洋葱教研室|一步步“吃透”GGB，让你也能轻松画出“一线三等角”动态模型

前几日的文章《学会“一线三等角”模型，为中考提分“抄个近路”！》获得了很多读者的支持。那本篇就结合目前热门的动态几何画板Geogebra 来实际操作一个互动的一线三等角。让老师与学生有机会从实践中，对“一线三等角”有更深入的交流与认识。

本篇文章我们会讲到：

• 导入：“一线三等角”案例分析
  

• 第一步：建个可调大小的线段

• 第二步：利用“ ASA” 来作个三角形

• 第三步：构建一线三等角的全等模型

• 第四步：构建一线三等角的相似模型

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导入：一线三等角案例

在正式进入 Geogebra 教学前，我们先回顾一下“洋葱数学”中使用到的案例。“一线三等角”是从勾股定理的弦图中，将图形截半而得到的一线三直角。

如下图，当 AB=AC 时，会有左右两个三角形全等，而当两边不等时就会得到两个相似模型。其中的三个角也不一定要是直角，再将角 BAC 改为锐角或钝角时，又会出现另外两类一线三等角的相似模型。

1.一线三等角的GGB展示

对于上述图形的变化，从静态的画面往往需要一些想像力才能理解，这时就让我们来用 Geogebra 来动态展示其渐变的情况。在以下 Geogebra 的操作中，除了可通过拖拉调整一线三等角模型外。还可观察一线三等角变形为三等角在异侧的进阶模式。而当下图的 AO=OG 时，还会有三个相似三角形的出现。

（点击查看完整互动操作视频↓↓↓）

2. 一线三等角的实际应用

对于这个一线三等角的基本模型，它常融合出现在更复杂的图形内。例如，以下的这个等腰三角形。在底边的中点建一个一线三等角模型，此时就会出现三个相似三角形。而在这题中除了证明三个相似外，还要求在给面积比，来求线段EF长。对于这题的解题，就要利用到一线三等角延伸得到的角平分线特性才能解。

 ▲ 洋葱人教版九下相似形《一线三等角的应用》

对于上述《一线三等角的应用》，笔者也将他作成一个 GGB 互动操作画面。通过这互动的原件，大家可拖拉 E 点的位置，去观察探究图形的变化。也可拉动提示滑杆，方便在课堂上逐步展示解题思维。并且通过上方的按钮来切换两个小题并显示原题目。

(互动链接：https://www.geogebra.org/m/txrzgd6n#material/hjjpzctd ）

3.一线三等角与相似综合

对于前个例子，有三个彼此相似的三角形的情况，并不单在中点时才会发生。在下面这题洋葱《一线三等角与相似综合》的例子，要探究的就是改变 P 点的位置来找是否存在三个相似的直角三角形。

▲ 洋葱人教版九下相似形《一线三等角与相似综合》

类似这种关于图形存在性的探究也很合适做成 GGB 的案例，笔者也将这作为一个GGB元件，这时让我们去移动 G 点的位置，就可来探究观察三角形的变化。在这个交互课件中，除了可移动的 G 点外，还可去切换两个小题的提示来动态显示解题步骤。

在观看完上面的交互型的 GGB 案例后，是否想来动手做做看呢？其实这不难，上手后，只要十分种你就可以完整这个作品。

现在就让我们打开电脑，让我一步步带着大家来完成。

（完整的视频教学在文末的【查看原文】，建议搭配视频与本文一同学习。)

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第一步： 建个可调大小的线段

当然万丈高楼平地起，要做出这个模型的第一部分，我们要先学会做到下图的效果，【建立一个可调大小的活动条】。

Q:要从哪下载软件呢？

GGB 这软件虽可下载使用，但我更推荐网页编辑，当完成作品后方便我像上述案例共享交流。那登入网站的使用过程如下，并认识其界面分为三个区域【代数区】、【绘图区】、【工具列】

• 输入网址 http://geogebra.org

• 点选右上角的 Geogebra 经典。

• 左方为代数区：存放变数

• 右方为绘图区：二维坐标网格，可显示隐藏坐标轴。

• 上方为工具列：可画圆、线段、标角度、作角平分线等工具。

Q:建一个可调大小的线段需要什么？

登入后，我们就要来完成这可调整的互动套件。那第一个问题就是『建一个可调大小的线段需要什么？Geogebra 的工具列中，就有很多好用的工具，点选【滑动条】工具，并设置相关参数。具体操作参考动图与如下指令：

• 用 【滑动条】 建参数 a=1, 区间从 0 到 3。

• 在代数区输入点 O=(0,0) 、点 A=(-a,0) 

• 用 【线段】连接线段 OA。

Q:如何不让线段的标签自动显示？

在使用【线段】工具连接线段后，系统预设会显示标签，当线段一多时画面显得有点乱。要调整标签的显示，可以点选右方的“设置”。在设置中，还可以调整小数位数，字号大小的设定。

• 在 [设置/标签] 设定为 {只显示新点标签}，并保存设定让下次可套用此设定

到此就完成了首次你与 GGB 的互动。别小看现在只完成一条线，在这基础上很快就可作出更复杂的图形。

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第二步：利用 “ASA” 来作个三角形

在前面完成一个可调整大小的边，接下来，就要从一条边长出一个三角形。那这三角形是什么形状呢？在这案例中，我们使用的是两角一夹边，也就是用 ASA 来建立一个三角形。这部分的完成图如下。

Q:如何建一个可变动的角？

在上图中，有两个角，这两个角的大小也是由滑动条建立的。第一步先将两个角度的数值用滑动条来建立。

• 用 【滑动条】 建角度 α=60°，区间从 30 到 150

• 用 【滑动条】 建角度 β=30°，区间从 10 到 60

Q:如何作出一个角？

在设置好两个角度数值的滑动条，下一步就是要如何在图形上显示这两个角呢？此处的关键在于使用【旋转】工具。

• 用 【旋转】 先点 O 再点 A，输入角度 α 得点 O'

• 用 【旋转】 先点 A 再点 O，输入角度 β 得点 A'

• 用【射线】连 AO’、A’O

Q:如何作出ASA的三角形?

画好两个角的两边，可看到两边有个交会点。想要作出三角形就要标出这第三个顶点，这时候就要使用【交点】工具。建立好三个点就可用【多边形】工具连接三点得到三角形。

• 用【交点】取得两射线的交点 B 

• 隐藏射线与旋转后点的点，再用【多边形】点选三角形的三顶点，来建立三角形

Q:如何让对应的角度更明显？

此时三角形已经出现，但为了让角度的标示更清楚，这时可以用【角度】工具，来将图形上的角作标示来显示每个角的大小。

• 用【角度】点选 O,A,B 得角OAB

• 用【角度】点选 A,B,O 得角ABO

• 角度预设是以逆时种方向标示角度，若不希望出现大于180的角，可在[角度范围]设为{0～180}。

• 若只想显示数值为不显示角度名称，可在[设置]中的[显示标签]设定为{数值}

• 可在[颜色]中选颜色，让对应的滑动条也改变颜色。

现在，我们就完成一个可调两角一夹边的 ASA 模型。

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第三步：构建一线三等角的全等模型

在完成第一个三角形后就可再建立第二个三角形，来完成一线三等角的全等模型。首先观察下图，先思考下一个要产生的点是那个。你可以选 D 也可以选 C。但在这个教学中，我们选择先建 C 点，主要是因为一线三等角的全等模型中，OB=OC。那这个C点该如何得到呢？

Q:中间的三角形有何特征?

首先，意识到一线三等角的全等模型是图中 OB = OC 的情况，此时中间是个等腰三角形，而顶角为 α 。这时要制作 OA = OB ，我们可将 B 旋转 -α 来得到。具体操作如下：

• 用【旋转】选B对O转-α

• 用【线段】连接 OB', BB'

• 用右键选单，将点 B'重新命名为 C

Q:右侧三角形用那个全等来决定的？

有了 C 点，接着要完成右侧的三角形OCD。为了达到一线三等角，我们的已知条件是角 D，同时 D 在OA 的延伸线上，因此也有角 O。而此时 OC 的长度已经确定，因此这是要用的就是 AAS 的条件。但制作时，需转换为 ASA 的条件，才能由 OC 的边制作出两个角的延长线，取得 D 的位置。具体操作参考下图与如下指令：

• 用旋转画出指定角：用【旋转】点选O对C转β

• 连接边取交点：用【线段】连接 AO, CO'2 ,并取得两线交点 D

• 作三角形：隐藏辅助的线与点，用【多边形】作三角形 OCD

Q:哪几个角是相等的？

到此已经完成一线三等角的全等模型，但哪三个角是等角在画面上显示还不够清楚。因此，再继续将对应的角度上色及标号。标号后，也可调整滑动条，观察当 α = 90度时，这就是一线三直角的模型。

• 标注角CDO、角COB,其角度为α

• 再标注角OCD其角度为 β

Q:如何改变点的标签？

这时，一线三等角模型已经完成。若要显得更专业些，可将点的标签用斜体的大写字母来显示。在 GGB 中，可对点的标题作些设定，在标题中有， %v， %n 两个参数可用。使用 %v 可取得点的座标数值，用 %n 可取得点的名称。

同时为了让字体用斜体显示，要使用 $...$ 来进入数学环境。其中 $...$ 这个数学环境使用的为 LaTeX 语法 ，初学者可以先直接输入使用，未来会有更多关于这方面的应用。

• 更换点的标题：点击每个点的右键选单，在[标题]中输入 $%n$ 

做到这里，看到个可调大小的一线三等角模型是否很有成就感呢？善用滑动条就可以建立一个可动态变化的模型。

接下来要让它转为相似模型，也只需再新增一个滑动条。

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第四步：构建一线三等角的相似模型

下图是最后要达成的一线三等角模型，最关键步骤是将三角形 OCD 放大。要将这个三角形放大，可以选择延长 OD 或 OC 边。延长后再作平行相似，就可以得到一线三等角相模型。

Q:相似三角形的大小如何决定？

首先，我们选定要延长 OD 边为 OE。主要希望最后可以控制 OE 使得 OE=OA。

因此，第一步就是建立滑动条 b ，并设定 E 的坐标(b,0)。

具体操作参考下图与如下指令：

• 用 【滑动条】 建参数 b=1, 区间从 0.1 到 2

• 建立 x 轴上的点 E=(b,0)

Q:如何给一边作相似三角形？

当建立好 OE 的边，接着要建立相似三角形就利用平形相似，这时就使用 【平行线】工具来达成。接着延长OC ，取交点就可以得到 F 。具体操作参考下图与如下指令：

• 用【直线】连接 CO

• 用【平行线】作过E平行CD的线

• 用【交点】取得两线交点F，再将辅助线隐藏

• 用【多边形】标示三角形OEF,并改变三角形的颜色

Q:一线三等角与等腰三角形的关系？

一线三等角模型通常会出现在等腰三角形中。当 α 为锐角时，延长两边可得一个等腰三角形形。在这就连接两边与取交点G就可得到等腰三角形AEG。而当 α 为钝角时，两边的交点G就出现在下方。

• 用【直线】连接 AB、EF 边

• 用【交点】工具，找到这两边的交点 G，再隐藏这两直线

• 用【线段】工具，连接 AG, EG, EF

Q:画面如何更加清楚？

至此，已经完成了一线三等角的相似模型。最后也是将画面再美化的步骤，一般都会调整标签、改变线型，设置滑动条的长度与颜色。并移动元件到适当的位置。

• 更改 G，F 的标签

• 改变BC, BF 的线型

• 更换滑动条的长度

通过这四个滑动条的设定，一线三等角的全等与相似模型就完成了。是不是觉得 GGB 的制作很简单呢？要制作图形的关键就是要将问题拆解，思考清楚哪些是已知的条件，哪些是可变动的。想清楚，哪个是第一批要产出的点，哪些是用这些点再产出的点。确定点的位置再适当的连线上色就可完成更多图形。

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更多GGB的课件与教学

目前，洋葱教研也将洋葱数学的几何解题课陆续制作对应的 GGB 课件。大家可从复制下面链接去探索。

https://www.geogebra.org/m/txrzgd6n#chapter/421351

另外，大家有哪些课件想看到 GGB 的制作教学也欢迎大家留言反馈。如果觉得自己一个人学习制作GGB比较没有动力，也欢迎加入笔者的 wechat 账号 【acchu0331】，来加入一个有 200个老师的 GGB 线上学习群。

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