学会“一线三等角”模型，为中考提分“抄个近路”！

教研支持|刘羽

文编|洋葱君

之前，洋葱君曾为老师介绍过：如果平时能促进学生的“模块化思维”，在中考遇到相关题目时，他们就能实现加速检索和灵活运用。

特别是在推出“手拉手模型”文章后（点击查看），很多老师都留言说“非常实用，希望能再多看到一些类似模型。”

对此洋葱君只想说，No Problem！

为了能帮老师和学生决胜中考，洋葱君决定，接下来将陆续推出一系列中考常用模型，相信一定能让您和学生有所收获。

话不多说，今天洋葱君带来了另一个中考常客——“一线三等角”模型。这个模型在中考动态问题分析中，有着广泛应用。

比如今年（2019）中考浙江温州卷的第16题、四川资阳压轴第24题、成都中考第27题、河北统考第25题、山东济宁第22题等等，都是在考查这个模型。

▲ 部分地区的2019中考试题（点击查看大图）

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“一线三等角”模型的

结构特点和重要结论

一线三等角模型起源于近代，首创者不详但变化多端。这个模型多用来描述图形动态变化过程中，线段长度关系的不变性。应用这种不变性，可以帮助建立未知线段和已知线段间的联系。

它的一般图形结构如下图所示：在一条直线MAN上，有三个相等的角∠M=∠BAD=∠N。根据对应线段AD和AB长度的不同，可以分为一线三等角全等模型和一线三等相似模型。

▲ 一线三等角的模型的一般形式

（1）当AD=AB时，为一线三等角全等模型

如下图所示，因为∠M=∠BAD=∠N，∠DAM+∠BAN=180°-∠BAD，∠DAM+∠D=180°-∠M，所以∠BAN=∠D。当AD=AB时，就可以得到三角形△ADM≌△BAN，进而得到对应线段相等，如AM=BN，DM=AN。

▲ 一线三等角的全等模型

（2）当AD≠AB时，为一线三等角相似模型

同样，∠M=∠BAD=∠N，依旧很容易得到∠BAN=∠D。当AD≠AB时，就可以得到三角形△ADM∽△BAN，从而得到对应线段成比例：AM/BN=DM/AN=DA/AB。

▲ 一线三等角的相似模型

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一线三等角模型

经常“伪装”成这三种情况

一线三等角模型变化多端，在中考中非常擅长“伪装自己”。下面洋葱君为您列举3种比较常见的情况。

（1）一线三直角

当这三个相等的角均为直角时，就构成了一线三直角模型。不论是全等还是相似，一线三直角在中考中都非常常见。

▲ 一线三直角模型

值得一提的是，一线三等角模型最初也是来源于一线三直角这个经典模型。

所以，如果在中考题目中（尤其是平面直角坐标系有关的题目），看到有“斜放”的“直角三角形”，可以先尝试联想是否能构成一线三直角模型。

（2）“伪装”在“等腰三角形”中

还有一种情况，是将自己伪装在等腰三角形中。如下面这道题，你能在里面找到“一线三等角”吗？

（3）“伪装”在“一线两等角”中

这种情况下，一般题目只给出两个等角，需要你再做出第三个等角，再找相似。如下图所示，你能知道第三个等角在哪吗？

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中考常见题型解析

看完一线三等角模型的结构、结论和3种常见情况后，您是不是突然觉得“原来这个中考常客看起来也不难嘛”。

可是怎么能让学生掌握呢？去哪能找到一些难度合适、又能包含中考考点的题呢？

其实，洋葱君早就为您准备好解决办法了。洋葱视频除了有以基础知识为主的概念课，还有很多不同难度梯度、包含大量中考考点的解题课视频。

比如，下面两个“一线三等角”模型的解题课视频，一定能帮助学生夯实基础、快速掌握、拓展提升。

▲ 完整视频及更多题型请在洋葱APP中观看，视频位置：

人教版九年级下-相似-一线三等角及旋转相似-一线三等角的应用

▲ 完整视频及更多题型请在洋葱APP中观看，视频位置：

人教版九年级下-相似-一线三等角及旋转相似-一线三等角与相似综合

中考刚结束那几天，洋葱君在后台收到了很多老师的反馈，其中有一位四川老师的话印象非常深刻：

之前都不知道洋葱还有解题课这个神器，中考结束才听另一个班的数学老师说，原来今年的压轴题考查的就是“一线三等角”，而且洋葱视频在很早之前就非常详细地分析过这个问题。那位老师还跟我炫耀他们已经看过很多次了……

如果学生能吃透这个知识点，相信中考再遇到“一线三等角”问题时，一定能顺利通关。

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用“一线三等角”解决中考压轴题

如果看完视频，您对文章开头的三个中考题还有困惑，那就随洋葱君来一起搞定它们吧！

（1）第1题：难度等级★★

首先来看这道19年浙江温州卷的填空压轴题，第（1）问中，就用到了一线三等角全等模型求长度：

▲ 2019年浙江温州卷填空压轴题

题目中点A的位置是由两段折线OC和OA确定的，这两条线都不水平或竖直，所以A的高度很难计算，但题目已知OA=OC，OA⊥OC，所以我们连接AC画出一个等腰直角三角形，再如下图所示补全后。

有没有瞬间觉得豁然开朗？这不就是一线三等角模型吗？

▲ 用一线三等角模型解题

根据一线三等角全等模型性质，很容易得到OP=CQ=5，OQ=5√3，所以AM=PQ=5+5√3，问题就这样被很简单地解决了。

（2）第二题：难度等级★★★

▲ 2019年成都中考几何压轴题

这是2019年成都中考几何压轴题，它的第（1）问相对简单，属于模型的基础应用，这里不再多讲。

第（2）问中，先作等腰三角形底边中线AP求出BC=32。观察到图形的变化实际是由D点位置变化引起的，所以D的位置是自变量。而D的位置可以用BD的长度来描述，设BD=x，则CD=32-x。根据一线三等角相似的结论，AB/BD=DC/CE。另根据平行线分线段成比例，又有CD/CB=CE/CA。将BD和CD代入即可得到所求线段的值。

对于题目第（3）问，实际隐藏着一个直角的一线三等角相似问题，本小题的正确结果是BD=18。解决这一问时，您可以再次体会：如果看到“斜放”的直角条件，可以联想到直角的一线三等角相似模型。

（3）第三题：难度等级★★★★

▲ 2019年四川资阳的解答压轴题

这是2019年四川资阳的解答题压轴题第（3）问，如果您的学生能看出，可以先找一点P，使∠PQM=45°，再让点A落在PQ上。并通过一线三等角全等模型来分类讨论，那这道题就可以迎刃而解。

这道题符合题意的Q点有两个，分别为(0,2+√3)和(0,2-√3)。

总的来说，“一线三等角”模型的很多重要结论，都是中考压轴题经常光顾的考点。

希望您的学生平时能熟练掌握这些结论，并在中考遇到相关题型时，能灵活运用来解决问题。也希望您和学生能从洋葱解题课视频中，掌握更多模型，顺利通关中考！

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