圆圆相吻
笛卡尔圆定理
在1643年写给波西米亚的伊丽莎白公主(Princess Elizabeth of Bohemia)的一封信中,勒奈•笛卡尔(René Descartes)描述了如下图所示的四个互切圆半径之间的一种优美关系,这个关系现以笛卡尔圆定理为名。
利用圆的曲率(即圆半径的倒数),我们能最简洁地表达笛卡尔圆定理:将第个圆的曲率记为,则有
笛卡尔的关系也适用于如下图所示的其他一些看似有点例外的配置。在左下图,直线的曲率被认为是零,而右下图中的外圆曲率被看成是负的。按照这些约定,笛卡尔的关系仍然有效。
这个定理已数次被独立发现。例如,在18世纪的日本它就被知道。曾因发现同位素而获得1921年诺贝尔奖的化学家弗雷德里克•索迪(Frederick Soddy),也发现了它的一个证明。他对该定理如此满意,以至于将它以一首诗的形式发表出来,诗名为《精确之吻》(The Kiss Precise)。它的开头是这样的:
双唇相交之际, 或许无关三角。四圆互吻却不然, 每个都吻另三个。
在诗歌的第三节,索迪描述了关于五个互切球面的一个类似结果:它们的曲率平方和等于曲率之和平方的三分之一,即
下一年,托洛尔德•戈塞特(Thorold Gosset)添加了诗歌的第四节,描述个彼此互切的-维球面曲率之间的关系,即
交换笛卡尔配置
这两个新圆曲率之间的关系可以由笛卡尔圆定理来确定。我们将原有三个圆的曲率分别记为、和,将一个笛卡尔配置中的第四个圆的曲率记为,则有
特别地,这给了我们一种产生新的笛卡尔配置的简易方法:从某一个配置开始,我们可以删除这些圆其中的一个,它的曲率称为,然后用一个曲率为的新圆取代它。
为了用例子说明之,我们从左下图所示的笛卡尔配置开始,其中四个圆的曲率是,而曲率为的那个圆将被取代。新圆的曲率是,所得到的配置由右下图所示。
这个例子说明了另一个十分显著的事实,它也曾经被索迪注意到:由于这个关系,如果原配置中四个圆的曲率均为整数,则新的配置中圆的曲率也为整数。
被交换的两个圆的曲率只是简单相关,而这些圆本身也通过圆的反演而简单地相关。为了描述这一过程,让我们以一个圆心为的圆开始。在这个圆上反演就像在一条直线上反射:我们将点送到点,使得三点、及共线,并且两距离和的乘积等于圆半径的平方。
记住我们将直线视为曲率为零的圆,我们就可以说,圆的反演将一个圆转变成另一个圆。然而,反演不保持欧几里得的距离概念,所以圆的反演图像及其半径与之前的通常并不相同。请注意,在同一个圆中反演两次,则将每一个点变回到其原始位置。
现在设想我们有一个笛卡尔配置,并希望在该配置上执行一次交换。如果我们将注意力集中在不变的三个圆(下图中的黑色圆圈)上,就可以通过三个切点画一个圆,即下图中的蓝色圆圈。这个蓝色圆圈中的反演将三个黑色圆圈各自变成自己,但把原始笛卡尔配置中的第四个圆(图中的红色圆圈)和新配置中的第四个圆(图中的另一个红色圆圈)交换。这给出了交换操作的几何实现。在下图中,蓝色圆圈中的反演将两个红色圆圈互换。
阿波罗尼奥斯圈填料(Apollonian circle packings)
我们现在有一种方法可以产生大量的笛卡尔配置。特别地,给定笛卡尔配置,我们可以用上述方法替换配置内的四个圆中的任何一个。这导致了四个新的圆圈和四个新的配置。
当然,我们无疑可以重复这个过程。我们有四个新配置,可以对每个配置执行三次交换(第四次交换将会使我们返回到原始配置)。
然后再次:
再来一次:
这被称为阿波罗尼奥斯填料,以纪念阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga,约公元前262-前190年),他有时也被称为“伟大的几何学家”。阿波罗尼奥斯也许最有名的是他的专著《圆锥曲线》,它研究了由平面与圆锥相交所得到的椭圆、抛物线和双曲线。除此之外,他还撰写了《相切》一书。虽然这本书早已失传,但据说它求解满足各种给定相切条件的圆的构造问题。
如果我们跟踪阿波罗尼奥斯填料中的曲率,我们就会看到下面的数值,其中外圆的曲率为。
从其他的配置出发,就会导致如下的阿波罗尼奥斯填料:
这最后四个填料显然具有对称性:以一条水平线反射填料会使它保持不变。如果我们将对称性的概念扩大到包括圆的反演,那么这种对称性只是冰山一角。前面我们看到,将一个配置换成另一种配置可以通过圆的反演来实现。不过,稍加思考,你就会相信这些反演是整个配置的对称性。例如,如果我们在下面所示的蓝色圆圈中反演,该配置将被转为自身。
事实上,这样的对称有很多种,每一种都对应于一个配置和另一个配置之间的交换。例如,下面所示蓝色圆圈中的反演具有将填料从内向外翻转的效果。
强整数阿波罗尼奥斯填料
罗纳德•格雷厄姆(Ronald Graham)、杰弗里•拉格里亚斯(Jeffrey Lagarias)、科林•马洛斯(Colin Mallows)、艾伦•威尔克斯(Allan Wilks)和凯瑟琳•严(Catherine Yan)的最新研究,证明了更多的事实。首先,如果我们将圆心视为复数,则笛卡尔圆定理具有拉格里亚斯、马洛斯和威尔克斯所发现的显著推广:
也就是说,如果我们用曲率乘以圆心来代替曲率,笛卡尔圆定理中的关系仍然成立。与以前一样,我们看到在配置上执行基本交换操作时,
这种关系尤其简化了绘制阿波罗尼奥斯填料的过程——一旦我们绘制了初始笛卡尔配置,就可以从笛卡尔的原始关系中容易地找到后续圆的曲率,而从其扩展关系中找到圆心。这比通过如上所述的反演找到新的圆要简单得多。
还可以得出结论:如果在一个配置中每个圆的曲率乘以圆心的坐标都是整数,则它们将在新的配置中,因此填料中的其他配置也是如此。如果一个填料中每个圆的曲率乘以圆心都有整数坐标,则称之为强整数的。
格雷厄姆等人已经证明:
如果我们有一个整数填料,则有一个欧几里得运动(如反射、旋转或平移)将其变为一个强整数填料。
因此,我们可以假设曲率乘以每个圆的圆心都有整数坐标。特别地,所有的圆心具有有理数坐标。
枚举整数填料
本文在2006年三月发表于http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarckissing.
作者简介:David Austin 1989年博士毕业于犹他大学,1990-1999年间任教于不列颠哥伦比亚大学,从1999年至今任教于大峡谷州立大学数学系。
译者简介:丁玖,南密西西比大学数学系教授,本刊编委。
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