“无用”的数学

 

最近在看一本书《来自一位数学家的叹息》，给了我很多对数学教育的感慨。这篇文章中我会为您分享作者的主要观点，分享过程会多引用原文原句，以便能让您原滋原味地感受到作者对数学教育的态度。

01

数学是一种艺术

你可以批判它，你可以创造它

开头作者就表明了：没有什么像数学那样梦幻及诗意，那样激进、具破坏力和带有奇幻色彩。我们觉得天文学或物理学很震撼人心，在这点上，数学完全一样，而且数学比诗、美术或音乐有更多的表达自由。后者高度依赖这个世界的物理特质，而数学是最纯粹的艺术，同时也最容易受到误解。

数学怎么就和梦幻产生联系了呢？

为了体现作者的观点，文中举了一个他之前在脑海中想象的例子：

长方形中有一个三角形，我想知道这个三角形占据了长方形多少空间？

▲三角形占据了长方形多少空间

有些朋友可能会问，作者思考这个问题有什么用呢？

没有深谋远虑的实用目的存在，只是纯粹在玩。

好了，如果这个问题抛给您，您会这么做？先来看一下作者是怎么处理，这个由他自己想出来的题目。

▲作者的处理方法

长方形像上面那样切成两个部分，可以看到这两个部分都被三角形的斜边斜切成一半，所以三角形里面和外面的空间是相等的，也就是这个三角形一定是正好占了长方形的一半。

这就是数学的外貌和感觉，数学家的艺术就像这样，对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。

三角形和长方形之间的关系原本就是个谜，但那条小小的辅助线让谜底浮现出来。“我本来看不出来的，突然间我就看见了”，这种能从“无”中创造出全然简单的美丽，并且在这个过程中改变了自己，这不正是艺术吗？

而我们平时是怎么处理这个问题的？

运用三角形面积公式等于底乘以高的一半。学生被要求背这个公式并在习题中反复应用，兴奋、乐趣、甚至创造过程会有的痛苦与挫折，全都消磨怠尽。

三角形是长方形面积的一半，这个“事实”并不重要，重要的是，以辅助线来切割的这个巧妙构思，以及这个构思可能激发出的其他美妙的构思。

再看一个作者在文中举的例子：

请证明无论三角形的顶点是圆周的哪里，它都是直角。

我们先来看看“常规”的证法：

再来看看作者7年级的学生的证明：

将这个三角形旋转半圆，使其成为一个圆里边的四边形，由于三角形是完全旋转过来的，此四边形的边必然是平行的，因此这是一个平行四边形，然后它也不是斜边四边形，因为它的两条对角线都是这个圆的直径，因此他们是等长的，也就是说，它必然是一个长方形，这就是为什么它的角是直角。

相对来说你更喜欢哪种证明？

许多数学研究生在被人赞扬“数学很强”十年后才发现，自己其实没有真正的数学天分，只是很会遵循指示而已，他们感到伤心失败。数学不是遵循指示，不是对公式的反刍，而是要创造出新的方向。其实，数学和诗一样，我们可以质疑它是否符合我们的美学原则。

以上就是数学作为一种艺术的体现，经过上面的例子是不是有点感觉了。

02

“伪数学”的传承

如果你的美术老师告诉你，绘画就是在标了数字的区块涂上颜色，你会知道这是不对的。我们的文化让你了解这些：我们有博物馆、画廊，你自己家里也有挂画，我们的社会非常了解绘画是媒介，人类借由绘画来表达，展现自我。

同样的，如果你的科学老师说，天文学是根据人们的出生日期来预测人们未来行为的一门学科，你会知道这个老师是有问题的，科学深入我们的文化，几乎每个人都知道原子、星系、以及一些自然定律。

但如果你的数学老师给你一个印象，不管是明白说出来或是大家默认的，让你觉得数学是公式、定义、以及背记一堆演算法，谁来帮你矫正这个印象呢？

文化是自我复制繁衍的怪物，学生从他们老师那里学习数学，而老师又是从他们老师那里学习数学，所以对于数学欠缺的了解与欣赏，会在我们的文化中无止境的复制下去。

我们的文化如果只是对数学无知，这已经够糟了，但更糟的是很多人真的以为自己了解数学：他们普遍误以为数学对人类社会具有实用价值。这就已经构成了数学和其他艺术之间地极大差异，数学被我们的文化看作是一种科学和技术的工具。

“所以你是在怪罪数学老师吗？”

不，我怪罪地是造就他们的文化，那些可怜的人只是竭尽所能去达成他们被训练要做的事，我相信大部分人都爱他们的学生，并痛恨迫使学生经历这一切，他们可以感觉到自己建造了心灵压碎机的齿轮，但是他们不具备可以理解或反抗制度的见识，他们只知道必须让学生们“为下一学年做好准备”。

03

远离“伪数学”，寻找数学的“真趣”

我以前在备课时总是在想，怎么让看起来无用的数学变得更接地气，让数学显得更加“有用”，然后就会在网上或者书上搜罗各种资料，如果没找到只能编故事了。

我们来看看作者对这种情况怎么看待：

数学本来就有远超你了解的有趣！而它的骄傲就在于与我们的生活完全无关，这就是为什么它如此有趣！

想要让数学呈现出和日常生活是相关联的，不可避免地就会牵强而做作：

“小朋友，如果你会代数，那你就能算出小明现在的年龄，如果我们知道她现在年龄是她七年前年龄的两倍！”

难道有人会知道这种信息，而不知道她的年龄吗？代数不是跟日常生活有关，而是跟数与对称性有关。

其实这道题的本质是：假设我知道两个数字的和与差，我要如何找出他们是哪两个数字？

这是一个结构简单且确切的提问，它不需要弄得特别繁琐。古时候的巴比伦人喜欢解答这类问题，我们的学生也是。

04

真正符合人类天性的提问

学校里的数学，主要的问题是没有“问题”。我知道大家都认为在数学课堂里的问题，就是那些枯燥的“习题”：

这里有一个题型、这里是解答它的方法、这个会出现在考试里、今天的家庭作业是习题1-35题。

这样学习数学是很可悲的：人类成了训练有素的黑猩猩。

但是一个“真正符合人类天性的提问”是完全不同的，比如：

一个立方体的对角线的长度为？质数是无止尽的吗?无限大是一个数字吗？在一个平面上用对称的方式铺瓷砖的方法有多少种？

数学的历史，就是人类专注于像这类问题的历史，而不是无须动脑的反刍公式和演算。那什么时候学生会提这类的问题呢？我觉得只有把学生放置在数学的历史洪流中，才会引起他发自内心的疑问。

总的来说：

数学是一个缓慢、沉思的过程，要产生一个艺术作品需要时间，而且需要有能力的老师可以辨识出来。当然公布一套规则，比指导有抱负的年轻艺术家要容易很多；写一本录影机的使用手册，比起写一本有观点的书要容易很多。

数学是一门“艺术”，而艺术应该由职业艺术家来教授，至少也应该由能够欣赏这种艺术形态，看到作品时能辨识出来的人来担任。

如果教学变成只是在做资料的转换，如果没有兴奋与惊喜之情的分享，如果对老师来说，“分数的加法”是一套既定的规则，而不是创造过程的产物及美学的抉择与追求的结果，那么学生当然也会觉得教学也只是一套规则而已。

今天对《来自一位数学家的叹息》的分享就到这里。书中多次提到数学是艺术，但是我还留意到一个词就是“美学”这个词在文中出现了12次，这引起了我的兴趣。随后买了一本《数学中的美学方法》，再看完这本书后结合今天分享的内容，不禁想到：

一个学科的发展是综合的，要想比较全面的了解一个学科，不仅要钻进这门学科，还要博学，才能更加彻底的知道学科的魅力所在，才能真正明白为什么数学会成为今天这个样子，才会理解数学家对数学的热情，然后才清楚我们教师的使命所在。

-END-

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