国家坐标系与城市坐标系转换方法的探讨

来源：《测绘科学》

作者：雷伟伟, 姜斌　

【摘　要】国家坐标系与城市坐标系之间的坐标转换是测绘实际作业过程经常遇到的一个技术难题, 本文利用一个实例对相似转换法和多项式逼近法进行了比较研究, 结果表明: 对于大中型城市(大约方圆100公里左右) , 多项式逼近法的转换结果要优于相似转换法。

【关键词】坐标转换; 相似转换; 多项式逼近

1　引言

在测绘作业过程中, 经常需要将国家坐标系与城市坐标系之间的坐标进行相互转换, 以满足实际作业的需求。虽然我们国家法定采用统一的国家坐标系, 但是出于实际应用的考虑, 许多城市都建立了各自独立的城市坐标系统[1], 如何将两类坐标系统有机的统一起来, 如何在二者之间进行相互转换, 是一个十分实用的研究课题。

2　国家坐标系与城市坐标系的关系

在大地测量中, 通过大地主题解算得到的基于参考椭球面的大地坐标(B, L ) 对于实际测量作业是不实用的,需通过地图投影转化为实用的平面直角坐标( x, y) 。我国的国家坐标系是将参考椭球面上的大地坐标通过3°分带或6°分带的高斯2克吕格投影而得来的, 中央子午线投影后为纵轴, 赤道投影后为横轴, 形成高斯平面直角坐标系统[2]。我们国家现在普遍使用的北京54坐标系和西安80坐标系就是由此得来的, 前者的椭球基准为克拉索夫斯基椭球, 后者为IUGG21975椭球。根据高斯2克吕格投影规律, 中央子午线投影后长度不变且为对称轴, 离开中央子午线越远, 长度的投影变形就越大。

在城市范围内布设控制网时, 常常考虑不仅要满足大比例尺测图的需要, 还要满足一般工程放样的需要, 通常情况下要求控制网由平面直角坐标反算的长度与实测的长度尽可能的相符, 而国家坐标系的坐标成果则往往无法满足这些要求, 这是因为国家坐标系每个投影带都是按照一定的间隔划分, 由西向东有规律的分布, 其中央子午线不可能恰好落在每个城市的中央, 为了减小长度投影变形所产生的影响, 使由控制点的平面直角坐标反算出来的长度在实际利用时不需要做任何改正, 方便测绘实际作业, 根据《城市测量规范》的要求, 需要建立有别与国家统一坐标系统的城市坐标系统。

城市坐标系统就实质而言是大家所熟知的地方独立坐标系统[3~5], 其类型主要有以下三类:

1) 抵偿坐标系, 它采用国家统一的分带高斯投影, 其中央子午线与国家坐标系一致, 但是长度的高程归算面不再是国家坐标系的参考椭球面, 而是依据高斯投影长度变形而选择的一个抵偿投影面。

2) 任意带坐标系, 其中央子午线不再与国家坐标系保持一致, 而是根据实际情况选择一条经线作为中央子午线,长度的高程归算面仍为国家参考椭球面。

3) 投影于抵偿高程面的任意带坐标系, 其中央子午线以及长度的高程归算面均与国家坐标系不同。这种坐标系将抵偿系和任意带二者的优点结合起来, 以期获得在较大区域内长度投影变形仍能满足规范要求, 适应现代城市规模不断扩大、城市面积不断扩张的需求。

在测量实际作业中, 常常需要在国家坐标系与城市坐标系之间进行坐标转换。

3　国家坐标系与城市坐标系的转换方法

国家坐标系与城市坐标系就表现形式而言均为平面直角坐标系统, 因此二者的转换可以采用平面坐标系的转换方法进行。

3、1　相似转换法

两个平面直角坐标系之间的相似转换一般都包含四个原始转换参数, 即两个平移参数(Δx, Δy ) , 一个旋转参数α和一个尺度参数m。最常见的转换过程有两个^[6]: 先旋转、再平移、最后统一尺度; 先平移、再旋转、最后统　一尺度。转换过程不同, 求得的四个转换参数也不相同,但是它们最终的转换结果都是一致的, 故而我们可以按第一种转换途径讨论, 其数学模型如下:

对于(3) 式而言, 它是一个线性方程, 求解非常方便。只要已知两个或者两个以上的重合点, 就可以利用经典最小二乘法求出参数a、b、c、d 及其协因数阵Q_aQ_bQ_cQ_d、如果只是为了进行两个平面坐标系统之间的转换, 那么就可以直接利用(3) 式进行坐标转换, 而不需要求得四个原始的转换参数。

当需要求知四个原始转换参数时, 我们可以根据a、b、c、d、四个组合参数的组合式(2) 很容易得到:

3、2　多项式逼近法

相似转换实质上是线性转换[7], 当原有城市坐标系的局部性系统误差或局部形变较为明显时, 采用相似转换不可避免的会带有模型误差, 降低转换结果的精度, 此时,我们可以采用多项式逼近法[8]。

多项式逼近法在于选取多项式逼近待求的两个坐标系之间的转换函数, 由多项式逼近任意连续函数时, 从理论上讲, 只要选择适当的多项式阶数和系数, 就可以逼近到任意的程度, 并且保证点与点之间一一对应的可逆连续转换的特性。

　　多项式逼近法的数学模型如下:

式中, ( x_os , y_os ) 为转换中心附近的一个原点坐标,a_0，a₁ , . . . , a₅、b₀ ,b1 , . . . , b₅是待定系数, 按照( 5) 式求解待定系数至少需要六个公共点坐标, 在这六个公共点上, 坐标经过转换后不会发生变动。当多于六个点时, 可以按照经典最小二乘法求解。如果需要转换的区域较大,公共点较多, 可以选择更高阶数的多项式进行转换。

4　实例计算与分析

某城市面积接近8000km², 近年利用GPS测量技术重新改造原有平面控制网, 共施测了152个GPS控制点, 计算得到了这些点位的西安80坐标系的坐标以及城市独立坐标。为了求得该城市国家坐标系与城市坐标系之间的转换参数, 我们均匀选取了其中30 个点位参与计算, 并重新编号。

为了进行平面直角坐标四参数相似转换, 我选择利用5、10、15、20、25、30这六个分布均匀的公共点的两套坐标值进行坐标转换, 由式(3) 利用经典的最小二乘法求得四个转换参数为

根据求得的四个转换参数, 我们可以得到各点位(x_S , y_S ) 的转换值, 记为( x_T-4para, y_T-4para ) , 以及相应各点位转换后的值与观测值之差的绝对值, 记为(Δx_4p , Δy_4p ) 。计算结果显示Δx_4p的最大值为51 cm, 最小值1cm, 平均值为19 cm; Δy_4p的最大值为88cm, 最小值2cm, 平均值为27 cm。

以上结果表明四参数相似转换的结果并不十分理想,两个坐标系统中各个点位坐标转换结果的差值也都比较大,其中x坐标差值超过40cm的有5个点位, 而y坐标差值超过50cm的有5 个点位, 这个结果对于应用而言是比较差的, 可见四参数相似转换对于面积较大的城市而言其功能是有限的, 并且该城市原有城市坐标系存在着系统误差或局部变形。为了克服这一影响, 减小各个点位坐标转换后的差值, 可以采用多项式逼近的方法进行转换。

根据式(5) , 我们可以对两个平面坐标系统的坐标成果进行多项式逼近转换。选择转换中心的13 号点为转换原点, 仍以5、10、15、20、25、30这六个点为公共转换点,求得其十二个转换参数为

根据求得的转换参数, 类似上述方法, 我们可以得到各个点位根据多项式逼近法转换后的平面坐标( x_T-12para, y_T-12para ) , 及其与相应各点城市坐标观测值之间的差值(Δx_12p , Δy_12p  ) , 计算结果显示, 差值均未超过1cm。

我们还可以通过图形更加直观的看出两种方法的结果对比, 参见图2和3。图1显示了30个点位的坐标分布。

从图2 和图3 可以看出, 多项式逼近法的坐标转换差值要远远小于相似转换的结果, 说明在范围较大或坐标系有局部变形的情况下, 国家坐标系与地方坐标系转换中应采用多项式逼近法。同时, 相似转换的结果差值最大未超过1m, 这也可以满足1 ∶10 000 地形图的图解精度要求[9], 在精度要求不高的情况下也未尝不是一种简单易行的坐标转换方法。

5　结束语

国家坐标系与城市坐标系之间的坐标转换是测绘实际作业中经常遇到的一个比较棘手的技术问题。从局部范围来看, 可以不考虑两类坐标系建立过程及椭球基准的不同。因此, 就小范围而言(方圆上百公里范围) , 本文基于二者均为平面直角坐标系的前提, 对相似转换与多项式逼近两种转换方法进行了比较研究, 计算结果表明, 对大中型城市(方圆约100km左右) 而言, 采用多项式逼近转换法进行坐标转换是一种切实可行的方法。

最后需要指出, 如果涉及的范围较大(如方圆几百公里至上千公里) , 或虽范围不大, 但为山区, 两种坐标系之间的转换就必须同时考虑高程因素, 也即必须采用三维坐标转换。究竟多大范围可以仍然采用平面坐标转换, 这是有待进一步研究的问题。

　　参考文献

[ 1 ] 陈士银.建立地方独立坐标系的方法[ J ] .测绘通报, 1997, (10) .

[ 2 ] 孔祥元, 郭际明.大地测量学基础[M ] 1武汉: 武汉大学出版社, 20041

[ 3 ] 覃辉.某城市独立坐标系与1954北京坐标系转换方案[ J ] .测绘学院学报, 2002, (4).

[ 4 ] 冯亚明1利用GPS建立地方独立坐标系[ J ].武汉城市建设学院学报, 1996, (4).

[ 5 ] 施一民, 李健, 等.地方独立坐标系的性质与区域性椭球面的确定[ J ] .测绘通报, 2001, (9).

[ 6 ] 姚宜斌.平面坐标系统相互转换的一种简便算法[ J ] .测绘与信息工程, 2001, (1) .

[ 7 ] 姜晨光, 贺勇.测量中不同平面直角坐标系间坐标转换的优选方法[ J ].铁路航测, 2000, (3).

[ 8 ] 丁士俊, 张忠明.几种不同坐标变换方法问题的研究[ J ].四川测绘, 2005 (1) .

[ 9 ] 施一民.用GPS技术改进或新建城市控制网中坐标系的确定[ J ] .工程勘察, 1996, (5) .

[ 10 ] 杨铮, 党亚民, 等.GPS/GLON /NASS定位系统融合的坐标转换研究[ J ] .测绘科学, 2008, 33 (2).

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