港科大曾蓓团队取得量子纠错进展
光子盒研究院出品
最近，香港科学技术大学物理系曾蓓教授团队在预印论文《用于量子纠错的量子变分学习》中提出了VarQEC——抗噪声的变分量子算法，并可以通过硬件高效的编码电路来搜索量子码。曾蓓也是深圳量旋科技有限公司的首席科学家。这一成果为理解量子纠错码（QECC）提供了新的思路，也将有助于通过信道自适应纠错码来提高设备的短期性能。
容错量子计算机有望比经典计算机更快地解决一些计算问题，如量子化学模拟、素因子分解、求解线性方程组等。然而，含噪声中等规模量子（NISQ）系统所携带的量子信息非常脆弱，很容易被环境改变，目前保持相干性、保护量子信息免受噪声影响的最有前途的技术是量子纠错码。
具体来说，量子纠错的主要思想是在一个更大的系统中对低维量子态进行编码，这样在计算过程中出现的错误可以通过物理冗余进行纠正。只要噪声率低于特定阈值，QECC就可以纠正错误，并将错误概率从降低到更高的阶数。近年来，QECC与其他物理领域（如：量子引力）之间的内在联系也得到了注意。
学术上，Knill和Laflamme设计了量子纠错的充分和必要条件，称为Knill-Laflamme条件，但求解相关方程组非常困难；实践中，研究人员通常在泡利框架下分析QECC，并开发了各种QECC系列：表面码、Calderbank Shor-Steane（CSS）码、稳定码、码字稳定码（CWS）码、量子低密度奇偶校验码。
截至现在，由于目前的门噪声率仍然远远大于要求，实验中还没有实现高保真的逻辑量子比特或相关运算；长期以来，除了分析结构外，研究人员一直试图用计算方法找到QECC，然而这些算法无法找到任意代码，且非常耗时。如今，随着人工智能的普及，研究人员也开始用神经网络设计和优化量子码。
在经典计算和通信中，对消息编码时会添加冗余以便检测和纠正错误。量子纠错背后的原理也是一样的：虽然每个比特都可能以一定的概率翻转，但编码消息可以高概率恢复；使用低保真度的物理量子比特对逻辑量子信息进行冗余和非局部编码，量子误差可以通过综合征测量来检测，并通过酉运算进行校正。
实验中，大多数量子错误都是不相关的单量子比特错误，QECC能力的一个度量指标是它能检测到的单个量子比特错误的数量。尽管有各种构建QECC的方法，但几乎所有方法都是在泡利框架下构造和分析的。本项研究旨在寻找基于基本原理的量子编码，即Knill-Laflamme条件和量子错误检测条件。涉及的算法和后续代码连接的结构如下图所示：
VarQEC和量子编码串联的示意图。(a)通过小批量学习来训练编码器：团队从错误集中迭代抽样，运行变分量子电路U(θ)并进行测量，然后更新θ；(b)在找到带有编码器U1、U2、U3,......的量子码后，将这些编码器分层串联起来，得到一个大距离的量子码。
变分量子电路（VQC）已被广泛用于近期量子算法的各种任务，如基态制备\特征能量估计、量子数据压缩、量子电路编译等。给予一个产品状态作为输入，人们根据测量结果迭代更新电路参数，最后输出所需的状态。如下图所示，在VarQEC中，输出的态作为量子密码的基态，而它的编码器是由量子电路给出的。
1. 对称编码
团队首先利用一些代码参数的对称代码来验证算法的有效性。对于代码参数
由于最后一层的Rz门和Rzz门可以互换，而Rz-Rx-Rz旋转可以实现任意的单量子比特单元，因此可以通过相同的VQC找到局部等价的QECC。原则上，任何n量子比特单元演化都可以通过这个有足够多层数的解析实现，因为{Rx,Rz,Rzz}是一个通用的量子门集。
n=5,k=2的连接图和周期性结构变异定理和可实现的量子编码的示意图。(a)有五个物理量子比特的二方连接图。灰线连接相邻的量子比特。{Q0, Q1}是用来准备逻辑数据的选定量子比特；(b)相应的具有L层的变异量子电路（VQC）。在每一层内，我们对每个量子比特应用Rx-Rz旋转，对相邻的量子比特应用Rzz门；(c)随着L的增加，VarQEC能够在高维流形中找到量子密码，直到超参数化（L=Lcrit）。
接着应用以上算法来搜索
代码参数n、K、d的最小成本函数。(a)n=3、(b)n=4、(c)n=5、(d)n=6、(e)n=7、(f)n=8、(g)n=9、(h)n=10、(i)n=11、(j)n=12。
所有这些代码都可以通过浅层VQC得到，下图展示了小批量学习阶段的一些成本曲线，在每个迭代中，研究团队抽取20%的作为批次，并以学习率
2. 非对称编码
量子实验中，物理量子比特的退相干时间主要受两个因素影响：弛豫时间和退相干时间。弛豫会导致所有的泡利误差，而去相干只导致相位翻转（Pauli-Z误差）。将X、Y和Z误差的概率分别表示为
在大多数情况下，去相位是主要的，相位误差比X/Y误差更普遍。通常Z误差概率远大于X/Y误差，在这里研究团队假设X/Y误差概率更大，此时，退相干的唯一来源是量子比特的弛豫，这个过程在有限的温度下被模拟为广义振幅阻尼通道：
其中γ是阻尼率，p是一个常数，由温度决定。A0和A2引入了O(γ)级的Pauli-Z误差；A1和A3引入Pauli-X和-Y误差。
现在我们固定=2，并应用VarQEC来寻找2阶有效距离为3的不对称码。我们重新发现了编码，参数为：
在后选择的帮助下，这些编码有希望达到比de(2)=3的编码更低的逻辑错误率。
3. 信道自适应码
本节考虑了具有相关噪声的量子信道。我们应用VarQEC来寻找相应的信道自适应编码。在量子计算实验中，相关误差是无处不在的。当两个相邻的量子比特没有充分分开时，发生在它们身上的错误可能是高度相关的。这些空间上的相关错误使许多著名的量子密码失效，并使容错量子计算的希望变得渺茫。下文详细研究了两个相关的噪声信道，并介绍VarQEC发现的信道自适应编码。
1）近邻集体振幅阻尼
如下图所示：
近邻集体振幅阻尼的示意图。(a)环中的量子比特，相邻的两个量子比特集体与一个环境相互作用。(b)衰减过程。
假设拥有n个环状相邻量子比特，每两个相邻的量子比特共同与一个环境相互作用，并表现出振幅阻尼的集体动力学。相应的克劳斯算子是：
为了找到能近似纠正一个近邻的集体振幅阻尼误差，研究团队将上述克劳斯算子相对于τ进行扩展，得到：
2）近邻的集体相位翻转
这一通道由两个阶段组成。在第一阶段，一个具有噪声的局部去极化误差率p在每一量子比特上发生，此处定义相应的全局噪声通道为；在第二阶段，最近邻的集体相位翻转误差ZZ，噪声率pzz发生在相邻量子对上。
直接将VarQEC应用于以上公式并不节省资源，出于实际目的，研究团队将算法适用于以下通道：
QECC可以将一阶误差推低到一个极小的水平。为了找到能够纠正多个错误的量子码多重错误，我们可以选择一个高阶近似并以类似的方式实现VarQEC。对于一个通用的输入状态ρ，通过噪声信道后收到相同状态的概率约为0.01，在VarQEC中要检测的目标错误列表是
具有6∼9个顶点的硬件连接图（物理量子比特）。填充的圆圈代表初始的k个量子比特，以准备逻辑数据。对于这些图，存在信道自适应编码，以保护k个量子比特的信息免受一般的一量子比特错误和最近邻集体相位翻转的影响。编码长度n、编码维度K和VQC层数L是:
(a)n=6,K=2,L=5;(b)n=6,K=2,L=6;(c)n=7,K=2,L=2;(d)n=7,K=2,L=2;(e)n=8,K=4,L=4;(f)n=8,K=4,L=4;(g)n=9,K=4,L=3;(h)n=9,K=4,L=2。
尽管前文结果是通过数值模拟得到的，但VarQEC是一种混合的量子-经典算法，运行在NISQ设备上的量子门不可避免地有噪音。在本节中，我们证明VarQEC对随机门的错误有相当大的弹性。只要错误率低于一个合理的阈值，VarQEC就能找到一个有效的编码电路，准备好正确的代码。这种弹性在本质上类似于变分量子编译中的噪声弹性，并得到以下结果：
使用VQC的VarQEC的抗噪能力与连接图。（a）噪声型和理想型VQC成本函数与闸门错误率的关系；（b）、（c）平均λ与VQC层数的关系。
VarQEC对硬件噪声具有鲁棒性，因此在NISQ时代特别有前途。一个值得进一步研究的问题是如何在VarQEC中选择资源效率最高的变分量子电路。有理由相信，最佳的VQC定理是与编码有关的。例如，当目标量子编码是平移不变量时，人们可以使用具有一定对称性的VQC，不同的门可以共享相同的参数。如果我们稍微修改一下成本函数，VarQEC就可以用来寻找一些QECC的变体，如混合量子-经典编码；VarQEC也可以直接修改为经典算法，当无法获得NISQ处理器时，可以用张量网络或神经网络量子态等经典变分法代替VQC，然后类似地只用经典计算机实现优化和搜索合格的量子码。然而，编码电路不能自然获得。
随着门错误率的降低和电路深度的增加，VarQEC将变得对噪声有更强的抵抗力。此外，科学家还可以考虑在VarQEC中更精确地估计成本函数，如虚拟蒸馏等错误缓解技术。
论文链接：https://arxiv.org/abs/2204.03560
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