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俞正强：为什么要教对数学课？
（一）
我们经常讨论怎么把数学课上好。工作时间久了，面对学生各种各样的学习表现，发现我们的数学课，首先要教对。学生的许多不良学习状况的出现都是因为我们没有教对，即错的教一定生出更多错的学，而我们老师却不知道自己没有教对。这样说，可能老师们会十分不解或十分生气：我们教错了吗？我们先来讨论一个例子：一辆汽车每小时行驶80千米，5小时行驶多少千米？二年级的学生都会这样做：80×5=400（千米）。到了五年级，学生们学习了方程，要求他们用方程解决问题，于是这道题目要这样做：解：设行驶x千米，列方程得
x÷80=5x=5×80x=400我们所有的老师都不曾对这样的学习产生过怀疑——这是很自然的啊。但如果我们站到学生的角度看这个变化，学生会十分不解：明明80×5即可解决此问题，为什么要如此麻烦地用方程呢？所以，小学阶段的学生都十分抗拒或者或多或少地存在抗拒用方程解决问题的心理倾向。在小学高段任教时间较长的老师很多会有这样的发现：在考试的时候，若非题目后面注明用方程解，学生通常不会用方程解。这种现象如此普遍，以致我们认可了这种现象，且视之为正常。因为视之为正常了，所以我们失去了对我们教学是否正确的审视。书本中对方程有过这样一个定义：含有未知数的等式叫方程。根据这个定义，我们把5+x=8视为当然的方程，求得x=8-5=3，即方程的解。所以，现在小学里把5+□=8视为方程的雏形。
（二）
对方程，主要认识两个点：一个认识点是什么是未知数，这个点在“用字母表示数”中解决。
另一个认识点是什么是等式，这个点应该在“认识方程”中解决。5+3=8是等式吗？我们从来没有去思考过。等式须有一个等量，等式所表示的关系我们叫等量关系。数量关系和等量关系一样吗？在二年级的时候，学生们面对的问题是这样的：从甲地到乙地，一辆汽车每小时行驶80千米，5小时行驶完，问甲乙两地之间的距离是多少？学生可用一个算式来表示：80×5。这个算式的理解依据是从甲地到乙地有5个80千米。从量的角度来思考，速度与时间之间的关系是相乘，相乘后得到一个新的量，即路程。完整地说是速度×时间=路程，此谓数量关系。数量关系中的三个量之间是互逆的，于是得到：路程÷速度=时间；
路程÷时间=速度。到了五年级的时候，学生们面对的问题是这样的：从甲地到乙地，货车每小时行驶80千米，5小时行驶完；客车每小时行驶100千米，4小时行驶完。问题变复杂了：从二年级时候的一件事情一个主角演绎出一个故事，变成了五年级时候的一件事情两个主角演绎出两个故事。因为问题变复杂了，所以思考长度也发生了变化。货车有货车的速度、时间与路程，客车有客车的速度、时间与路程。因为两个主角都做了“从甲地到乙地”这件事情，可见三个量中有一个量是一定的，即路程一定。这个一定的量即两个主角演绎的两个故事中的等量。
这样，学生便有了等量的概念。因为有了等量，便可以把两个算式联结起来：80×5=100×4。等式表示两个式子相等，这种关系叫作等量关系。与数量关系中互逆性有别，等式中遵循的是守恒，即等号两边同时增加、减少，或同时扩大、缩小，相等关系是不变的，即平时所谓的等式性质。通过以上分析，我们是否把等式这件事情说清楚了？我们来看我们的教材是怎样认识方程的：不论哪个版本的教材，都采用一个天平秤来做道具，左边等于右边，即等式。这种对等式的认识混淆了算式和等式之间的差别，只得了其形而未得其神，给学生们用方程解决问题带来诸多困惑。
（三）
方程与算术、等式与算式并不同，我们可以对其做如下进一步描述。题目：从甲地到乙地，货车每小时行驶80千米，5小时行驶完；客车每小时行驶100千米，几小时行驶完？用等式来解决，其思考过程可以描述为：审题：一件事情两个主角，等量为路程，得到等量关系——货车速度×货车时间=客车速度×客车时间。
因为客车行驶时间未知，所以设客车行驶时间为x，得到：80×5=100×x用算式来解决，其思考过程可以描述为：
（四）
我们用“方程的认识”在说明教对的问题，如果读者承认这里有问题，那么，大家势必会接着有一问：这是孤例吗？小学数学中还有别的例子吗？我能肯定地回答：还有很多。与“方程的认识”联系最紧密的一节课是“用字母表示数”。对这节课，我们的课堂教学中有这样一个版本：
（五）
在小学阶段“数与代数”这一领域内容中，有两节课教得对与否至关重要，即以上所提到的两节课——“方程的认识”和“用字母表示数”。这两节课上对了，学生的数学学习特别是用方程解决问题中的不会设、不会列这两个问题，就会得到基本解决。而这两节课，是这一知识内容的种子课。2013年在北京师范大学教育学部教育家书院学习期间，在顾明远先生、郭华导师和李芒导师的帮助下，得到教育科学出版社刘灿先生的支持，出版了《种子课 一个数学特级教师的思与行》（简称《种子课》）一书。五年来，此书受到一线教师和教育专家们的好评，特别是郑毓信教授，专门写了一篇关于《种子课》的读后记。（详见本书附一）还有上海社会科学院的王泠一先生，也写了《种子课》的书评。（详见本书附二）为此心存感恩，希望自己真的能够用自己的经验帮助那些以教书为乐、一心为学生的老师们改善自己的课堂教学。那么，如何上好种子课？哪些课是种子课呢？这些是一线教师问得最多的问题。为此，整理了这本书，作为对种子课的后续思考，并在刘灿先生的建议下将其命名为“种子课2.0”，这样既表明联系，又展示深入；书的主题定为“教对数学课”——种子课若没有教对，会带来诸多问题。全书分为上下两编：上编主要是对上好种子课的认识层面的思考，讨论怎样是教对；下编主要是对上好种子课的操作层面路径的介绍，并列举了一些种子课例。这里特别想说明的是：这些种子课例都是本人的实践，但它们在行文上有所不同，因为有的是本人的教学设计，有的来自听课老师的教学欣赏，有的则来自教研活动过程的实录……。我想这样的不同，于读者应该是有益的，便保留了其原来的形式。本书不但适合老师读，师范类学生也可以读，甚至也欢迎家长来读——很可能您懂的是知识，至于怎么让孩子懂，怎么样算懂了，也许您并不了然。小学数学教学是一门专业。
在成书过程中，本人深感其中的粗糙与不足，敬请所有对数学教学有感情的老师与专家不吝赐教。
文章节选自《种子课2.0——如何教对数学课》一书，教育科学出版社2020年2月出版。
《种子课2.0——如何教对数学课》
俞正强 著
教育科学出版社2020年2月出版
点击文末阅读原文进入“微商城”购买图书！俞老师认为，数学课要教好的前提是教对，否则再华丽的课堂也与真正的教育南辕北辙。本书聚焦当前数学教育的现实问题，对一线教师关心的种子课有哪些、怎么上等问题进行阐释。本书具体分为上下两编，上编是“教对数学的问题讨论”，下编是“教对数学的路径把握”，具体通过追问与思考以及6大领域的12个种子课例，在幽默、智慧的语言中向老师甚至家长娓娓道来。
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