北师大版八上数学1.3. 勾股定理的应用 知识精讲

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1.3. 勾股定理的应用

1、定理内容：

文字形式：直角三角形的两直角边的平方和，等于斜边的平方。

几何形式：如果直角三角形的直角边分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么

a²＋b²＝c²

2、相关知识链接：

直角三角形

1）我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦；

2）汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦；

3）国外称之为毕达哥拉斯定理；

4）也有人称勾股定理为千古第一定理。

3、勾股定理的作用：

1）已知直角三角形的两边长，求第三边长；

2）知道一边长时，能够确定直角三角形的其余两个边长之间的关系；

3）在证明含平方问题时，有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题。

4、勾股定理的各种表达式

    在中，，A、B、C的对边分别为a、b、c，则，，，，，。

5、定理证明及典型例题：

例1、已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a²＋b²＝c²。

证明方法一：取四个与Ｒｔ△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。

如图，正方形ABCD的面积 ＝ 4个直角三角形的面积 ＋ 正方形PQRS的面积

∴ ( a ＋ b )² ＝ 1/2 ab × 4 ＋ c²

a² ＋ 2ab ＋ b² ＝ 2ab ＋ c²

故 a² ＋ b² ＝c²

证明方法二：

图1中，甲的面积 ＝ (大正方形面积) － ( 4个直角三角形面积)。

图2中，乙和丙的面积和＝(大正方形面积)－( 4个直角三角形面积)。

因为图1和图2的面积相等，

所以甲的面积＝乙的面积＋丙的面积

即：c² ＝ a² ＋ b² 

证明方法三：

四个直角三角形的面积和 ＋小正方形的面积 ＝大正方形的面积，

2ab ＋ ( a －b ) ² ＝ c²，

2ab ＋ a² － 2ab ＋ b² ＝ c²

故 a² ＋ b²＝c² 

证明方法四：

梯形面积 ＝ 三个直角三角形的面积和

1/2 × ( a ＋ b ) × ( a ＋ b ) ＝ 2 × 1/2 × a × b ＋ 1/2 × c × c

(a ＋ b )² ＝ 2ab ＋ c²

a ² ＋ 2ab ＋ b² ＝ 2ab ＋ c²

故 a² ＋ b²＝c²

例2、在Rt△ABC，∠C＝90°

⑴已知a＝b＝5，求c。

⑵已知a＝1，c＝2， 求b。

⑶已知c＝17，b＝8， 求a。

⑷已知a：b＝1：2，c＝5， 求a。

⑸已知b＝15，∠A＝30°，求a，c。

分析：⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

解：由a² ＋ b²＝c²得，

（1）c²＝ 5² ＋ 5²＝50，   即：c＝；

（2）1² ＋ b²＝2²，b²＝3，即：b＝；

（3）a² ＋ 8²＝17² ，a²＝225，即：a＝15；

（4）由a：b＝1：2得，b＝2a，

则：a² ＋ (2a)²＝5²

即：a＝；

（5）由∠A＝30°得，c＝2a，

则：a² ＋15²＝(2a)² ，

解得：a＝，c＝2。

例3、已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。⑴求等边△ABC的边AB上的高CD。⑵求S△ABC。

分析：等边三角形的每边上的高、中线和该边所对的角的角平分线，三线合一。

解：（1）∵△ABC 是等边三角形

CD⊥AB

∴CD平分AB

∵△ABC的边长是6cm

∴AD＝BD＝AB＝3 cm

在直角三角形ACD中，

AD²＋CD²＝AC²

3²＋CD²＝6²

CD＝

（2）S_△ABC＝AB·CD＝×6×＝3 （cm²）

例4、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如图，图中△ABC的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000，米欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB＝5000米，AC＝4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。

解：由勾股定理得

即 BC＝3千米

飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：

（千米／时）

答：飞机每小时飞行 540千米。

例5、如图在中，，，的平分线AD交BC于D，求证：。

证明：，

平分

在中

例6、如图，在中，于D，求CD的长。

解：是直角三角形

，由勾股定理有

又

答：CD的长是24cm。

例7、在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

分析：如图所示，其中一只猴子从共30m，另一只猴子从也共走了30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。

解：如图，设，由题意知

中，，解之得

答：这棵树高15m。

沟通几何与代数的一个重要桥梁，它的应用十分广泛.现举几例，供同学们赏析.

一、勾股定理在网格中的应用

例1已知正方形的边长为1，(1)如图a，可以计算出正方形的对角线长为根号2.

①分别求出图(b)，(c)，(d)中对角线的长＿.

②九个小正方形排成一排，对角线的长度

(用含n的式子表示)为＿.

分析：借助于网格，构造直角三角形，直接利用勾股定理.

二、勾般定理在最短距离中的应用

例2 如图，已知C是SB的中点，圆锥的母线长为10cm，侧面展开图是一个半圆，A处有一只蜗牛想吃到C处的食物，它只能沿圆锥曲面爬行.请你求出蜗牛爬行的最短路程.

分析 在求解几何图形两点间最短距离的问题时，将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，展开过程中必须要弄清楚所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中的相应位置.

点评在求立体几何图形的问题时，一般是通过平面展开图，将其转化成平面图形间题，然后求解.

三、勾股定理在生活中的应用

例3 如图，学校有一块长方形花园，有较少数同学为了避开拐角走“捷径”，在校园内走出了一条“路”.请同学们算一算，其实这些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草.(假设1步为0.5m)

点评：走“捷径”问题为出发点是常遇到情况，在考查勾股定理的同时，融入了环保教育:少走几步路，就可以留下一片期待的绿色.

四、勾股定理在实际生活中的应用

例4 小华想知道自家门前小河的宽度，于是按以下办法测出了如下数据:小华在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°，小华沿河岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小华计算小河的宽度.

点评：此题考查直角三角形的应用，解答本题的关键在于画出示意图，将问题转化为解直角三角形的问题.

直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放着的三个正方形面积分别是1,2,3

正放着的四个正方形的面积依次是S[1],S[2]，S[3]，S[4]，则S[1]+S[2]+S[3]+S[4]=                  

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足分别为E，F。

（1）如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，求证：BE+CF=EF.

(2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，BE，CF，EF之间有什么样的数量关系？

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