dx,dy是什么？

这个问题让我们从曲线的微分开始说起。

1 曲线的微分

比如，有曲线  :

给出  的曲线段:

要找到一个直线段来近似这个曲线段，也就是找到这个曲线段的微分：

此微分的特点是，当  时，越来越逼近曲线段：

2 切线

这个微分其实就是切线。

2.1 最初印象

初学几何的时候，切线是这么定义的：

比如这就是圆、椭圆的切线：

但是这个定义推广到所有曲线上是不成立的：

2.2 割线的极限

我们需要用极限来定义切线。比如说，要求曲线  在  点的切线：

在  附近找一点  ，过两点作直线  ，这根直线也称为割线：

然后寻找  与  之间的点  ，作出割线  ：

以此类推，找到点  ，作出割线：

把这些割线组成数列：

它的极限  就是切线：

3 导数

刚才只是给出了切线的定义，但是还是不能把切线求出来。下面来看看怎么求。

3.1 斜率

要求  点的切线，知道了  点坐标为  ，以及切线的斜率：

其中  ，根据直线的点斜式，可求得切线函数 ：

就可以得到切线的函数。

3.2 导数

容易有以下推论：

所以来看看割线的斜率怎么求吧。假设要求  点的切线的斜率，随便在附近找一点  作割线：

可以看到当  的时候（这也表明了切线是割线的极限），两者斜率不断逼近：

先把割线的斜率  算出来，假设  ：

因此：

根据刚才的分析可知：

这个极限就被称为 导数 。

如果，不光在  点可以作出切线，也就是不光在  点可导，而是在某个开区间  内都可导，这就是 导函数 ：

不少教科书、文档会出现如下的符号，这里也一并引入：

定义  ，称之为 D算子 ，导函数可以用之表示为：

有时候写作  ，表明对自变量  求导。

算子，英文为“operator”，操作的意思。

算子和函数还是很接近的，只是有以下区别：

在这里，  算子完成了如下函数之间的映射：

4 切线函数与微分函数

好了，咱们有了导数，可以来求切线函数以及微分函数了。

4.1 切线函数

就切线而言，知道要经过  ，也知道斜率是导数  ，可以用直线的点斜式得到切线函数：

4.2 微分函数

虽然之前一直说切线就是微分，但是微分函数和切线函数有所不同，因为它们在不同的坐标系。让我们一步步来，把这个关键点说清楚。

首先令  ，切线函数就变为了：

然后在以  点为原点建立直角坐标系（姑且称为微分坐标系吧）：

以  点为原点建立的微分坐标系中有，  。这样在微分坐标系中切线方程就很简单了：

经过一系列操作终于得到了微分函数：

数学上把一系列操作用一个符号  来表示，也可称为 d算子 ：

微分  算子完成了下列的函数映射：

所以微分函数也写作：

表示把原函数  通过  操作变为了微分函数  ，这样也区别了微分函数和  坐标系的不同。

 ，因为  是变量，所以  实际上表示的是整个  轴：

因为  代表  轴这根直线，而直线的微分，根据以直代曲的思想，其实就是自己，所以：

因此，这就是微分的代数形式：

切线函数和微分函数的区别在于，前者在  坐标系下，后者在  坐标系下：

因为微分的代数形式如上，所以导数也可以记作：

所以导数也称为“微商”，即微分与微分的商。

4.3 微分的自变量、因变量

本节一直都在说，微分是函数：

那么它的自变量是什么，因变量是什么？

微分函数在  坐标系下，令  ，换元之后就回到了  坐标系：

可见，自变量是  ，因变量是  。

如果不光是求  点的微分，就像导函数一样，求某个开区间的微分，那么微分函数是二元函数：

4.4 微分是线性函数

虽然两者都是直线，但因为所在坐标系不同，所以切线函数和微分函数有一个重大的区别：

这个区别说明：

根据微分是线性函数这点，我们可以很方便地运用线性代数的知识来求解法线函数。

4.5 法线函数

在切点与切线垂直的直线就是法线：

放在  坐标系中，随便找到切线方向、法线方向两个向量：

即（t代表tangent，n代表normal，分别是英文的切线和法线）：

根据线性代数的知识，知道两个正交向量点积为0，因此：

所以：

知道法线斜率，并且知道过  ，就可以求出  坐标系下的法线函数：

线性代数的相关知识对理解微积分很有好处，因为微积分的本质是“线性逼近，以直代曲”。

往期经典链接：