量子信息14：非绝热几何量子计算1

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Aharonov-Anandan相位

Aharonov与Anandan对Berry绝热情形下的几何相做了重要的推广[1]，他们放弃了绝热近似的假定，但假定体系的量子态是按照薛定谔方程进行周期演化的，其周期为τ，即

上面的β为动力学相以及而且很长时间都被大家忽视的几何相γ。因为有了Berry相，它才被人们注意和理解。注意到相位γ和Berry相两者十分相似，不同的是它是在非绝热条件下得到的。当然，几何相在绝热近似下等同于Berry相。因此γ又称为非绝热Berry相，或Aharonov-Anandan（AA）相。

自旋1/2系统

为了克服绝热条件下操作时间太长这个弊端，人们提出用AA相位来构建几何量子门[2, 3]，这样大大缩短了量子门的操作时间。AA相位差一般包括几何相和动力学相两部分。因此，为了得到非绝热的几何相，我们必须想办法消除产生的动力学相位。其中一种方法是选择哈密顿量的暗能态，在设定的参数空间中作循环演化。在这种情况中，系统的态始终是能量本征值为0的本征态，则动力学相因子始终为0，等到完成参数空间中的一次循环，总的动力学相的积累也就是0。另一种方法是通过多环机制来达到动力学的消除具体的做法是，设计特定的多个环路，虽然在每个回路中动力学相都不为零，但是几个回路中动力学相的总和等于零。

以自旋1/2系统为例，把系统的态投影到布洛赫球上，每个态对应一个布洛赫球上的一个基矢。考虑一对正交基矢

一般情况下γ包含动力学相和几何相。为了消除动力学相，研究人员提出了一种多回路的方法。

非绝热几何量子计算

我们以单循环实现纯几何相位的方案[4]为例来介绍。对于单比特门，假定输入态为

图1：单量子比特门演化过程示意图。

如图1所示，我们在布洛赫球上执行ABCDA这样的演化曲线。具体操作如下：

图2：两比特量子门在布洛赫球上的演化路径。

因为整个过程中都是沿着测地线，因此不会有动力学相的积累，最后得到的为几何相因子。

接下来，我们考虑量子比特2处于态|1>的情形。正如前面提到的，此时在第二步期间比特1的哈密顿量为零。因此可以得到

上述过程中的演化曲线对应布洛赫球上的ABE，在这个过程中，同样没有动力学相的积累。

综合量子比特2处于两种不同的态的情况，我们得到如下的变换

代表的是两比特控制操作，并且这个门操作是完全基于非绝热的条件取得的几何相。

另外，如果在比特2处于态|1>时，我们可以关掉作用于比特1的磁场，事实上这一点在NMR系统中不难做到，使得这样的情况下比特1的哈密顿量始终等于零，可以得到演化算符为

这也是一个两比特的控制相位门。

[1] Y. Aharonovand J. Anandan, Phys. Rev. Lett., 58, 1593 (1987).

[2] Wang Xiang-Bin and M. Keiji, Phys. Rev. Lett. 87, 097901 (2001).

[3] S.-L. Zhu and Z. D. Wang, Phys. Rev. Lett., 89, 097902 (2002)

[4] X.-D. Zhang, S.-L. Zhu L. Hu, and Z. D. Wang, Phys. Rev. A 71, 014302 (2005)

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