比翱工程实验室丨虚拟单元法在控制复杂多孔弹性介质的声传播中的应用

研究团队开发了一种新颖的虚拟单元法（VEM：Virtual Element Method）来解决控制波在多孔介质中传播的混合Biot（比翱）位移 - 压力公式。在此设置中，使用隐式定义的标准基函数对控制方程的弱形式进行离散，并使用适当的多项式投影计算得到的积分形式。提出了考虑问题的固体、流体和耦合阶段的投影算子。考虑了不同的边界条件、界面条件和激励条件。通过一组示例验证了该方法的收敛性、准确性和效率。提出了一种节点插入策略来解决多层系统中自然出现的不协调接口问题。最后，利用VEM的功能来检验具有复杂几何形状的周期性和非周期性夹杂物的复合材料的声学响应。

 
此项研究成果“Virtual elements for sound propagation in complex poroelastic media”已由英国诺丁汉大学工程学院结构工程和信息学中心Abhilash Sreekumar、希腊雅典国立技术大学土木工程学院结构工程与抗震研究所Savvas P. Triantafyllou、法国Matelys实验室Fabien Chevillotte等近期发表在《Computational Mechanics》期刊上，https://doi.org/10.1007/s00466-021-02078-2介绍多孔材料广泛应用于航空航天、汽车和建筑行业，以改善结构和非结构部件的振动声隔离和传输性能，例如[1,2,3]。在过去10年中，增材制造技术的不断增长和根本性转变进一步促进了材料布局的发展，这些布局是根据特定的声学特性量身定制的；这些几何图形通常为多边形和镶嵌几何图形，例如[4,5]。两相多孔介质的振动声学行为分别通过固体骨架和孔隙流体表现出的结构和粘惯性热现象来描述。经典的亥姆霍兹理论[6]可用于描述非常坚硬材料的行为，其中，在刚性静止骨架假设下，可以安全地忽略实心骨架的弹性行为[7]。在这种情况下，等效流体描述[8]提供了介质声学行为的完整特征。然而，由于无法通过亥姆霍兹方程捕捉到的弹性效应，出现了某些共振行为。在这种情况下，刚性骨架假设失败，需要Biot（比翱）公式来描述弹性波在多孔弹性介质中的传播[9,10]。 Biot u − U公式，其中主要变量是固体骨架和孔隙流体位移，即u和U，在2-D和3-D情况下，每个节点需要4和6个自由度（DoF），[11]中开发了另一种混合u-p公式，其中主要场变量是固体骨架位移u和孔隙流体压力p。在这种情况下，在2-D和3-D情况下，每个节点分别需要3个和4个DoF。在解决大规模域时，这种DoF数量的减少证明是显著的。然而，这个公式需要对原始Biot参数进行修改。此限制在[12]中得到解决，其中损耗参数与公式的其余部分分离。这些损耗参数是通过分析、经验和半现象学模型计算的[13]，而这些模型又取决于宏观力学、声学、热和几何特性。通过实验或小尺度建模方法对这些特性进行表征[14,15]是一项具有挑战性的任务，因此，并非所有参数总是随时可用。在这里，可以根据所需的精度和可用的宏观参数数量插入选定的损耗模型，例如六参数模型 - Johnson、Champoux、Allard、Lafarge（JCAL）模型[16,17,18]，或简易参数模型- Delany-Bazley-Miki（DBM）[19]。使用经典有限元技术求解上述方程涉及使用四边形或三角形单元对域进行网格划分。使用这些单元来解决复杂形状的中尺度异质形态需要精细的分辨率，从而使问题变得昂贵。最佳网格离散化将有助于提高该方法的效率。这激发了对可以处理灵活单元几何形状的数值技术的研究。多边形有限元PFEM[20,21,22]被广泛用于遇到复杂界面和夹杂几何形状的应用中，例如拓扑和形状优化[23,24]、断裂和损伤建模[25] ,26,27]、接触力学[28]和流固耦合问题[29]。在任意多边形域上定义形状函数是一个活跃的研究领域，涵盖了大量方法。这些包括Wachspress[30,31]、自然邻居[32,33]、平均值坐标[34,35]和最大熵[36,37]形状函数。这些多边形形状函数的详细汇总整理在[38]。该方法涉及使用特殊数值方案[39]或子三角域上的标准正交规则处理这些典型的非多项式函数。由于复杂非多项式函数的数值积分产生的误差，观察到次优收敛速度。采用更高的正交规则来最小化此误差会显著增加计算成本，尤其是在需要迭代解决方案的问题中，例如频谱问题、时域分析、拓扑优化等。Virtual Element Method（VEM）[40,41,42, 43,44,45,46]是一种相对较新的技术，引入计算力学领域以专门解决这些缺点。VEM通过完全避免显式定义来避免在非标准单元几何结构上创建多边形基函数的问题。通过允许潜在的非多项式表达式来丰富试验和测试函数空间，这些表达式通过单元域上精确选择的自由度隐式定义。这些隐式定义解决了数值或解析计算多边形基函数的问题。广义单元间一致性和连续性要求[47]通过保持单元边界上的多项式精度[40]来强制执行弯曲几何的扩展是一个新的发展[48,49,50]。这种方法被广泛应用于断裂力学[51,52,53]、结构建模[54,55,56]、拓扑和形状优化[24]，不同的弹性问题[57,58,59,60,61]，接触和微力学[62,63]，复合材料[64]，固体或流体中的声音传播，即非耦合域[65,66]和最近的电磁机械耦合[67]。VE已在[68]中用于处理用于储层建模的固体域，还考虑了使用组合离散单元 - 虚拟单元方法的裂缝扩展[69]的情况。关于流体域，[70,71]中使用VEM解决了Darcy和Brinkman流的情况。自然地，过去几年出现了混合VEM公式来解决椭圆问题[42,72,73]。这为多孔力学中的扩展应用铺平了道路，例如混合有限体积离散化[74]和Biot固结方程的三个场公式[75,76]。最近，与混溶流体有关的多相问题已在[77]中得到处理。考虑到在准静态载荷条件下弹性域中达西流的情况，已经为[78]中的类似应用开发了混合MFD-VEM。除了目前最先进的技术，在这项工作中，我们利用了VEM的力量，相对于其解决复杂几何体的能力，并考虑到固体-流体耦合产生的所有相关惯性和粘性项，研究波在多孔弹性域中传播的情况；这是文献中尚未探讨的一个方向。在此背景下，推导出了一种新的VEM形式来解析在多孔弹性域中传播的波。为此，引入了Biot控制方程的弱形式并定义了适当的虚拟空间。接下来，导出与完全耦合的振动声学设置相关的VEM投影算子的展开系数。最后，我们介绍了VEM公式的所得弹性、质量、流体动力学、流体可压缩性以及耦合一致性和稳定性项的适当定义。通过一组基准，我们研究了该方案在求解精度和计算效率方面的优点和潜在瓶颈。进一步，我们研究了节点插入方案的优点，以处理分层多孔材料中出现的不合格网格问题。我们进一步研究了该方法在解析包含曲折夹杂物的复合材料中的声波的适用性。 图文快览 表1：Biot（比翱）u − p公式中使用的材料参数 
图1：受到声学和机械激励的多孔弹性域 结束语提出了一种新的VEM离散化方法，用于研究流体、弹性和多孔弹性材料在频域中的振动声学行为。该方法的新颖之处在于利用VEM的灵活网格划分能力，以降低计算成本并准确捕捉复杂界面。隐式定义的基函数用于通过使用适当定义的特定投影算子来评估基本状态矩阵。方程的最终矩阵形式是非线性的ω，并在所需频谱上重复求解。解决方案经过后处理以获得SAC和STL等声学指标。 在例6.1中，该方法对不同的单元类型表现出接近最佳的收敛速度。这说明VEM可以准确地处理不同频率下的通用网格配置。此外，通过与FEM的比较讨论并证明了所获得的计算增益。该方法处理不同类型材料（流体、弹性、多孔弹性）和得到的界面耦合条件在例6.2中提供。本节还表明，VEM可用于使用适当的节点插入算法轻松解决不符合要求的界面。在这种情况下，探讨了两种不同稳定参数选择的准确性；尽管差异可以忽略不计，但非各向同性稳定程序似乎在更高的频谱上提供了更好的解决方案。并在每种情况下针对传递矩阵法（TMM）验证了该方法的准确性。 示例6.3涉及曲折的刚性多孔复合材料，并表明VEM可用于研究定义不完善的界面的影响。例6.4说明了VEM在处理相当大的频率带宽上的复杂周期性和非周期性中尺度包裹体方面的能力。示例6.3和6.4显示了使用VEM作为研究多孔复合材料吸收行为的模拟工具的潜力，与示例6.2中所示的更经典的多层系统形成对比。该方法目前仅限于二维域。将该方法推广到三维多面体或二维轴对称离散化的工作目前正在进行中。参考文献1. J. Tychsen, J. R¨osler, Production andcharacterization of porous materials with customized acoustic and mechanical properties,in: Fundamentals of High Lift for Future Civil Aircraft, Springer, 2020, pp.497–512.2. K. 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