用“全局的观念”指导教学——由俞正强老师的“种子课”谈开去
《种子课 一个数学特级教师的思与行》，是教育科学出版社2013年出版的著名小学数学教师俞正强的一本专著。书中包括有“种子课，生成的课堂”“如何上好种子课”等多项内容。本文并不试图对这一著作做出评论，而只是以“种子课”等概念特别是相关课例“厘米的认识”为背景提出笔者在这方面的一个想法，即我们应当更加重视用“全局的观念”指导数学教学。
具体地说，任一稍有经验的教师都知道，对于一堂课的内容我们应做主次的区分，并对前者予以更多的关注；与此相对照，这是更重要的一个认识，即我们应就更大范围去从事相关的分析，因为，在所说的情况下，对象更明显地表现出了“多、乱、杂”的特点，从而，为了帮助学生很好地掌握相关的内容，教师就必须对此做出整体的分析，即应通过梳理对象内在的关系与追踪相关的发展脉络，找出其中的重点，从而起到提纲挈领的作用。
更一般地说，这显然也就清楚地表明了用“联系的观点”指导教学，包括研读教材的重要性。以下就是这方面的一个实例：“教学要有‘长程的眼光’，应该把教学过程的每个环节看作是这节课的一个局部，把每节课看作是整个教学单元或者教学阶段中的一个局部，把每个教学单元或者教学阶段看作是整个小学阶段的一个局部。”又，“我们给教师发整套教材，让每个教师首先把整套教材的逻辑编排体系和编者的意图弄清楚，比如语文学科要给学生哪些素养、数学学科要培养学生哪些思维方式”；“然后以章节为单位进行备课，逐步树立教师的整体观念。最后具体到每一节的备课”。
进而，这也正是俞正强老师何以提出“种子课”（以及与此直接相对照的“生长课”）的概念的主要原因，他还突出强调了“种子课”的迁移性质和生成性质：“种子课就是可供迁移、可供生长的关键课。”正因为此，与“生长课”相比较，我们就应更加重视“种子课”的教学，从而起到“举一反三”“触类旁通”“促进生成”的作用：“在这么多课中，怎么来判断哪一节课是种子课呢？回答这个问题其实也不难，关键是从一个系统的角度来思考，整体把握一个知识块的前生今世及后延。这个过程一定有其发生的基点（知识与经验活动相连的关键点）、发展的节点（知识与知识相连的关键点），这些基点与节点可能就是我们的种子课，一定要对这样的课花力气，精雕细琢。这些课上好了，学生的学习就不会模糊，并于非基点或非节点的生长课上鼓励学生自己阅读，自己思考，就不难了。”当然，这也正是俞正强老师这一工作的一个重要特点，即主要采取了生成的观点，并因此而将作为知识发生直接起点的经验也考虑了在内。
俞正强老师的这一工作对于一线教师改进教学，包括如何很好地处理“教师教学”与“学生自学”之间的关系，显然都具有重要的启示意义；但在笔者看来，我们同时也应注意防止一些可能的简单化理解，或者说，应从多个角度对此做出更深入的分析。
具体地说，所谓用“联系的观点”进行分析思考，应当说不只涉及了生成的考虑，而且也包括静态的结构分析。当然，我们不应因此而否定前一方面研究的意义，因为，学生的数学学习事实上就是认识发生、发展的过程；但后者显然又不应被等于简单的“生成”，还应包括认识的不断深化乃至认识的必要重构等这样一些含义。我们应清楚地认识后者对于数学学习的特殊重要性，因为，这正是这方面的一个基本事实，即相对于横向的扩展也即数学知识的简单积累而言，纵向的发展对于数学应当说具有更大的重要性，而这主要地又是指相关认识达到了更大的深度，即如超越局部的认识建立起了整体性的认识，或是通过对照比较以及必要的抽象更深入地揭示出了相关知识的本质，等等。另外，还应提及的是，这事实上也正是人们在数学中特别强调“反思”或“反省”的主要原因，这也就是指，与单纯的“生成”相比较，数学认识的发展应当说更加依赖这样一种思维活动，即对先前学习过程，包括已建立认识的再思考、再认识，乃至对已建立认识或观念的否定与重构。
以下就是一些相关的论述：“真正的数学头脑是思维的头脑，是内省的头脑，这也是学校应当教学生的东西。”另外，按照著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔的分析，数学思维的发展主要就是指由较低层次过渡到了更高的层次，但是，“只要儿童没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一级的层次”。
为了清楚地说明问题，以下再借助“厘米的认识”这一课例做出进一步的分析。
以下即俞正强老师的相关分析：“厘米的认识”属于计量单位的学习，作为引入，教师在教学中往往会首先讲述引入这一计量单位的意义和必要性；而如果从更宏观的角度进行分析，我们就可发现，“学生不论是在二年级还是在四年级，都要不断重复关于计量单位意义和必要性的过程，而且就学生成长而言，可能还不止两次。因为在小学数学中，计量单位的学习内容是十分丰富的，基本贯穿了小学数学学习的始终”，包括长度单位、重量单位、时间单位、温度单位、角的单位、面积单位、体积单位、容积单位，等等。俞正强老师并因此而提出了这样一个问题：“我们是不是对每一类计量单位的学习都要设计这样一个环节，重复这个过程呢？”
当然，这又是俞正强老师在这方面的基本观点：我们应当“用生成替代重复”，这也就是指，由于“长度单位是小学生最早接触的，也是最基本的。因此，长度单位的学习在小学数学中应该具有种子特质”。具体地说，就“厘米的认识”这一内容的教学而言，我们就应突出这样两个关键点：（1）“比较物”的理解（“什么是比较物”）；（2）比较物的“标准化”（“标准是什么”）；进而，如果将“分米的认识”与“米与毫米的认识”也考虑在内，则应当再增加这样一个关键点：长度单位的相对（适宜）性。俞正强老师进一步指出：“假设一、二年级的长度单位是这样认识的，那么，在上面积单位的课时，就可以这样来教学。
师：同学们，我们知道对象的比较需要有单位来描述，长度有厘米，重量有克，那么现在面积的大小比较，当然也需要——
生：单位来描述。
师：面积的单位有哪些呢？这些单位分别是怎么规定的呢？这些单位之间是什么关系呢？请大家阅读书本第×页至第×页。”
再则，“角的单位、时间单位、体积单位、容积单位的学习也一样，无非是一棵树上再挂片叶子而已”。
俞正强老师的以上论述应当说很有道理；但笔者在此所关注的又主要是这样一个问题：就后续内容的学习而言，学生所经历的究竟是一个怎样的发展过程——是简单的扩展，就如同一棵树上不断挂上新的叶子，还是一个认识不断深化的过程，乃至包含了一定的重构？
对于上述问题俞正强老师应当说也已提供了明确的回答——“以深刻达成简约”。这就是指，只有认识达到了一定深度，相关的学习活动才可能真正做到简约，特别是避免简单的重复。但是，我们究竟如何才能帮助学生很好地实现认识的不断深化呢？
容易想到的是，这显然也就更清楚地表明了切实加强“种子课”教学的必要性，这也就是指，我们应当依据“联系的观点”很好地认识“种子课”在新的学习活动中所能发挥而且应当发挥的作用。但是，这又不是这方面工作的唯一关键：由于学生认识的发展必定有一定的过程，因此，我们就应将“联系的观点”贯穿于相关内容的全部教学过程，特别是应当随着新的相关内容的教学帮助学生很好地实现如下的转变，即由教师指导下的认识逐步转变为学生的自主认识，并能由单纯的“扩展”转变为真正的“生成”，也即能够通过新的学习达到更高层次的认识深度，特别是不仅能够较好地掌握新的知识内容，而且能够逐步建立起关于相关内容的整体性认识，并能由知识的掌握逐步深入思维的层面，即能够初步地掌握相关的数学思想和数学思想方法。
由此可见，就“计量单位”相关内容的教学而言，我们就不仅应当十分重视如何能够通过“厘米的认识”（即所谓的“种子课”）的教学为以后的进一步学习打下良好的基础，而且也应高度重视如何能够通过各个相关内容的教学帮助学生很好地实现真正意义上的“生成”，特别是认识的不断发展和深化。
以下就是这方面的一个具体建议，即在新的相关内容的教学中我们应当更加突出“类比”这样一个思想，也即应当注意引导学生通过对于新老知识的对照比较发现它们的共同点和不同点，从而促进认识的不断深化。
更为具体地说，尽管我们在“厘米的认识”的教学中已经突出地强调了引入计量单位的意义和必要性，学生可能也已初步地建立起相关的认识，但又只有通过进一步的学习，如重量单位的认识、角的单位的认识等，以及必要的对照比较，特别是相关活动共同点的分析，学生才能更好地理解上面所提及的各个关键，也即计量单位的确定性与相对性，乃至“度量”活动所体现的这样一个数学思想：数学中我们必须由简单的定性描述（“长短”“轻重”“大小”）过渡到精确的定量，这就是“数学化思想”的一个十分重要的内涵。
不难想到的是，上述的思维发展过程事实上也就是一个抽象的过程，即由特殊上升到了一般，而这又正是所谓的“变式理论”（特别是“概念性变式”）所给予我们的一个重要启示：成功的抽象不仅依赖于多种对象（包括“标准变式”与“非标准变式”，以及“概念变式”与“非概念变式”）的对照比较，更依赖于人们的积极思维。（另外，笔者以为，从后一角度我们也可清楚地认识单纯强调“数学活动经验”的局限性。）
当然，除去对共同点的分析以外，这也是“类比”十分重要的一项内容，即关于对象不同点的分析，而这又不仅直接关系到新知识的掌握，也与认识的不断深化密切相关。
例如，就只有从“线段的度量”过渡到了“面积与体积的度量”，我们才能帮助学生很好地理解这样一个数学思想：数学中我们所希望的是用“计算”代替直接的度量，这事实上可看成“化归思想”的一个具体应用。[应当提及，这事实上也正是俞正强老师明确提及的一个观点，即除去“厘米的认识”以外，我们也应将“长（正）方形周长（面积）”看成另一“种子课”，尽管它们被分别归属于“计量单位的认识”和“计量单位的计数”。]
在此还应特别提及这样一点，就实际的认识活动而言，我们又不应将关于不同对象异同点的分析绝对地割裂开来，而应清楚地看到两者之间的联系。例如，这显然可以被看成“长度单位”与“重量单位”的主要区别，即涉及两个不同的单位系列：（1）米、厘米、毫米与千米；（2）千克（公斤）、克、毫克与吨。但是，由进一步的分析我们显然又可发现这两者在总体上的联系，甚至还可以说是一定的共同点，即计量单位的相对性，而且，人们最初引入的计量单位往往是与自身的计量较为接近的（米与千克），然后，又都是因为实际生活的需要在“宏观”与“微观”两个方向进行了扩展，在两者之间可以说存在明显的类似之处，即如米与毫米和千米、千克（公斤）与克和吨，等等。
就“计量单位”的教学而言，笔者还愿强调这样一点，即我们应当将“计量单位的引入”与“如何进行计量”联系起来，也即应当将两者统一纳入“度量问题”进行考察。因为，只有从度量的角度进行分析，我们才可更清楚地认识引入“计（度）量单位”的必要性；另外，由此我们也可清楚地看出相关的教学活动应当同时包括这样两个重点：“度”与“量”，两者可以说具有不同的本质。例如，在笔者看来，我们就可从后一角度对俞正强老师的上述课例与张齐华老师的相关课例进行比较，特别是两者为什么有不同的教学重点。
除去各个相关内容的教学以外，这当然也是将“联系的观点”贯穿全部教学过程的又一重要环节，即我们应当很好地发挥“复习”对于促进学生认识深化的重要作用，这也就是指，相对于简单的回顾与整理而言，我们应当更加重视引导学生对相关内容从整体上做出进一步的分析思考，特别是应超越单纯的生成性分析而过渡到整体性的结构性认识上。例如，就“度量问题”的教学而言，我们在复习时也许就可引导学生积极地去思考这样一个问题：我们能否突破现有的分类与排列次序，从不同角度（即如按照图形的维度）对相关内容做出新的分析整理？容易想到的是，后一思考十分有利于学生逐步建立起这样一种认识，即数学家们为什么更加倾向于按照“由简单到复杂、由低（维）到高（维）”的次序（也即“数学的视角”），而不是由“体”到“面”再到“线”这样的次序（“日常的视角”）去进行认识。这也就如弗赖登塔尔所指出的：“数学家有这样的倾向，一旦依赖逻辑的联系能取得更快的进展，他就置实际于不顾。”
最后，笔者以为，上述的分析论述显然也已清楚地表明了这样一点：相对于前面所提及的“联系的观点”而言，我们应当更加强调“全局的观念”，也即应当更加重视如何能以整体性的认识指导各个相关内容的教学。当然，后者应当同时包括“种子课”“生长课”与复习课等，特别是我们应通过整体性的分析弄清在各个相关内容中究竟何者可以被看成所谓的“种子课”，什么又是其对于后续的学习活动所应发挥的作用？何者可以被看成真正意义上的“生长课”，什么又是这里所说的“生成”的具体含义？
附：“种子课”与“问题引领”
笔者以为，这是用“全局的观念”指导数学教学的又一重要手段，即我们应当通过整体分析从相关的内容提炼出“核心问题”，并以此统领全部内容的教学，也即应当将此同样贯穿于全部内容的教学。具体地说，我们不仅应在对这些内容学习之初就清楚地点明所说的“核心问题”，也应在全部的学习过程中不断重复这些问题，从而真正起到提纲挈领的作用；在复习时更应引导学生围绕这些问题对全部学习过程进行回顾与梳理，从而很好地实现“知识的问题化”与“问题的知识化”的教学目标。
在所说的“问题引领”与前述关于“种子课”与“生长课”的论述之间存在一定的互补关系，特别是“核心问题”的提炼就可被看作我们应当如何去确定相应的“种子课”的一条重要的标准。另外，这又可被看成强调“问题引领”的一个明显优点，即有利于我们在教学中更好地发挥学生在学习活动中的主体作用，或者更准确地说，即同时发挥教师的主导作用与学生的主体作用——这事实上也正是现实中人们何以往往同时强调“问题引领”与“问题驱动”的主要原因。
最后，就“度量问题”而言，笔者以为，以下两点或许就可被看成相应的“核心问题”：
（1）数学中是如何处理各种度量问题的，什么更可被看成所有这些活动的共同关键点？
（2）在这方面我们又可看到怎样的发展，或者说，什么是相关发展的主要线索？
（本文作者：南京大学哲学系教授 郑毓信）
文章节选自《种子课2.0——如何教对数学课》一书，教育科学出版社2020年2月出版。“推荐阅读”
《种子课2.0——如何教对数学课》
《种子课 一个数学特级教师的思与行》
《俞正强：低头找幸福》
教育科学出版社出版
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