从受力分析的角度教你如何“抱”得美人归
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引言
抱得美人归几乎是每个男人的梦想，无论是电视剧还是电影中，都不乏霸气男主抱得美人归的场景。
图 1: 电视剧中的公主抱
然而，很多时候我们并没有一个可以天天用来陪练的人，同样是中间细两头粗的杠铃成为了完美的替代品。杠铃硬拉（图 3）和深蹲（图 4）是非常有效的全身综合性锻炼动作，能够锻炼抱得美人归所需的所有肌肉。
杠铃硬拉主要锻炼腰背肌群和臀大肌，使我们能够更轻松地承受重量。杠铃深蹲可以增强大腿肌肉群的力量，同时提升腹肌和背部肌肉的稳定性。通过这两种杠铃训练，我们可以实现轻松“抱得美人归”的愿望。即使没有真实的美人在身边，无论男女，这些训练也能提升健康和魅力。
在进行杠铃硬拉和深蹲训练时，不正确的动作可能会导致腰部受伤。此外，掌握一些发力和调整姿态的技巧也是成功“抱得美人归”的关键。为此，本文建立了生物力学模型，研究了这两种杠铃训练过程中的姿态和技巧，为杠铃训练者们提供参考，并助力读者们快速实现公主抱入门！
模型
考虑到杠铃深蹲和硬拉运动过程中人体肢体的加速度较小，本文采用静态力学平衡假设来简化分析。这种假设允许将动态运动视为一系列静态姿态。首先，本文将建立一个三维姿态分析模型，根据运动过程中的重心约束确定特定姿态下人体各关节位置和肢段角度。然后应用二维重物提拉模型，计算特定姿态下 L5/S1 椎间关节的受力情况，以此评估潜在的损伤风险并对技术动作进行优化。
三维姿态分析模型
本文将杠铃运动的过程视为一系列静态姿态。在这些姿中，各关节的位置和肢体的角度并不是相互独立的。这不仅受到身体结构的约束，还必须保证整体平衡，即重心在矢状轴方向上的位置需保持在脚尖和脚跟之间，以防整个身体失去平衡。因此，这种重心位置的约束有助于在已知某些关节位置或肢体角度的情况下推断其他关节或肢体的位置。
为了精确描述人体在特定姿态下各关节和肢体的位置，首先需要建立一个适当的坐标系。以地面作为 - 平面，运动员的矢状面为 - 平面，并以通过脚中心垂直于矢状面的方向为 轴，构建出如图 7 和 8 所示的三维直角坐标系。
在杠铃硬拉和深蹲的运动过程中，假设人体始终保持关于 - 平面对称，且小腿始终围绕过踝关节的固定轴转动。该轴的方向 由脚的朝向和人体直立时小腿的朝向共同确定。
人体直立时小腿的朝向可能并不完全竖直，这是由于站姿角以及双脚间距会导致小腿呈现一定的倾斜。定义脚与 轴的夹角为 （站姿角），脚的朝向可用向量 = [, , 0] 表示。若人体直立时小腿的朝向为向量 ，则小腿旋转轴可通过以下向量积确定：已知踝关节屈曲角（相对于直立状态，小腿向下弯曲接近脚面时，足部与小腿前侧之间减小的角度），就可以通过向量的旋转确定出膝关节位置。
由于人和杠铃的总重心始终在 - 平面内，保持整体站立平衡只需确保总重心在 方向的位置不要超出脚尖或脚跟。为简化分析，本文假设在每个姿态下，身体各部分及杠铃相对于 轴的总力矩为零，即：其中 是人体各肢段的质量（参考图 9 左）， 是各肢段重心的水平位置。上式作为重心约束条件，确保了人和杠铃的总重心在 方向上位于脚的中心位置，从而保持身体平衡。
实际上，对于给定两脚间距和站姿角的运动员，若已知其踝关节屈曲角度，便可确定膝关节位置。由于杠铃硬拉和深蹲过程中，手臂在 - 平面要么保持竖直，要么与躯干方向一致，如果还知道其他一个关节的坐标（例如肩膀的高度）或肢段的角度（例如躯干的倾斜角度），就可以利用重心约束条件和人体几何约束确定其他关节和肢段的位置信息。
在后续的杠铃硬拉模拟中，只需提供一系列踝关节屈曲角和肩膀的高度，就可以依据重心约束条件，通过二分法完全确定出所有关节和肢段的位置，从而确定出一系列杠铃硬拉的姿态。类似地，在后续的杠铃深蹲模拟中，只需提供一系列踝关节屈曲角和躯干倾斜角度，同样可以依据重心约束条件完全确定出所有关节和肢段的位置，从而再现杠铃深蹲每个动作的姿态变化。
二维重物提拉模型
当运动过程中某个姿态所有关节的位置都确定下来后，由于问题的对称性，该姿态的力学平衡都可以简化为 - 平面内的二维问题。本文应用 Chaffin 等人提出的二维重物提拉模型[1]和相关的几何关系计算出杠铃运动过程中每个姿态 L5/S1 关节的受力，进而评估不同动作对 L5/S1 关节的损伤风险。
在二维重物提拉模型中，如图 7 左所示，以 L5/S1 关节为原点建立坐标系，人体躯干方向为 轴。其中 、、、、、、 分别为小腿、大腿、躯干、头颈、上臂、前臂和手的质量， 为重物质量；
( = s, t, k, n, u, f, h, b) 表示身体各肢段和重物所受重力对于 L5/S1 关节的力臂， 表示 L5/S1 关节到原点（）的距离，因此重心约束条件中的 = - ； 为背部棘脊肌的张力， 为腹压等效力， 和 则为它们的力臂； 和 分别为 L5/S1 关节所受的压力和剪力， 为 与水平方向的夹角。以 L5/S1 关节以上的身体部分为研究对象，根据力系的平衡条件有：其中 = {k, n, u, f, h, b} 表示 L5/S1 关节以上的上半身各肢段和重物， 表示重力加速度。由以上三式可以解得背部棘脊肌的张力、L5/S1 关节所受压力和剪力：
腹压等效力 可通过腹压 与横隔膜面积 的乘积来估计，即 = 。文献研究[1,2]显示，男女横隔膜平均面积为 = 465 cm，而 、 都和躯干与两大腿所在平面的夹角 (图 9 右) 有关，表达式分别为
其中 的单位为度，其他物理量均为国际单位制。研究表明 的极限值为 20000 N/m（超过此值时按此值计算），最小值为 0（低于 0 时按 0 计算）[3]。
除了 和 角外，重物提拉模型包括多个特征角度（图 9 右），这些角度也并非完全独立[4]，其中 角是 角的线性函数： 而 角又取决于身体的其他特征角度：
这里， 为躯干与竖直方向夹角， 为膝关节角。至此，就可以根据具体姿态确定出 和 ，进而计算出 ，最终得到用于计算 L5/S1 关节所受压力和剪力的 角。
参数
为了应用上述建立的模型模拟杠铃硬拉和深蹲过程，需要给出运动员各肢段的长度、质量和重心位置。比例常数是最早用于预测人体的测量学方法之一。
通常，通过收集大量人体测量数据，计算感兴趣的每个测量值的长度或重量与身高或体重之间的平均比例。
本研究中的通用人体比例主要来源于文献[5,6]中对广泛人群的统计平均结果，包括人体各肢段长度占身高的比例、各肢段质量占体重的比例以及各肢段重心的位置，具体数据如图 10 所示。
利用这些比例，可以通过输入一个人的身高和体重，快速生成这个人的各肢段长度、质量和重心位置的估算值。例如，对于一个身高为 = 180 cm，体重为 = 75 kg 的成年人，可以估算出其小腿的长度为 = 0.246 = 44.28 cm，小腿的质量为 = 0.046 = 3.45 kg，而小腿的重心位置相对于膝关节的距离为 0.4374 = 19.37 cm。
通过同样的方法，可以快速估算出这个人其他肢段的相关信息，如大腿、躯干、上臂等的长度、质量及其重心位置，为模型提供必要的输入数据。需要注意的是，对于本文的模型，图 8 显示的所有身体尺寸参数并非都是必需的。例如，在杠铃硬拉和深蹲过程中，由于肩关节始终平行于 - 平面运动，肩宽这一参数并不是必要的。
结果
在接下来的部分，本文将使用建立的模型进行杠铃硬拉和深蹲的模拟。模拟设置中有一些共通的参数: 运动员身高 180 cm，体重 75 kg，身体各肢段的信息由图 10 中提供的通用人体比例计算得到；站姿角设定为 20；杠铃重量为 50 kg，杠铃盘半径为 22.5 cm；两脚相对于正常站立姿态侧向偏移 6 cm，以使两脚间距与肩宽大致相等。
每种动作模拟 100 个不同的姿态。在初始姿态时，踝关节处于最大屈曲角度，并随着姿态数的增加线性减小。在最终姿态中，髋关节和膝关节将完全伸直。
在杠铃硬拉的模拟中，踝关节的最大屈曲角度设定为 25，设置过大的踝关节最大屈曲角会导致初始姿态杠铃横杆在小腿后侧。
模拟过程中，初始姿态时杠铃恰好接触地面，杠铃的高度随着姿态数的增加而线性上升。图 11 和 12 展示了模拟得到的三维视角和二维视角下杠铃硬拉的一系列姿态。
起始姿态，膝关节弯曲，身体前倾，手臂下垂，双手握住杠铃，臀部位置高于膝盖但低于肩膀。中间姿态，通过髋关节和膝关节的同步伸直来提升杠铃。最终姿态，髋关节和膝关节完全伸直，整个身体微向前倾，以确保重心落在脚的中心位置。模拟给出的姿态与实际杠铃硬拉过程中的动作吻合。
在杠铃深蹲的模拟中，踝关节的最大屈曲角度设定为 30。模拟过程中，初始姿态大腿位于水平位置，大腿在 - 平面投影与竖直方向的夹角随着姿态数的增加从 90 线性上升至接近 0。其他参数设置与杠铃硬拉模拟中的相同。图 13 和 14 是模拟得到的三维视角和二维视角下杠铃深蹲的一系列姿态。
起始姿态，小腿向前弯曲，大腿水平，双手握住杠铃压在肩上。中间姿态，通过髋关节和膝关节的同步伸直来提升杠铃。最终姿态，髋关节和膝关节完全伸直，整个身体微向前倾，以确保重心落在脚的中心位置。模拟得出的姿态与实际杠铃深蹲过程中的动作吻合。
模型可以计算出杠铃硬拉和深蹲过程中每个姿态下 L5/S1 关节受到的压力和剪力。计算表明，在硬拉和深蹲过程中，L5/S1 关节所受剪力仅在 600-700 N 的范围变化，变化幅度小于 20%。因此，本文不关注于 L5/S1 关节所受剪力。图 15 展示了杠铃硬拉和深蹲过程中 L5/S1 关节受到的压力。
可以观察到，杠铃硬拉过程中 L5/S1 关节所受的压力在起始阶段较大，并缓慢上升，在杠铃高度上升至 47 cm 时达到最大峰值 5888 N。随着杠铃高度的进一步上升，压力开始下降，并且下降速度逐渐加快，最终姿态下压力降至 1463 N。杠铃深蹲过程，L5/S1 关节所受的压力随着杠铃高度的上升也呈现先缓慢上升后快速下降的模式，在杠铃高度为 111 cm 时达到最大峰值 5616 N，最终姿态下为 1174 N。
杠铃运动中，过重的负荷或不正确的动作都可能导致或加剧腰椎损伤。本文的模型可用于评估杠铃运动中的损伤风险并优化动作。模型能够计算出杠铃运动过程中 L5/S1 关节所受的压力峰值，这一压力峰值直接与腰椎盘损伤风险相关。
为了评估杠铃重量对腰椎损伤的风险影响，本文计算了不同重量的杠铃对 L5/S1 关节造成的压力峰值，结果如图 14 所示。从图中可以看出，无论是杠铃硬拉还是深蹲，L5/S1 关节所受的压力峰值均随杠铃重量的增加而线性增长。同时，我们发现相同重量的杠铃在进行硬拉时对 L5/S1 关节的压力峰值高于深蹲。
根据美国职业安全卫生研究的报告[7]，当 L5/S1 关节的压力超过 6.4 kN 时，对大多数人会造成伤害。从图 16 可见，当杠铃重量超过 59.1 kg 和 66.2 kg 时，分别在进行硬拉和深蹲的过程中，L5/S1 关节的压力将超过 6.4 kN。这提示我们：普通人应避免尝试抱起或扛起 60 kg 以上的人。
为了优化杠铃硬拉和深蹲的技术动作，本文还考虑了站姿角和踝关节最大屈曲角对 L5/S1 关节所受压力峰值的影响。不同的站姿角度会影响杠铃提拉过程中大腿和小腿的弯曲方向，而不同的踝关节最大屈曲角度则会影响大腿和小腿的弯曲程度。这两个角度的变化都会影响运动过程中人体的质量分布，进而影响重心位置的动态变化。
图 15 展示了不同站姿角下 L5/S1 关节所受压力的峰值。结果表明，两种动作下 L5/S1 关节的压力峰值都是随着站姿角的增大先降低后上升。对于硬拉，站姿角为 40 时，压力峰值达到最小值 5859 N。而对于深蹲，当站姿角为31 时，压力峰值达到最小值 5601 N。无论是硬拉还是深蹲，都存在一个最优站姿角使得 L5/S1 关节所受的压力峰值最小，但站姿角对压力峰值的影响并不显著：在站姿角从 0 变化到 60 的过程中，两种杠铃运动中 L5/S1 关节所受的压力峰值变化幅度均小于 3%。
图 18 展示了不同踝关节最大屈曲角下 L5/S1 关节所受压力的峰值。两种杠铃运动的模拟结果均表明，踝关节最大屈曲角越大，L5/S1 关节所受压力的峰值就越小。这些结果提示我们：在抱起或扛起美人时，两脚应呈 60-80 的夹角，并尽可能的弯曲小腿，压低臀部，以减小背部棘脊肌对腰椎施加额外的压力，降低腰椎损伤风险。
结论
“抱得美人归”需要男性具备良好的体力和力量，而杠铃深蹲和硬拉运动能有效锻炼到完成此动作所需的核心肌群。然而，过重的负荷或不正确的动作都可能增加腰椎间盘的压力，进而导致损伤。
本文基于二维重物提拉模型，建立了以踝关节、膝关节、髋等关节为节点的三维人体运动模型，并成功应用此模型模拟了杠铃硬拉和深蹲运动。该模型能够计算不同运动姿态下各关节所承受的力，为运动技术的优化提供了重要的量化数据支持。本文特别分析了 L5/S1 关节所承受的压力，并评估了杠铃重量对腰椎损伤风险的影响，同时对站姿角度和踝关节最大屈曲角度进行了优化。
研究结果表明，对普通人而言，60 kg 以上的杠铃容易造成伤害。虽然存在一个最优站姿角可以使 L5/S1 关节的压力峰值最小化，但通过调整站姿角并不能显著降低压力峰值。相比之下，增大踝关节的最大屈曲角度可以显著减少压力峰值。因此，本研究建议：普通人应避免尝试抱起或扛起体重超过 60 kg 的美人；在抱起或扛起美人时，应保持两脚呈 60-80 的夹角，并尽可能弯曲小腿及压低臀部。
尽管本模型能动态模拟和分析杠铃硬拉及深蹲运动，但它仍有局限性。主要限制在于，该模型基本上还是一个静力学模型，没有考虑动力学的影响。因此，对于速度过快的杠铃运动，如奥林匹克举重，可能并不适用。后续研究中可考虑引入动力学分析。总的来说，本研究不仅为理解和优化杠铃运动提供了坚实的科学依据，也为轻松实现公主抱提供了数字化指导，嗯，这才是最重要的。
参考文献:
[1] James Marshall Morris, Donald Brooks Lucas, and Boris Bresler. Role of the trunk in stability of the spine. JBJS, 43(3):327–351, 1961.
[2] Don B Chaffin. A computerized biomechanical model—development of and use in studying gross body actions. Journal of biomechanics, 2(4):429–441, 1969.
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[4] Charles K Anderson, Don B Chaffin, Gary D Herrin, and Larry S Matthews. A biomechanical model of the lumbosacral joint during lifting activities. Journal of biomechanics, 18(8):571–584, 1985.
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[6] Paolo De Leva. Adjustments to zatsiorsky-seluyanov’s segment inertia parameters. Journal of biomechanics, 29(9):1223–1230, 1996.
[7] Health. Division of Biomedical and Behavioral Science. Work practices guide for manual lifting. Number 81-122. US Department of Health and Human Services, Public Health Service, 1981.
原标题：如何轻松抱得美人归？
来源：数学建模
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