搞定“两圆一线”和“两线一圆”模型，中考再难的“存在性问题”也不丢分！

教研支持|刘羽

文编|洋葱君

在近几年中考中，有这样一类热点题型：它的题意构思非常精巧，解题方法非常灵活，同时对学生分析问题的能力要求也非常高。

不论是中考还是平时模拟考试，它也总是学生最容易丢分的题型之一。

就连不少平时学的还不错的学生，在考试面对这类题型时，也大多有过这样的经历：

每次在考场上，看到题目时总是信心满满，答起卷子来更是“下笔如有神助”。但出考场一对答案就会猛地一拍大腿：“哎呦，天哪！还有一种情况呢，我当时咋就给忽略了呢？

没错，相信您已经猜到了，这类问题就是“存在性问题”。

存在性问题属于动点问题的一个分支，要求在图形运动过程中，找到一个瞬间，构成特殊图形或特殊图形关系。这类问题的知识覆盖面广，综合性强，是近几年中考非常热门的题型。

01

有多热？

2019年40多个省市地区都在考

那么，这类问题到底多受中考命题人青睐呢？洋葱君初步统计了一下，仅2019年，就有40个以上的省、市地区的中考压轴题，都在考查这个存在性问题。

四川	成都、南充、宜宾、巴中、广安、攀枝花，泸州，眉山、资阳
山东	济南、德州、泰安、淄博、聊城、莱芜、菏泽、
山西	省统考卷
广东	省统考卷、深圳卷（广州、深圳卷独立命题、广东省其他地区统考）
江苏	徐州、宿迁、常州、无锡、盐城、苏州、连云港、镇江
江西	省统考卷
河南	省统考卷
浙江	湖州、温州、衢州
湖北	咸宁、孝感、恩施、荆州、襄阳、鄂州、随州、黄冈
湖南	娄底、岳阳、常德、邵阳、郴州、
重庆	重庆
陕西	省统考卷

▲ 不完全统计的40多个省市地区

在中考都会考查“存在性”问题

在这40多个省市地区的中考试题中，洋葱君特意找出了下面这8道题，可以说是其中非常典型的题目了，你能看出这些题都有什么特点吗？大致可以分为几类呢？

 ▲ 8道典型的中考“存在性问题”

经过洋葱君的总结，这8道中考题可以归为以下四类：

（1）“特殊三角形”存在性

• 等腰三角形的存在性

• 直角三角形（90°角）的存在性

（2）“特殊四边形”存在性

• 平行四边形的存在性

• 菱形的存在性

• 矩形的存在性

（3）“特殊模型”存在性

• 等边三角形的存在性

• 等腰直角三角形（45°角、正方形）的存在性

（4）“特殊图形关系”存在性

• 相似三角形的存在性

• 其它特殊关系的存在性

基于上面四种类型，洋葱君也将分4篇文章，来为您详细拆解每类题型背后的解题策略和思考逻辑。

 ▲ 将分为4种类型、4篇文章来讲解

今天，洋葱君将为您带来第一篇，关于“特殊三角形存在性问题”（主要讲等腰三角形和直角三角形）。在阅读本文前，建议学生先能理解动点问题的“三步分析法”（点击这里查看）。

02

“存在性问题”有哪些难点？

说起存在性问题，学生的第一反应通常是“想不全，爱丢解”。具体说来，学生总是丢解的原因主要有下面这3点：

（1）对图形特征不熟悉，对动点运动规律不了解

比如，对于等腰三角形的存在性：已知一条边不动，另一个点会“跑”，但是“跑到哪呢？”学生很难理解透彻。

（2）很难将图形和函数结合分析

存在性问题，通常都要求学生既要了解图形特征，又要了解函数性质，对学生综合能力要求较高。

（3）几何规律的代数表示

在解题过程中，经常需要把几何意义用坐标的形式表示，学生在认知和理解上存在障碍。

那么，对于等腰三角形和直角三角形的存在性问题，有什么比较好的解题方法呢？洋葱君今天带来的“两圆一线”和“两线一圆”模型，一定能帮助到您。

03

“两圆一线”模型：

解决等腰三角形存在性问题

对于等腰三角形，学生最容易遇到的一类存在性问题，就是“已知等腰△ABC的一边AB，问点C的位置该怎么找？”

怎么找呢？这里洋葱君告诉大家一个模型——“两圆一线”模型。

什么意思呢？就是点C分别在“以A、B两点为圆心，AB为半径的两个圆、以及AB的垂直平分线上”。如下图所示，虚线上的所有点（除了重合和共线的情况）都满足等腰三角形，这就是两圆一线。

 ▲等腰三角形的“两圆一线”模型

下面以2019年山东济南的等腰三角形存在性问题为例来说明：

仔细分析题目之后，你会发现这道题目可以简化成：已知点A(0,8)、B(2,4)，C和D分别从A，B出发向右运动，运动距离为m，问m为何值时△BCD是等腰三角形？

看过动点问题的分析方法后，我们应该知道要“先写出随着m变化，点C，D的坐标，分别为(m,8)和(m+2,4)。”

接下来重点问题来了，我们该怎么找等腰三角形呢？

这时，就要想到“两圆一线”模型，根据模型来找顶点的位置。

观察图形，我们发现在运动过程中，点B有三次落在虚线上，也就是有三个瞬间能构成等腰三角形，画出图形列方程就可以解出m的值。

 ▲左滑查看全部三种情况

但细心的同学可能发现，这个模型说起来比较简单，但对学生的想象能力要求还是挺高的。那如果学生直观想象力不好，想象不出来图形运动状态该怎么办？

这里洋葱君再教大家一种代数的方法，这种方法对几何直观的依赖性比较小，适合作为“通法”来使用！

 ▲洋葱解题课中介绍了一种解决问题的“通法”，

完整视频请扫描二维码查看

 ▲扫描上方二维码查看完整视频

（如不能查看，请在洋葱APP-初中数学人教版-中考二轮-存在性-等腰三角形存在性问题-构成等腰三角形查看）

从上面的视频，我们可以看到：原来解决这类问题，还可以先表示长度，然后分类讨论列方程，最后再画图检验、舍掉不符合的情况。

这种“通法”适合大部分学生，你学会了吗，快来试一试吧。

04

“两线一圆”模型：

解决直角三角形存在性问题

对于直角三角形存在性问题，同样有一个常用模型——“两线一圆”模型。

即以AB为边构造直角三角形，点C的位置就在过点A和点B做线段AB的两条垂线上，以及以AB为直径的圆上。即AB与下图中虚线上的所有点（除去重合和共线的情况）都可以构成直角三角形。

 ▲直角三角形的“两线一圆”模型

下面以2019年河南题目为例，来为您做详细说明。

首先，还是可以将问题简化为“已知点C坐标(0,-2)，点P在抛物线y=1/4x²+1/2x-2上运动，点M在直线y=-1/2x-2上运动，且P，M横坐标都为m，问m为何值时，△PCM是直角三角形。”

然后，先明确点P和点M的运动方式，或者说P和M的坐标分别为：(m,1/2m²+1/4m-2)和(m,-1/2m-2)。

同样，我们需要先找到构成直角三角形时，点P的位置。根据“两线一圆”模型，可以做下图这样的思考。

观察图形，我们发现在运动过程中，点P有两次落在虚线上（不考虑重合的情况），也就是有两个瞬间能构成直角三角形，画出图形列方程就能解出m的值。

 ▲左滑查看第二种情况

同样，为了照顾直观想象能力相对较弱的学生，洋葱君在这里再教大家一种万能的“通法”。

▲ 完整视频及更多题型请在洋葱APP中观看，视频位置：

初中数学人教版-中考二轮-最新中考压轴题-存在性-特殊直线的存在性

从视频中，我们可以看到，这个问题还可以先分类讨论直角顶点的位置；再画图检验、舍掉不符合的情况；最后再列方程求解。

看过这篇文章后，学生考试再遇到这类问题时，能不能轻松想到“两圆一线”和“两线一圆”呢？万一找不到，能不能想起两个视频中的“通法”呢？

欢迎持续关注公号，学习后续三种“存在性”问题的解题策略哦~

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