量子信息13：绝热几何量子计算

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量子物理ABC：

认识物理，理解量子；

介绍常识，面向前沿。

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1 Berry相位

假定一个量子系统处于一定的态，如果系统的哈密顿量缓慢发生变化，那么根据绝热定理可得：在任意时刻，系统都处于该时刻密顿量的本征态上，在系统演化一段时间后，如果系统回到原来的状态，则量子态也会回到原来的态上，不过此时的量子态将会获得一个新的相因子。

式子中的第一个相因子就是人们熟知的动力学相位

起初，人们普遍认为，相因子γn是无足轻重的，可以忽略掉而不影响波函数的模，因此不具有可观测性。直到1984年Berry指出[1]：γn依赖于演化路径，具有重要而深刻的物理意义，不可轻易忽略，而且是具有几何性质和可观测性。当量子态波函数绕回路C一周时，

2 绝热几何量子计算

我们考虑由哈密顿量控制的单比特门的时间演化过程[2]。任意的2*2厄米矩阵可以用单位矩阵和三个Pauli 矩阵重新表示为

图1：一个自旋1/2粒子的运动方程的解。

从公式（14）中可以看出，这在量子计算中是一种很容易得到的情形。描述量子比特和外部势相互作用的哈密顿量一般是含时的。典型的外部微扰是周期性的，例如，在核磁共振中自旋和振荡磁场的耦合，在光学领域中原子偶极矩和振荡电磁场的耦合。在旋波近似下，哈密顿量可以写成

如果我们控制耦合强度ω1、频率ω和外场的相位ϕ，我们可以制备任意矢量Ω。这表明如果我们知道量子比特的初态，则在单次旋转中，我们可以指定布洛赫球上的矢量n在任何规定的方向上。

图2：磁场中的半自旋粒子。

（1）几何相的计算

此结果可以推广到任意路径，其结果是几何相等于路径C在布洛赫球面上所围的立体角的一半。

（2）动力学相的消除

为了只使用几何相位来执行量子门操作，有必要找到一种动力学的消除方法。其中一种方法被称为自旋回波（spin-echo）重新聚焦技术。基本思想是将循环演化应用两次，第二次应用时被一对快速的π相位转换围绕，简单的说就是自旋上下两基矢的转换。这种复合变换的净效应将是取消所有获得的相位，除非第二次循环演化是通过第一个周期，但在相反的方向上进行，所以动力学相位获得消除。

图3：两个相互作用的半自旋原子核的能级图解。第一个粒子的跃迁频率依赖于第二个粒子的态。

（3）两比特控制相位门

几何相可以用来实现两比特控制相位门。我们考虑由两个没有相互作用的半自旋粒子a和b组成的系统。在以标准场为参考系中，哈密顿量可以写成

当两个粒子足够靠近时，会发生相互作用，并且产生能级劈裂。在这种半自旋粒子的情况中，一个粒子的磁场会直接或者间接地影响另一个粒子的能级。如果两个离子的自旋方向值一致的，则体系的能量会增加πJ/2，反之则减少πJ/2。考虑粒子之间的这种相互作用之后，体系的哈密顿量可以写成

现在我们加上标准磁场，并且应用缓慢变换的旋转场。则我们可以根据方程（23）得到当自旋依赖给定的共振跃迁频率可以获得一个Berry相位。因此，一个周期演化结束后，由于粒子b有两个可能的态，粒子a自旋将会获得两个不同的Berry相位。换句话说就是，当粒子b处在自旋上态时，粒子a自旋将会获得两个不同的Berry相位

因为自旋b的态影响a获得的相位，这个门就是我们需要得到的控制相位门。

[1] M. V.Berry, Proc. Roy. Soc. Ser. A 392, 45 (1984).

[2] A. Ekert et al., J. Mod. Opt., 47, 2501 (2000).

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