会推荐用书. 本书是按照新时代一流本科教育、一流专业建设、一流课程建设总体要求, 根据高等数学课程教学大纲基本要求, 适应现代教育发展趋势, 参考吸收国内外多本同类优质教材特长, 结合新时代大学生特点和作者多年教学实践及教学经验, 编写而成的. 全书共有九章, 分为上、下两册. 上册内容包括函数与极限、一元函数微分学及其应用、一元函数积分学及其应用、常微分方程初步等；下册内容包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分学及其应用、多元函数积分学及其应用、级数、数学实践和数学建模初步等. 另外, 本书还以二维码形式链接了动画、数学家小传、习题参考解答, 读者可扫码查阅.
本书可作为高等学校非数学专业学生学习高等数学课程的教材和参考书, 也可供自学者阅读学习或相关人员参考.
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