从北京物理高考24题谈空气阻力

第一作者：胡继超

第二作者：陈曦

北京市高考物理试卷近年积极创新，将微观与宏观的结合，鼓励同学利用所学物理知识解决生活问题，今年北京市高考物理第24题就是一道非常有趣的问题。题目内容如下：

雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

（1） 质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。

（2） 将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。

a． 设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度与半径r的关系式；

b． 示意图中画出了半径为的雨滴在空气中无初速下落的v-t图线，其中对应半径为的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v-t 图线。

（3） 由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为）。

标准解答如下：

（1） 根据动能定理

可得

（2） a. 根据牛顿第二定律

得

当加速度为零时，雨滴趋近于最大速度雨滴质量

由a=0，可得，雨滴最大速度

b． ①

如答图2

答图2

（3） 根据题设条件：大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。以下只考虑雨滴下落的定向运动。

简化的圆盘模型如答图3。设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变。在Δt 时间内，与圆盘碰撞的空气分子质量为

答图3

以F 表示圆盘对气体分子的作用力，根据动量定理，有

得

由牛顿第三定律，可知圆盘所受空气阻力

采用不同的碰撞模型，也可得到相同结论。

一道好题，总是会激发同学们的思考，此题解罢，自然会有好奇心强的同学提出疑问，空气阻力大小究竟和速度的二次方成正比还是与速度的一次方成正比。

物体所受的空气阻力通常由三部分构成，第一是气流撞击物体所产生的阻力，也就是本题让我们求解的部分，第二是摩擦阻力，通常情况，车辆即使高速行驶，气流与车身的摩擦阻力也基本可以忽略不计，第三则是外形阻力，当物体向前运动的时候，会在后面形成一个真空区，从而导致周围气体分子加速运动，这部分阻力与气体的粘滞系数、雷诺数以及外形（空气阻力系数）有关，在高速运动中，这部分阻力占有主要作用。

这里我们先考虑对于雨滴这样的低速运动物体来说，如何利用碰撞模型计算圆盘形雨滴下落时，气流撞击产生的空气阻力。

在碰撞模型中，应该把气体分为两部分，一部分是圆盘下方的气体，一部分是圆盘上方的气体，当圆盘以速度v下落时，被圆盘上方和下方的气体分子同时碰撞，产生的作用力之差为圆盘受到的由碰撞产生的空气阻力。因为气体分子热运动的不规则性，同时与圆盘碰撞的气体分子有不同的速度大小与速度方向。

图1

如果气体稀薄（气体分子的自由程大，与板碰撞后的气体分子不会碰撞周围其它分子），且板的速度缓慢，我们可以认为板的运动并不改变气体中分子按照速度分布的函数。取竖直向下建立z轴，此时，我们可以设在板的下侧，竖直向上分速度为的气体分子有个，则在Δt时间内，在圆板的下表面以该分速度与圆板碰撞的气体分子位于一个以S为底，以为高的圆柱体内， 其数目为。这些气体分子在z轴方向上相对板的初速度为，碰撞后对板的速度大小也为，故气体分子对地的速度大小为，若气体分子质量为m，其动量变化量。

由动量定理可知，板给这部分气体分子的作用力

在板速度很低时，可以认为板上方竖直方向分速度竖直向下的气体分子也会都撞击到板上，并产生大小为

的作用力，则两个作用力之和为

由牛顿第三定律可知，以竖直方向分速度大小运动的粒子对圆板的作用力大小也为，方向竖直向上。

对不同运动的粒子与圆板的作用力求和，可得圆板所受的空气撞击产生的阻力

虽然高中生并不知道的具体分布函数（麦克斯韦分布律），但显然这个阻力与圆板下落速度的一次方成正比。

若要具体算出该作用力，可以由麦克斯韦速率分布律求得，这就是著名的斯托克斯公式。

该结论适用于圆板速度非常小的情况，此时可以认为圆板上方所有向下运动的气体分子都可以撞到圆板，而圆板下方所有向下运动的气体分子都不会撞到圆板。

若板的速度较大时，在考虑气体分子碰撞产生的阻力时，在板上方向下运动的分速度小于板速度V的气体分子就不能撞到板上，而在板下方则会多出来竖直向下分速度小于V的气体分子对圆板的撞击。此时就要调整两个作用力的积分区间，当V远大于气体分子热运动速率时，可以认为圆板上方的气体分子几乎都不能与板发生碰撞，此时的圆板所受的碰撞产生的作用力

所以，圆板所受的撞击产生的空气阻力，n为单位体积内气体分子的个数。此结论也可以由气体分子相对圆板相对静止，只是运动的圆板与气体分子碰撞快速得出。

对北京市这道高考题来说，如果让考生在高中范围内推导气体阻力与速度平方成正比，题设更准确的表达应为“将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，当圆盘下落速度远大于气体分子热运动速度时（实际下落时达不到这么大速度），气体分子的热运动可以忽略不计，请在此条件下证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力。”至于题目提到的“由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。”这个结论当圆盘一开始运动后就已经不再成立了。

用碰撞模型推导要求雨滴的下落速度远大于气体分子热运动速率，这个条件很难得到满足。通常雨滴的下落速度只有几米每秒，而气体分子热运动速率大都是几百米每秒。实际当圆板运动速度非常大的时候就要考虑外形阻力，此时就应使用流体模型。我们查阅了张兆顺、崔桂香教授编写《流体力学》和朗道编写的《流体动力学》，发现圆球在流体中所受阻力为

其中就是圆球（雨滴）运动的速度v，其他物理量都是只依赖于液体和圆球自身性质的常数。假设，则上述阻力公式可以写为。

首先从数学上来考察的意义。圆球受到的阻力应该是圆球速度的函数，即。圆球静止时不受阻力，即。在v=0附近对做泰勒展开，忽略v三阶以上的量得到。当圆球的速度足够小时，阻力满足。当圆球速度足够大时，阻力满足。

接下来考察的物理意义。根据《流体力学》，当圆球的速度足够小时，圆球周围流体的流动满足斯托克斯流动模式，压强均匀分布。流体流过圆球时受到的压力平衡，圆球前、后方流体的宏观流动速度相同。此时流体对圆球的黏性起主导作用，导致。这和碰撞模型的结论是一致的。当圆球的速度足够大时，圆球周围流体的流动满足奥辛流动模式，压强分布不均匀。流体流过圆球时，圆球前、后方的压强差使流体流动的速度加快。此时圆球的动量转化为流体宏观流动的动量，导致。这和流体模型的结论是一致的。所以说流体模型和碰撞模型都只在特定条件下成立。

为了推导阻力公式，需要求解纳维尔－斯托克斯方程。这已经远远超出了高中物理的范畴。在此我们提出一个微观模型，对阻力公式做定性推导。引入以下假设：

1. 将雨滴近似为面积为S的圆盘，运动方向和圆盘垂直。

2. 所有空气分子无规则热运动速度的方向都和雨滴速度方向平行。

3. 单位体积内分子数为n。雨滴前方一半空气分子的热运动速度和雨滴速度同向，另一半空气分子的热运动速度和雨滴速度相反。雨滴后方的空气分子亦然。

4. 雨滴以速度v下落时挤压其前方的空气，使得这些空气的宏观流动速度为，方向和雨滴运动方向相同。

5. 是v的函数，即。雨滴静止时，雨滴前方的空气也静止，即。当雨滴速度不是特别大时，可以近似认为。

6. 同理，近似认为雨滴后方的空气的宏观流动速度雨滴运动方向相同，且满足。

7. 以空气为参考系，所有分子热运动速度的大小都等于u。则地面参考系中，空气分子的速度如图2所示。

8. 空气分子热运动的速度u远大于空气宏观流动速度、和雨滴的运动速度v。所以只有向着雨滴运动的空气分子才能和雨滴发生碰撞。

上述假设可以总结为图2所示模型。以圆盘为参考系，雨滴前方向着雨滴运动的分子速度大小为时间内与圆盘碰撞的空气分子质量为

图2

和雨滴弹性碰撞后这些分子的速度反向。根据动量定理，圆盘受到的向后的力为

同理圆盘后方分子碰撞圆盘产生的向前的力为

所以圆盘所受合力为

其中

。这样我们就得到了气体阻力的一般表达式。我们简单讨论的物理意义。首先、，所以

是阻力。其次，中包含有空气分子无规则热运动速度u，所以来自于做无规则热运动的分子和雨滴的碰撞。如果我们像第24题参考解答那样忽略分子无规则热运动，这一项就不存在了。第三，下落过程中，雨滴挤压其前方的空气，所以雨滴前方的压强大于其后方的压强。雨滴前方的一部分空气绕过雨滴来到后方的过程中，雨滴前、后方的压强差使得空气的宏观流动速度增加，所以有。项也代表了阻力，它起源于雨滴和空气之间的宏观动量转移。这个式子告诉我们，忽略分子热运动，考虑雨滴前后空气宏观流动速度的差别时，。忽略空气宏观流动速度变化，考虑分子热运动时。这和流体力学严格计算出的结果相吻合。

本文中，我们从热学和流体力学的角度出发，讨论了雨滴下落过程中所受阻力的表达式。分析表明，当雨滴的速度足够小时，空气对雨滴的黏性起主导作用，阻力满足。当雨滴速度足够大时，雨滴的动量转化为空气宏观流动的动量，阻力满足。在此基础上我们修正了空气阻力的碰撞模型，推导出空气阻力的定性表达式。

参考文献

［1］赵凯华，罗蔚茵. 新概念物理教程·力学[M]. 2版. 北京：高等教育出版社,2005.

［2］赵凯华，罗蔚茵. 新概念物理教程·热学[M]. 2版. 北京：高等教育出版社，2005.

［3］张兆顺,崔桂香. 流体力学[M]. 2版. 北京：清华大学出版社，2006.

［4］朗道，栗弗席兹. 流体动力学[M]. 5版. 李植，译. 北京：高等教育出版社，2013.

作者简介:  胡继超，男，中国人民大学附属中学物理高级教师，主要从事中学物理教学及高中物理竞赛研究工作，[e-mail]；陈曦，男，中国人民大学附属中学物理一级教师，从事中学物理常规教学和研究性学习（IYPT）教学工作，[e-mail]。

引文格式:  胡继超，陈曦. 从北京物理高考24题谈空气阻力[J]. 物理与工程，2019，29（4）：优先出版.

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