写给这些年一直被误解的数学
郭慧清，深圳中学正高（教授级）数学教师，深圳大学硕士生导师，中国教育学会中学数学教学专业委员会理事。重视数学课程教材与信息技术整合的研究与实践，取得了对数学认识有着独到之处的“元的思想”等一批研究成果。
文章丨郭慧清
编辑丨张丹丹
图片丨花瓣网
与“你”相遇
我用女孩最美的年华陪伴你，
我用男孩最初的梦想拥抱你。
今生让我遇见你，
只因我在找寻你。
我有几句话送给同学们，这是以你们的口气表达的。我先问：你认为上述的“你”表示谁呢？
也许同学们会说：“老师，就是你啊！”
谢谢同学们！这是老师最大的幸福。
但是，我今天想说的，是那个“你”表示数学。
由此看来，“你”是一个变量，这是从数学的角度看世界的一个重要观点。
今天，我演讲的标题是“与你相遇”，副标题是“怎样学好数学？”。我想，送给同学们的四句话，已经表达了我对怎样学好数学的基本观点。
为了学好数学，我们要先认识数学。
先看两幅图。
在图1中，“个”中的“I”表示垂直合拢放在胸前的两只手，如果坚持这种状态不愿改变，表示这个人不愿与别人联系，长期如此，“I”会将这个人撕裂，“个”就变成了“小”，这“个人”也就成了“小人”。
在图2中，由“个”到“大”，两只手水平打开了，这种状态表示这个人愿意与人联系，经常这样，这“个人”就成了“大人”。
这两幅图告诉我们：当你把自己的命运与全人类的命运紧紧地联系在一起时，你一定会成为一个伟大的人。
你的这种伟大表现在：向往自然与文明，不仅为自己也为他人创造文明、幸福与快乐。
数学是什么？
我们先看一些具体问题。
问题1（请看图3）：
实际情况是，不是每一个拥有50元钱的人，都会像上表一样花光所有的钱。
由图4、图5、图6，我们就已经知道了这是怎么一回事。这就是数学。
问题2：
如果你邀请朋友在深圳的某餐馆聚会，你会怎样告诉他（她）聚会地点？
如果聚会地点在“笋岗路南，宝安路东的澳葡街”，你会怎样说？
如果你按图7告诉朋友，朋友仍然要找很长时间才能找到聚会地点。
若按图8的方式告诉朋友聚会地点的坐标（单位是m），朋友很快就能到达聚会地点。这也是数学。
数学关注的是运动变化中的不变性；
数学追求最具普遍意义的规律；
数学追求真理；
数学是联系人的内心世界与客观世界的桥梁。
由此看来，学习数学就像做人一样，联系是学好数学的基本途径。
怎样学好数学？
如果数学通常的学习过程是：
听老师讲课；
做练习；
考前复习；
考试。
那么在这样的学习过程中：
有些人连教科书都没有完整地看一遍；
作业做完后连自己也不愿再看；
考前复习时觉得许多东西好像没有学过；
考试完了，数学就完了。
你该怎样学习数学？
1．培养良好的学习品质
对未知世界充满志趣、好奇心，并能持之以恒。
2．选择正确的学习态度
一个真实美好的学习过程，是经历人类文明洗礼，欣赏并遵守规则的过程。
正确的数学学习态度，最重要的一个特征是做好作业。
严格按照数学表达规范做作业；
做好问题比多做问题重要；
做作业不仅仅是做教材、教辅上的习题，更重要的是以学习的内容为例子去体会如何学习；
你的作业就是你的作品，就是你在别人面前的“脸面”与表现。
3．清楚数学层次
我们吃的大米来自图9中的稻穗。从结构上看，这稻穗有“根”、“茎叶”、“谷壳”、“米”，这很像数学中的概念、原理、方法、思想：
数学概念是数学的“细胞”，是数学思维的出发点与落脚点，更是数学思维路径的呈现形式；
数学原理是指建立在数学概念上的结论、规律，如公理、定理、公式，等等；
数学方法是指运用数学概念与原理去解决具体问题的策略与步骤，如因式分解法、配方法、选定系数法、数学归纳法、比较法、同一法、分析法、综合法、反证法，等等；
数学思想是指在整个数学领域具有指导意义的数学精神与灵魂。如数学模型的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转换的思想、归纳与类比的思想、元的思想、算法思想、用样本估计总体的统计思想，等等。
我们平常吃的是米而不是稻草（稻穗的茎叶）。即使这样，我们也是从米中汲取营养后，把剩余物要排泄掉。
同样，我们学习数学，也要学会从数学中汲取营养，这种营养我们把它称为数学素养。
高中阶段的数学核心素养是指数学抽象，逻辑推理，数学建模，运算能力，直观想像，数据分析。
图10反映了数学的层次，也让我们清楚了学习数学的主要目的是汲取数学核心素养。
问题3：三角形
概念：三角形；
原理：内角和定理，正弦定理，余弦定理；
方法：解三角形，利用解三角形进行测量；
思想：元的思想，并由此认识三角形为何是三元对象，理解三角形全等的判定定理；
素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想像。
4．明确数学学习目标
概念清；
原理透；
方法熟；
思想通；
能力强。
高中数学中，常见的数学能力有抽象概括能力、运算求解能力、作图能力、推理论证能力、空间想像能力、数据收集与整理能力、数学技术工具使用能力、数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，独立获取数学知识的能力，等等。
5．理解数学研究过程
（1）从大量相关现象中抽象出研究对象，给研究对象下定义；
（2）将研究对象表示出来；
（3）置新对象于已有的结构中；
（4）研究新对象与原有对象的关系，得出新的结论；
（5）运用新结论为人类服务。
问题4：城市街道路线问题
如图，棋盘式街道中，大量人流从A地出发随机选择路线到达B地。若限制行进的方向只能向右或向上，那么人流中经过E地的人与选择不经过E地的人哪个多？
（1）定义：大量的合乎条件的行走路线我们定义其为路径；
（2）表示：把横向街道从左至右依次表示为a，b，c，纵向街道从下到上依次表示为1，2，3，这样，任何一条路径就是a，b，c，1，2，3的一个排列；
（3）联系：当我们写出若干个排列后，我们就能发现这些排列的特点：a，b，c的顺序一定，1，2，3的顺序也一定，符合要求的排列与某类组合对应；
（4）结论：经过E点的人要多于不经过E点的人；
（5）应用：如果要减轻E点的交通压力，可以在最靠近A点的两个街口安置信号灯，通过调整不同方向的通行时间来减少通过E点的人流。
6．把书读薄
高中数学学习让你形成的数学思维，概括起来就是“模特元定界”。
元的思想：
任何事物都有确定它的基本要素，任何事物的变化及事物与事物之间的联系也均由事物的基本要素引起并确定，我们把确定事物的基本要素称为事物的“元”。从元的角度观察、分析和认识事物，探求事物各部分之间的联系，发现事物的变化规律，并最终利用规律去解决问题的基本思想称为元的思想。
7．掌握学习技术
人类文明的进步已深深地影响并改变着人们的生活。
学习技术的诞生，同样改变了人们的思维与学习方式。如今，如果你拥有一台图形计算器，你再也不用花几天时间去完成一个繁杂的计算，甚至于在瞬间就能得到你想要的复杂图象、回归方程、定积分的值、微分方程的解……
同学们在学习时发生困难，大多是因为数学思维的严谨性、概念的抽象性与计算的复杂性，而解决困难的有效方法就是寻求技术的支持，在抽象的概念与直观的情景之间建立“多元联系”。
问题5：如图所示，某一平原上的四个村庄恰好坐落在边长为10km的正方形ABCD四个顶点上。现要建一个道路网，使任意两个村庄之间都有通道。请你设计一个道路网，并使它们的总长度不超过28km。
8．追求简单与普遍性
问题6：
下列矩形中，所标的两个数字是它们各自所在三角形的面积，问矩形的面积是多少？
基本思考：
利用三角形面积公式求解；
利用相似三角形求解；
利用方程的思想求解；
利用坐标法思想求解；
在技术平台上求解。
数学所记录的是人类活动的痕迹，它有温度、情感与生命：
只要你运用数学的知识、方法与思想，无论你做什么事情，都会表现出专业的品质；
只要你拥有良好的数学素养，无论你的言语、思想，还是行为，都会表现出对规则的尊重和良好的教养。
学习数学的真正目的不是为了考试。
学习数学让同学们增长学识，丰富学养，并因此拥有良好的教养。
最后，一首诗送给大家：
《与你相遇》
如果不是因为你
我不会如此喜爱
今早的红霞
和今晚的月亮
那霞的红
是云的心情
那月的亮
是天的梦想
与你相遇
却是我今生的盼望
1.有些学生学不好数学，很大的原因是对数学没兴趣，甚至厌恶。你教书30多年了，一定遇到过很多这样的学生，你是怎么处理这种情况的？
遇到这样的学生，首要任务是要让他们对数学发生兴趣，这就要求老师要把数学理解得比学生深，把数学内在的好东西表现出来。
以分数来调节是一种措施：通过改变考题的内容和难易，让学生取得一个比以前高的分数。这样的手段可以用来调节，但不是最重要的。最重要的，是要让数学本身来吸引学生。
这需要老师在研究数学问题的时候，不断去了解、思考数学的过去、现在和未来，了解和数学有关的人和事，把一些数学家的事迹讲给学生听，比如陶哲轩，用他的例子来激励他们、吸引他们，是会产生很好的影响的。
2.对待数学学困生或者偏科生，你有什么好的方法和经验？
可能是教学的时间比较长，我遇到的学困生的情况比较多，有时候就像小说里写的一样，一群人都集中到一个地方去了。现在我先把所有我遇到的一些偏科生情况归纳一下。
按照我的理解，数学成绩比较差的学生，会有这样一些基本特征：
1、对数学不关心，完全参与不进来，上课打瞌睡，提不起兴趣；
2、作业表达不清楚，语言混乱、马虎，不符合数学规范；
3、课堂交流、回答问题时，知道答案是什么，但是说不清楚。
对于第一种学生，老师要把数学的味道讲出来，把他们吸引进来，这个方面不是学生的问题，而是老师的问题。
进入到课堂上来了，接下来怎么做呢？我常跟学生说要做到“三清”：想清楚、说清楚、写清楚。任何一个概念，或者说数学的思想、原理和方法，要学好这些，一是要想清楚，弄清楚那些数学符号的意义到底是什么，并分清楚它们的层次。
二是要说清楚，将自己的想法说给别人听，如果别人听不懂，你就会反观自己，意识到自己在哪里出了问题，这个说的过程其实是加深自己对数学的理解及熟练数学符号语言运用的一个过程。数学是抽象的学科，它最终目的不是为了让抽象变成具体，而是为了让学生从不能抽象思维，变成可以抽象思维的过程。很多学生数学学不好，就是因为缺少这种锻炼。
第三是要写清楚，写数学作业，就要将具体事情反映到符号语言的体系中，按照数学学科本身的语言规范来做。如果一个人能够将自己的所思通畅地说出来，还能在纸上表达清楚，那说明你用的语言符号系统是非常规范的。如果不是，就会产生一些问题。
我现在强调学生多看教材，而不是看教辅，因为有些教辅是在利益的驱动下做出来的，语言很不规范。学生作业写不好，要看看教科书里对一个问题是怎么表达的。我现在改作业，在他们本子上画很多圈，不规范的就让他们重新去改。数学能力好不好，考试成绩是一个方面，作业规不规范也是一个重要体现。
3.你认为一个好的数学老师应该达到什么样的要求？
一个数学教师要达到一定的水准，他是不是一名好老师，可以通过四个标准来衡量：第一，是不是很理解数学，或者说数学素养怎样；第二，是不是理解教学；第三，是不是理解学生；第四，是不是理解技术。
我的课，我是希望在一种非常流畅的状态下表达我对数学的理解，给同学们传递一些有用的信息。我理解技术，是在前面三个大家都公认的观点上加的，技术是帮助人类达成一些目标的重要途径，具体到数学方面，技术本身就是数学的一个内容，并且成为了数学的一个组成部分，很多数学问题本身就是在技术平台上做出来的。比如张景中教授，他做的许多研究都是跟计算机高度结合在一起的。
21世纪数学研究的很多内容，都是紧密围绕算法问题和计算机运用进行的，这需要我们主动去接受一些前沿性的东西，一个数学老师如果不跟技术打交道，就会和数学本身产生一种隔阂，甚至发展到根本无法理解的程度。
（对话内容整理自《新教育家》《“数学是最容易学的”——对话郭慧清老师》）
本文为郭慧清老师在深圳中学开学典礼上的讲话
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