中考大题一求“动点坐标”，老师家长孩子全冒汗？这个万能的“对角线平分求解法”务必学会！

教研支持|刘羽

文编|洋葱君

上篇文章中，洋葱君就曾介绍过中考命题人特别钟爱“存在性问题”：初步统计，仅2019年就有40个以上的省市地区，在中考中出现了这类题型，而且都是作为拉分的压轴题出现。

而再深入研究，你就会发现：这些试题中，有近四分之一都是在考查“平行四边形的存在性问题（包括矩形和菱形）”。

▲左滑查看更多“平行四边形存在性”中考题

所以，今天这篇文章，洋葱君就为你重点讲解这种特殊四边形的存在性问题（含平行四边形、矩形和菱形），该如何用一个“通法”来解决。

▲存在性问题专题第二讲之“特殊四边形”

要想找到解题“通法”，就要找出这类特殊四边形存在性问题的共同点，进而归纳相应解题策略。

那么，这类问题有什么共同点呢？

经过大量对比分析后，洋葱君终于发现：大多数这类问题，都是题目中已知四边形中两个固定的顶点坐标，求另外两个移动的顶点坐标。

正是因为有两个顶点在动，要求学生需要具备很强的几何直观能力，这对老师和学生的挑战都很大。

看到这里，可能就有同学会问了“那如果我的几何直观能力比较差该怎么办呢？”

别担心，几何直观能力比较差也没关系，今天洋葱君为你带来一个非常实用的解题“通法”——对角线平分求解法。（其中，菱形和矩形需要以等腰三角形和直角三角形的方法为基础，建议先 点击这里 回顾“两圆一线”和“两线一圆”模型。）

01

对角线平分求解法

首先，你需要了解的是，解决存在性问题的根本在于“将判定定理代数化”，即：先分析图形运动方式，然后用含未知数的式子表示出点和线，最后代入判定定理的代数表达，列方程求解。

那么问题来了，对于平行四边形来说，可有着五种判定定理呢，我们该选择哪种来作为“通法”呢？

• 两组对边分别平行？

• 两组对边分别相等？

• 一组对边平行且相等？

• 两组对角分别相等？

• 对角线互相平分？

如果你想不出该用哪种，就看一下这个洋葱解题课视频的分析过程吧，相信看过之后，很快你就能得到答案了。

▲ 完整视频请在洋葱APP中观看，视频位置：

初中数学人教版-中考二轮-存在性-平行四边形存在性问题-

构成平行四边形

没错，就是选择“对角线互相平分”来作为常用“通法”，根据视频可以看出这种判定方法有两个优点：

（1）具有稳定性  

由于“对角线互相平分”是利用“中点坐标公式”来列方程，列出的方程是整式方程，次数不超过二次，所以它的计算量不依赖于题目条件。

（2）具有全面性  

如视频所示，在分情况讨论时，我们先选定其中一个点；然后利用“找搭档”的方法分别去选点来做对角线，很容易就得到需要分三种情况来讨论；接下来列方程求解；最后再检验。这样就可以做到不重不漏。

▲利用对角线“找搭档”方法来分情况讨论

至于其他几种判定定理为什么不适合用作“通法”，如果你看完视频还是不太明白，可以在公众号消息中回复“通法”，查看洋葱君的详细解析。

02

应用“对角线平分求解法”

解平行四边形存在性问题

俗话说“光说不练假把式”，那么该如何使用“对角线平分求解法”来解题呢？下面洋葱君任选两道2019年的中考题，来看看这种方法具体是如何应用的。

首先，一起来看这道2019年的山西中考压轴题：

▲点击可查看大图

我们先对问题进行简化，这道题前两问的结果为：抛物线的解析式：y=-3/4x²+3/2x+6，点D(3,15/4)。第（3）问要求的是，点M是x轴上的动点，点N是抛物线上的动点，B,D,M,N四点可以构成一个平行四边形，求M的坐标？

参考上面洋葱视频的解法，已知B(4,0)，D(3,15/4)，可以分别设点M(s,0)，N(t,-3/4t²+3/2t+6)。

• 当BD为对角线时，有(xB+xD)/2=(xM+xN)/2，(yB+yD)/2=(yM+yN)/2，解得s=8或4，其中当s=4时，点M与B重合，需要舍掉；

• 当BM为对角线时，解得s=±√14，均符合题意；

• 当BN为对角线时，解得s=0或4，根据题意s=4时M与B重合，需要舍掉。

综上，满足题意的点M有4个，分别为（0,0）,（8,0），（√14,0），（-√14,0）。

怎么样？使用“对角线平分求解法”后，这道题解决起来是不是就很轻松啦？下面再来看这道2019年湖北咸宁的中考压轴题。

▲点击可查看大图

首先，对题目进行简化，已知抛物线y=-1/2x²+3/2x+2，点O(0,0)，点B(0,2)，点E在直线y=-1/2x+2上运动，点F在抛物线上运动。求点B,O,E,F可以构成平行四边形时，求点E的坐标？

同样，设点E(t,-1/2t+2)，F(s,-1/2s²+3/2s+2)。分别取BE、BF、BO为对角线，根据“对角线平分求解法”可以得到，满足题意的点E有5个，分别为（2,1）,（2+2√2,1-√2），（2-2√2,1+√2），（-2+2√2,3-√2），（-2-2√2，3+√2）。具体过程请你也自己动手试一试吧！

通过这两道题目，你有没有发现：平行四边形的存在性问题，经常出现4-5种情况满足题意。如果仅依赖几何直观，很容易漏解。而通过“对角线平分求解法”转化为代数问题后，就可以做到又快又全，省心省力。

03

应用“对角线平分求解法”

解决矩形的存在性问题

下面来看矩形的存在性问题。

同样，这类问题通常也是“已知两个定点坐标，求两个动点坐标”。

由于矩形是有一个角是90°的平行四边形，所以，在解决它的存在性问题时，我们可以先找直角三角形确定一个顶点，再根据“对角线平分求解法”确定另外一个顶点。

具体怎么操作呢？相信看完下面这个解题课视频您就一目了然了。

▲ 完整视频请在洋葱APP中观看，视频位置：

初中数学人教版-中考二轮-存在性-矩形存在性问题-几何问题与反比例函数（上）

怎么样？看完视频后，现在是不是已经跃跃欲试啦？那就用下面这道2018年中考题来练练手吧！

首先对问题进行简化：已知点B(3,0)，D(2,3)，点P在直线x=1上运动，点N在平面内运动，点P,B,N,D构成以BD为对角线的矩形，求BN：DN的值？

如前面分析，这道题目有两个点在运动，所以我们可以仿照视频中的做法，先找直角三角形确定点P，再根据对角线互相平分确定点N。因为题目要求BD是对角线，也就是说，在直角三角形BPD中，BD是斜边，那么根据两线一圆模型，点P同时在以BD为直径的圆上运动，画出圆和x=1的交点，就是要找的点P。

不难算出满足题意的点P1（1,2），P2（1,1）；然后根据对角线互相平分，确定点N1（4,1），N2(4,2）；再根据距离公式，计算出BN1：DN1=1:2，BN2：DN2=1:1。

04

应用“对角线平分求解法”

解决菱形的存在性问题

接着看菱形的存在性问题，和矩形一样，我们知道，菱形的定义是邻边相等的平行四边形。所以可以找等腰三角形先确定一个点，再根据“对角线平分求解法”确定另外一个点。

比如下面这道2018年浙江衢州的中考题：

如前所述，这道题有两个点在运动，如果想直接找点M的位置是非常困难的。因此，可以先确定Q的位置，点M的位置也就随之确定了。由于题目要求OB是菱形的边而不是对角线，所以在等腰三角形BOQ中，BO是腰而不是底。

我们分别以O和B为圆心、OB长为半径画圆与直线相交，可以求出满足题意的Q点有4个。

设Q(m,-1/2m+6)，分别表示出OQ和BQ的长。

• 根据OQ=OB=10列方程，解出Q的横坐标分别为（12+4√89）/5，（12-4√89）/5。此时BQ是等腰三角形的底，也是菱形的对角线，有xB+xQ=xO+xM，解得xM=(42-4√89)/5或xM=(42+4√89)/5；

• 根据BQ=OB=10列方程，解出Q的横坐标分别为-2和12。此时OQ是等腰三角形的底，也是菱形的对角线，有xO+xQ=xB+xM，解得xM=-10或xM=6。

因为M从横坐标为-10开始运动，对应的运动时间t分别为(92-4√89)/5、(92+4√89)/5、0或16。

总结

中考中，在考查特殊四边形的“存在性问题”时，通常都有两个顶点在动。解决这类问题，可以使用“对角线平分求解法”。

先分析图形运动方式，然后用含未知数的式子表示出点和线，最后根据对角线互相平分得到代数表达式，并列方程求解。

如果是矩形，则需要先找直角三角形确定一个顶点，再根据对角线互相平分列方程求解。

如果是菱形，则需要先找等腰三角形确定一个顶点，再根据对角线互相平分列方程求解。

怎么样，你学会了吗？

如果还是不理解，建议您多看一些洋葱解题课的中考专题视频哦，那里有更详细的讲解等着你~

-END-

原创不易，望随手转发

往期精彩推荐

老师您好：

      为给您提供更多福利和更好的服务，我们开通了「洋葱HOPE卓越教师」服务号。精彩教研课程、教学资料、干货福利等都会在第一时间送达。

现在关注即可获得“前北京市数学学科带头人王玉起老师的《信息化+传统课堂5大教学环节设计-上》教研课1节”。

老师赶快扫码关注吧！

——from 沉迷送福利的洋葱君

▲ 扫描上方二维码即可关注

老师，点一下“在看”再走呗？

点击阅读原文，加入【洋葱教师交流社群】，和全国优秀的教师一起交流学习，还有洋葱专属福利等第一时间送达！