北师大版九上数学1.2 矩形的性质与判定 知识点精讲

扫码查看下载 全部资源

知识点总结

矩形的性质及判定

一、矩形:

是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

二、矩形的性质：

1．矩形的4个内角都是直角；

2．矩形的对角线相等且互相平分；

3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；

4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。

5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质

6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

三、矩形的判定：

①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 

②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 

③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 

④对角线互相平分且相等的四边形是矩形

矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。

四、黄金矩形:

宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。

黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。

矩形的性质与判定

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）

※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都是直角的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

1

知识链接

1. 矩形的四个角都是直角。

2. 矩形的对角线相等。

2

典例分析

如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AD=4,∠AOD=60°,求AB的长。

【分析】

先证明OA=OD，于是可证明△AOD为等边三角形，求出DO，进而求出BD，根据勾股定理求得AB的长．

【解答】

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=1/2AC，OD=1/2BD,

∴OA=OD

∵∠AOD=60°

∴△AOD为等边三角形

∴DO=AD=4

∴BD=8

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，△DAB为直角三角形，

∴AB²=BD²-AD²=8²-4²=48

∴AB=。

3

拓展提升

如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为           。

【分析】

分析题意，知道P、Q分别为AO、AD的中点，则可知PQ是△AOD的中位线；结合中位线的性质可知PQ=1/2OD，故只要求出OD的长即可；已知矩形的一条对角线长，则可得出BD的长，进而得出OD的长，至此问题便可得解.

【解答】

∵四边形ABCD是矩形，

∴BD=AC=10，

∴OD=5.

∵P，Q是AO、AD的中点，

∴PQ是△AOD的中位线，

∴PQ=1/2OD=2.5。

4

习题训练

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB，∠OAD=25°，则∠ODC=       .

1

   知识链接    

1.直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。

2.矩形的对边相等。

3.矩形的对角线互相平分。

2

   典例分析    

如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是(      )

A. 21     B. 18     C. 13     D. 15

【分析】

根据“BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点”得到FM=EM=1/2BC，所以△EFM的周长便不难求出。

【解答】

∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，

∴在Rt△BCE中,EM=1/2BC=4，

在Rt△BCF中,FM=1/2BC=4，

∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13.

故选C.

3

   拓展提升    

如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=6,AD=8,则四边形ABOM的周长是()

A. 14      B. 19     C. 18     D. 16

【分析】

根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM即可解决问。

【解答】

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=8,AB=CD=6,∠ABC=90∘，

∴AC²=AB²+BC²=100                      

∴AC=10,

∵AO=OC，

∴BO=1/2AC=5，

∵M为AD的中点，

∴AM=1/2AD=4

∵M为AD中点，O为AC中点，

∴OM为△ACD中点，

∴OM=1/2CD=3，

∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=18.

故选：C.

4

   习题训练    

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，若∠C=55°，则∠ABD=    。

习题精析

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于一点O，OF⊥AD，AE⊥BD，且BE：ED=1：3．若AC=2cm，则OF=   cm，AE=   cm．

解析：

试题分析：

根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OD，然后求出BE=OE，从而判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ABO=60°，再求出∠ADB=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OD=2OF，再根据BD=AC=2DO即可得解．

试题解析：

在矩形ABCD中，OB=OD，
∵BE：ED=1：3，
∴BE=OE，
∵AE⊥BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠ADB=90°-60°=30°，
∵OF⊥AD，

∵OA=OD，OF⊥AD，
∴AF=DF，

知识归纳

图文导学

图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删

点击阅读原文下载全册PPT课件动画教案习题整套资料