拨云见月，解法自然来----2018年全国卷Ⅲ理科21题的解法探析

林国红解忧数学杂货店 2022-07-16

作者：林国红广东佛山乐从中学

来源：本文发表在《中学数学研究》2019年第4期

文章摘要

当前，函数导数题常作为高考的压轴题。导数压轴题在考查基础知识的同时，注重对能力，数学思想方法方面的考查，有综合性强，思维量大，方法繁多，技巧性强等特点。2018年高考数学全国卷Ⅲ理科第21题是一道函数的综合性试题,该题的思维难度很大，有着浓厚的高等数学背景。本文站在高等数学的视角对问题进行探析，寻找问题的本质内涵，分析解题思路，并给出几种解法。

一、题目呈现

题目分析：题目结构简单，知识方面主要考查导数的运算，利用导数工具证明函数不等式，函数的极值点及其相关运算；思想方面主要考查转化与化归，分类讨论等思想。综合考察考生逻辑思维、转化、推理论及运算等方面的能力。试题重点突出，层次分明，对于考生运用所学知识，寻找合理的解题策略，以及转化和运算能力有较高的要求，较好地达到了考查目的，体现能力立意的命题原则，作为压轴题起到了把关作用。

二、解法探析

由于问题（1）较为简单，所以只给出2种证法，重点放在问题（2）的分析与解答。

②另外这样处理又会出现一个新问题：原函数除以某个函数后，函数的极值点会发生变化吗？（解答中的长方形框处）。

这实际涉及到函数逼近方面的知识，由帕德逼近可知：

要注意的是：利用函数极值的第三充分条件，求出必要条件后要验证其充分性。

三、追本溯源

可以看出今年考题的第（2）个问题的“母题”来源于2017年的考题，只是将条件换了一个“马甲”而已。所以在高考的备考中，适当加入高考真题的训练的必要的，特别是近五年的高考真题。

另外，数学的魅力在于“变化”，有“变”才能“活”,变式、引申、推广是促进理解，研究问题的常用手段，恰当的“变式”能避免学生在低层次重复，能使学生多角度、全方位地理解知识，思维能力得到拓宽和加强。所以数学教学不仅要解决问题，还要注重问题的变式拓展，要重视高考题的引领作用，引导学生积极探索一题多变、一题多用，这样既能巩固基础知识，开拓解题思路，又提高了发现问题、分析问题、解决问题的能力，同时达到了举一反三，触类旁通的目的。

四、解后启示

近年来，高考的命题者通过挖掘高等数学中的一些素材来命制高考试题，此类试题也逐渐引起老师们的关注。但这并不意味着要将过多的高等数学知识下放到中学里来，加重中学的负担，应该是教师能站在高观点的角度看待问题，找到问题的本质内涵，更好地指导中学的数学教学。

教师要重视高考题，并认真研究，充分挖掘和发挥试题的作用及价值，引导学生从不同的思维角度分析同一道题目，得到不同的解题方法，精学一题，妙解一类，进而提炼出数学思想与方法，实现教学功能的最大化、最优化。从数学知识的角度来看，通过解题体会知识之间的转化过程，发现知识的相互联系，构建知识网络体系。可以使学生在学习基础知识、掌握基本技能的同时，能将知识融会贯通，开阔眼界，活跃思维。这样对于开拓解题思路，提高课堂教学效益，全方位培养学生的数学核心素养都有着深远的意义。

五、参考文献

[1] 华东师范大学数学系，数学分析(第四版)[M]，高等教育出版社，2010。

[2] 林国红，多视角，巧突破----2018年全国卷I理数第16题解法赏析与探究[J]，中学数学研究（华南师范大学版），2018（9）：44-46。

[3] 林国红，例题背后有文章----对课本一类例题的探究[J],数学教学，2018（7）：40-41。

编者注：林国红老师以18年3卷的压轴题为例，从多角度对该问题进行了分析，并引用了高等数学中的“洛必达法则”以及高阶导数等相关知识，显示其深厚的数学功底。作为教师而言，对问题理解得越透彻，站的角度越高，在教学的过程中将会越从容。

林老师现任顺德区兼职教研员，每年在各高中数学专业期刊上发表20多篇论文，是一位非常“高产”的数学教师，且其涉及的版块很多，请大家持续关注本公众号，我们将不定期的推送林老师的相关论文。

本文转自：顺德数学家园

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