圆的直观图的离心率问题

最近的华二的题都特别吸引我，不仅让我沉迷于思考，还带给我新的发现，因为都是之前不曾细致思考过的，并且容易想当然的

比如这题：已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为多少？

想当然地，x轴还是那根x轴，椭圆的长轴还在x轴上，设圆为x²+y²=a²，圆的上顶点（0，a）经过“斜二测”的变化后，变成点（√2a/4，√2a/4），代入椭圆方程x²/a²+y²/b²=1，得到a与b的关系a²=7b²，从而“算得离心率”c/a=√42/7，这想当然的解法整理如下，贻笑大方了

其实，只要稍微停下笔，多思考几秒，就会发现漏洞百出，B是左图圆上的最高点，按照“斜二测画法”的定义，画成直观图后，也应该是右图椭圆上的最高点，但上图中明显不是。

另外，如果我们在左图画上圆的外切正方形，右图画上椭圆的外切平行四边形，就更不知右图的线条该如何安放了，如上图所示，左图中，在A点处且与y轴平行的线段是和圆相切的，在B点处且与x轴平行的线段是和圆相切的，但是，右图中，过点A且与y轴平行的线段、过点B且与x轴平行的线段，无论如何都不可能与椭圆相切，所以，上述想当然得来的椭圆，并非圆的直观图，而据此得到的离心率，当然也就是错误的

那么，圆的直观图到底怎么画呢？或者说，圆的直观图如果是个椭圆的话，能否求出其方程来，这样离心率就可以推导了

我们还是要回归到一般“斜二测”的定义，即图形上的点，到它在x轴的投影的距离缩短一半，然后绕着投影点顺时针旋转45°，据此得到的点即直观图上的点

为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即P'（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即P''（cosθ+√2sinθ/4，√2sinθ/4），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+√2sinθ/4，y=√2sinθ/4，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1

得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了

该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率

这样的问题，对于从未思考过的我来说，细细琢磨后，是一件挺有意思的事情，因为看起来似乎是挺简单的一个问题，但其实还是有点小复杂，容易想当然，因为教材上没有明确提过，但根据其他已经学过的知识可以迁移推导，这就是数学思考的乐趣了，分享给大家，愿君采撷

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