教学研讨｜2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时（2019版新教材）

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研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到部分教师未有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1.内容

一元二次不等式的定义、解法，二次函数与一元二次方程、不等式的联系.

2.内容解析

函数、方程和不等式都是中学数学中非常重要的内容，用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.用二次函数函数观点看一元二次方程、一元二次不等式，可以让学生在初中的相关内容的基础上，进一步理解函数、方程与不等式之间的联系，逐步形成用函数统领方程和不等式的意识，进而体会数学的整体性.

从函数的观点来看一元二次方程，当二次函数值为0时就得到一个一元二次方程，解方程就是求“自变量为何值时，函数值为0”.如果二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有交点，从函数的角度来看，交点的横坐标就是函数的零点，从方程的角度来看，交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根.同时，函数图象与x轴的交点又将x轴分成几部分，每一部分（不含交点）对应的函数图象都在x轴同侧，也就是函数值都为正或者都为负，即ax²+bx+c>0或者ax²+bx+c<0.  因此，从函数的观点看一元二次不等式，当二次函数值大于0（或者小于0）就得到一个一元二次不等式，不等式的解集就是使得函数值大于0（或者小于0）的自变量x的取值范围.因此，可以利用二次函数的图象来判断一元二次方程根的存在性和根的个数，以及求解一元二次不等式.

借助二次函数的图象研究一元二次方程与一元二次不等式，使研究方程和不等式的方法更具一般性和代表性.因此，从函数的角度来研究方程和不等式，体现数学的整体性，凸显函数的重要地位，其中涉及的数形结合、函数思想等都是数学中重要的思想方法.

基于以上分析，得到本节课的教学重点：用二次函数的观点统一认识一元二次方程和一元二次不等式，根据三者的联系，利用数形结合推导出求解一元二次不等式的方法.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义；

（2）借助二次函数的图象，探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性；

（3）对于给定的一元二次不等式，能够借助二次函数，准确求解一元二次不等式，提升数学运算素养.

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，能说出一元二次不等式的定义.

（2）能类比“一次函数与一次方程、一次不等式”的研究经验，得到二次函数与一元二次方程、不等式的关系，体会运动变化、特殊与一般，以及数形结合等数学思想方法，体会数学的整体性.

（3）能通过具体实例的归纳与概括得到用函数方法求一元二次不等式解集的基本过程.

三、教学问题诊断分析

本节用二次函数的观点看一元二次方程、不等式，需要借助二次函数图象，数形结合地理解二次函数与一元二次方程、不等式的联系。本设计从联系的角度看待所学知识，因此是学生学习的一个难点.此外，对于解一元二次不等式，学生会借助解方程的经验，有意识地进行降次，将解一元二次不等式问题转化为解一元一次不等式（组）问题.因此学生对于利用二次函数来解一元二次不等式，会产生疑问.

本单元的教学难点是建立二次函数与一元二次不等式的联系.

四、教学重点、难点

重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；

难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用.

五、数学学科素养

1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；

2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；

3.数学运算：解一元二次不等式；

4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；

5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

六、教学过程：见后面《研讨素材二》的课件

研讨素材二






研讨素材三

3.2  一元二次不等式及其解法

四、教材习题答案

    根据文末留言的要求，考虑到初三上高一学生预习的需要，这里提供教材的练习、习题及复习参考题等等习题答案，可能有错漏，仅供各位学生朋友参考。

END

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文

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