中考压轴题，怎么得高分？这个解题模型学生在家一定要学会

为帮助学生搞定中考压轴那10分，从去年开始，洋葱君先后推出了“手拉手模型”、“一线三等角模型”、动点“四大存在性问题”等中考模型文章，受到不少师生的好评。

现在疫情严重，中考在即的初三学生却不能返校学习，老师们着急又无奈。

为了能切实帮到老师，助力学生中考，洋葱君今天继续带来一种新的中考动点常见题型——面积类问题。

查阅历年中考试题，洋葱君发现，面积类动点问题主要分为两种：

1、面积表示类问题：比如，“求某个三角形面积的最值、让所求三角形面积等于给定值或落在某个范围内……”

2、面积关系类问题：比如，“求某个三角形面积是另一个的几倍或几分之几……”

今天，洋葱君先为您解决第一种“面积表示类”动点问题。

01

解题策略

仔细观察下面四道“面积表示类”中考动点压轴题，你能看出它们有什么共同点吗？

▲ 四道“面积表示类”中考动点压轴题

虽然这四道问题看起来有所区别，但究其本质，都是由1个变量引起的图形运动。

解题的关键其实也很简单，只有一句话：

我们需要将面积和自变量的函数关系表示出来。

什么意思呢？

具体来说，可以再细分为三步：

（1）将目标图形中确定点的坐标都表示出来，不确定的点用含未知数的式子表示；

（2）如果是规则图形，可以用含未知数的式子表示出“应用面积公式所需要的长度”（例如，在三角形中，需要表示出底和高），对于不规则图形，需要用割补法转化为规则图形。

那么，怎样区别规则图形和不规则图形呢？

洋葱君告诉你一个小窍门：

我们可以通过目标图形是否有一条边与坐标轴平行来判断。如果是，则是规则图形；反之，则是不规则图形（划重点，这是洋葱君为了方便理解自己的总结，请老师不要作为授课标准讲解哦）。

（3）用含未知数的式子表示面积，如果面积表达式是二次函数（很多题都这样），还有可能再进一步求面积最值。

虽然整体解题策略是相同的，但再进一步仔细分析，你会发现：

在这四道题中，前面两道是同一题型，后面两道是同一题型，而他们的区别在于：前面两道题点的运动不需要分阶段讨论，而后面两道题点的运动则需要分阶段讨论。

下面洋葱君来为您详细讲解。

02

运动不分阶段讨论

“运动不分阶段”指的是在图形运动过程中，图形的结构没有发生变化。

比如下面这道2019年四川宜宾中考题的第（3）问，就是典型的“面积表示类”动点问题中“运动不分阶段讨论”的情况，属于洋葱君在文章开头提到的“求最值”问题。

▲ 2019四川宜宾中澳压轴题

在第（3）问中，仔细分析点P的运动轨迹，你会发现，当动点P在直线下方运动时，△PAB的整体图形结构并未发生变化，始终保持三角形的形状。

那这一问该怎么解决呢？相信看过下面这个视频您就非常清楚了。

▲ 完整视频请在洋葱学院APP查看，视频位置：

初中数学-中考二轮-面积问题-面积最值-最大面积问题

同视频中一样，这道题也是应用洋葱君前面提到的三步来解决：

（1）用未知数表示点的坐标；

（2）用割补法将不规则图形分割成规则图形；

（3）用含未知数的式子表示面积并求最值。

根据题意，很容易求出抛物线方程为y=x²-2x-3，直线AB解析式为y=x-3。

首先，设点P的坐标为（t,t²-2t-3），过点P做x轴垂线PM，交直线AB为点F，垂足为M。则F坐标为（t,t-3），其中，t∈（0,3）。

然后，根据割补法，S△PAB=S△PAF+S△PBF，代入F点横坐标，可以得到S=3/2PF。

而PF=PM-FM，代入F点坐标（注意线段长度为正值），即可求得S△PAB=-3/2t²+9/2t

根据t∈（0,3），很容易求得S的最大值为27/8。

值得一提的是，这道题的第二问看着熟悉不？你能看出在考查哪个知识点吗？

如果看过前面的文章，您一定马上就能反应过来“这不就是平行四边形的存在性问题吗？”（如果没看出来，赶紧悄悄点击这里回顾一下吧）

如果这类问题，您感觉已经掌握的差不多了，就用下面这道2019年湖南衡阳的中考题来练练手吧！

▲ 2018山东聊城中考压轴题

洋葱君温馨提示：

这道题第（3）问和上一道题解题思路相同哦。

至于第（2）问，您能看出是在考查洋葱君已经讲过的“一线三等角”模型（点击查看）吗？

03

运动分阶段讨论

与之前相对，“运动分阶段”指的是在图形运动过程中，图形结构发生了变化。

比如下面这道2018山东聊城的第（3）问，就是典型的运动分阶段的“面积表示类”动点问题。

▲ 2018山东聊城中考压轴题

这类问题的解题关键则在于“找临界点，化动为静”。

具体是什么意思呢？看一下下面视频的讲解吧！

▲ 完整视频请在洋葱学院APP查看，视频位置：

初中数学-中考二轮-面积问题-面积最值1动图形

从视频中可以看到，根据S形状的不同，这道题可以分成0＜t≤4及4＜t≤5两个阶段。

第一阶段所组成的图形是一个梯形，可以根据梯形面积公式求出S的表达式；第二阶段图形是由两个梯形组成的五边形，可以由两个梯形面积的和求出S的表达式。

再分别代入各阶段内的临界点或顶点，即可求出两个阶段内S的最大值。

最后再对比得到最终的最大值，结果为S=199/40。

具体解题过程，可以在洋葱APP中找到上面视频的完整版查看哦。

下面这道2019天津的中考题，需要分三个阶段讨论，比上面这道题略显复杂，您可以尝试能否用前面讲过的“找临界点，化动为静”的方法来解决。

▲ 2019天津中考压轴题

总结

总的来说，对于这种“面积表示类”的动点问题，学生在解题过程中要特别注意两点：

（1）判断题目是否需要分阶段讨论；

（2）判断所求面积的图形是否为规则图形。

期间，再根据题意考虑是直接用面积公式代入未知数，还是用割补法转化为规则图形后再代入未知数。

只要细致耐心，相信中考遇到这类问题，一定能够迎刃而解的！

下一篇中考专栏中，洋葱君将为您带来“面积关系类”动点问题的讲解，请大家持续关注哦！

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教研支持|刘羽

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