16个数论难题，你能看懂多少？解决多少？| 袁岚峰
导言：
大家应该了解这些有趣的数学问题，同时更应该了解这背后的数学思想、研究范式。如果你能为数学范式的进步做出贡献，你就会成为伟大的数学家。
你想成为数学大佬吗？我有些朋友非常热心数学科普，组织了一个“哆嗒数学网”。最近，哆嗒数学网发了一篇简短的文章《15个数论难题，解决任意一个都能让你称为顶级大佬 | 哆嗒数学网）。下面我来结合自己的理解，更详细地介绍一下。让我们来看看，这15个问题你能解决多少，或者能看懂多少。对我来说很明确：全都能看懂，一个都解决不了。（下面要多次用到乘方符号，而有些编辑器显示不出上标，因此用x^y表示x的y次方。）
第一个问题是鼎鼎大名的哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）：每个大于等于4的偶数都可以表示成两个质数之和。这也就是陈景润一心想证明的1 + 1——请注意是1 + 1，不是1 + 1 = 2！1 + 1 = 2是个小学知识，完全不需要证明。经常有些人纳闷，陈景润为什么要证明1 + 1 = 2，难道数学家吃饱了撑得没事干吗？难道1 + 1 = 2很高深吗？其实这完全是误解。
哥德巴赫猜想中的1 + 1是个简称，这里的1是表示只有一个质因数的整数即质数。1 + 1的意思就是任何一个足够大的偶数都可以分解成两个质数之和，即哥德巴赫猜想。由于这个猜想太难啃，人们先尝试去攻克它的较弱版本，如9 + 9、1 + 3等等，陈景润证明的是1 + 2。这里的2表示质因数数目不超过2的数，即它或者是质数，或者是两个质数的乘积。类似的，3表示质因数数目不超过3的数，9表示质因数数目不超过9的数，如此等等。
了解了这些记法，你才能明白陈景润的1 + 2是什么意思。它说的是，任何一个足够大的偶数都可以分解为一个质数加上一个质因数数目不超过2的数（陈景润究竟为证明哥德巴赫猜想做出了哪些贡献？| 科学大院）。在陈景润之前，人们先是证明了9 + 9，然后是7 + 7、6 + 6、3 + 4、1 + 5、1 + 4、1 + 3等等。陈景润取得了这个方向上迄今为止最强的结果1 + 2，这是一个伟大的成就。这看起来离哥德巴赫猜想只有一步之遥，但这一步极其困难，到现在人们还没跨过去。
陈景润
第二个问题是考拉兹猜想（Collatz conjecture），或者称为角谷猜想、冰雹猜想、421猜想、3x + 1猜想等等。最后这个名字，3x + 1猜想，会让人很快明白它说的是什么。取一个正整数x，如果它是偶数，就把它除以2，如果它是奇数，就把它乘以3再加上1，即变成3x + 1。然后按照同样的规则，把这个操作无限进行下去。这个猜想说的是：无论你最初取的x等于多少，最终都会进入4-2-1-4-2-1的循环。稍微想一下就会明白，进入这个循环就出不来了，因为4的下一步是2，2的下一步是1，1的下一步又回到了4。但问题在于，是否一定会进入这个循环呢？
从100出发的3x + 1猜想序列
你可以拿几个数试验一下，你会发现都是如此。有些很快就进入循环，有些要很久才进入循环，但或早或晚都会变成4-2-1-4-2-1。数学家已经用计算机验证到了2^68 ≈ 2.95 × 10^20，都满足这个规律。然而计算机只能验证有限，不能证明无限。这是不是对所有的自然数都成立？目前还完全不清楚！
第三个问题是勒让德猜想（Legendre’s conjecture）：对任意一个自然数n，在n^2和(n + 1)^2之间都至少存在一个质数p。按照我对这个领域的一点点了解，在这个方向上最重要的结果是伯特兰-切比雪夫定理：对任何大于3的自然数n，都至少存在一个质数p满足n < p < 2n - 2。勒让德猜想看起来只是伯特兰-切比雪夫定理的一个改进，但这个改进到现在都没得到证明。
勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752 - 1833）
第四个问题是鼎鼎大名的孪生质数猜想（twin prime conjecture）：存在无穷多对质数，它们之间只相差2。这样的一对质数，叫做孪生质数。我以前介绍过，中国数学家张益唐在这个问题上取得了突破性进展（质数的最小间隔有上限，人的奋斗没有上限 | 袁岚峰）。他证明了，存在无穷多对质数，它们之间的差距不超过7千万。假如把7千万缩小到2，就证明了孪生质数猜想，但现在还没有做到。
张益唐
如果你没有理解这为什么是个突破，我们来稍微解释一下。7千万虽然看起来是个很大的数，但以前是完全不能肯定有这样的上限存在。所以张益唐是从无限进步到了7千万，这是质的区别，而从7千万到2只是有限到有限，这是量的区别。目前的最好结果，是把这个差距缩小到了246。但再往下就十分困难了，还需要新的思想。
第五个问题是梅森质数猜想。梅森（Marin Mersenne, 1588－1648）是十七世纪的法国数学家，他研究了2^p - 1类型的数，其中p是一个质数。现在我们把这样的数叫做梅森数，记为Mp。假如对于某个p，Mp是个质数，就把它称为梅森质数。梅森质数猜想说的就是：存在无穷多个梅森质数。
梅森
是不是真的这样呢？没人知道。我们知道的是，寻找梅森质数是目前寻找大质数最好的办法。近几十年来找到的最大的质数，都是通过对梅森质数的搜索找到的。例如2018年发现了目前最大的梅森质数也就是目前最大的质数2^82589933 - 1，它是个24862048位数。
第六个问题是n^2 + 1猜想：存在无穷多个自然数n，使得n^2+1是质数。这个猜想的表述出奇的简单，证明却完全无从下手。
第七个问题是费马数猜想。这个猜想的风格跟前面的正好相反，前面那些都是要证明有无穷多个什么什么，这个却是要证明某个东西只有有限多。是什么东西呢？是说费马数中的质数只有有限多。什么叫费马数？就是那些形如2^(2^n) + 1的数，其中n = 0，1，2，3，4……我们把它记为F(n)。
费马（Pierre de Fermat，1601 - 1665）发现，当n从0到4时，F(n)都是质数。大家可以来检验一下，这五个数分别是3、5、17、257和65537，确实都是质数。下一个F(5)太大了，费马没有去检验，他就兴致勃勃地猜想费马数全都是质数。结果将近一百年后，欧拉发现F(5)是个合数，它等于641 × 6700417，这就推翻了费马的猜想。更令人大跌眼镜的是，后来人们算出的费马数全都是合数，再也没见到一个质数！所以现在我们的猜想反过来了，变成了费马数中只有有限个质数。更进一步，说不定费马数中的质数只有最初的那五个呢，谁知道？
费马
第八个问题是奇完全数猜想。所谓完全数（perfect number）或者完满数、完美数就是这样的自然数，它的所有真因数之和等于它自己。请注意这里说的是真因数而不是质因数，真因数就是那些小于它自己的因数。例如6是一个完全数，因为6的真因数只有1、2、3，而1 + 2 + 3刚好等于6。又如28的所有真因数是1、2、4、7、14，这些数加起来等于28，所以28也是完全数。
完全数
截止2018年，已经找到了51个完全数。它们全都是偶数，而且全都可以表示成Mp (Mp + 1)，这里的Mp是前面刚刚介绍过的梅森质数。所以奇完全数猜想就是问：是否存在奇的完全数？目前完全不清楚。目前我们知道的是，假如存在奇的完全数，那么它必须要大于10^1500。
第九个问题是完美长方体猜想。所谓完美长方体（perfect cuboid）就是这样的长方体，它的长、宽、高和所有的对角线（包括面对角线和体对角线）的长度都是整数。也就是说，它的长宽高a、b、c是三个自然数，而且a^2 + b^2、a^2 + c^2、b^2 + c^2以及a^2 + b^2 + c^2都是平方数。完美长方体猜想就是问，是否存在这样的一组自然数？
完美长方体
我看到这个问题时大为吃惊，因为我知道两个平方数相加在什么情况下是平方数是个早已解决的问题，也就是所谓勾股数：a = p^2 - q^2，b = 2pq，c = p^2 + q^2，其中p和q是两个任意的自然数。但三个平方数相加在什么情况下是平方数，居然直到现在都没有解决！由此导致，完美长方体是否存在，现在没人能证明或证伪。数值验证的结果是，假如完美长方体存在，那么它最小的奇数棱长不小于2.5 × 10^13（https://unsolvedproblems.org/S58.pdf）。
第十个问题是鼎鼎大名的黎曼猜想（Riemann hypothesis）。我丝毫不打算用简单的语言来解释这个问题，因为——完全不可能。我以前做过一系列节目，来完整地介绍黎曼猜想（黎曼猜想（六）1859年就提出的黎曼猜想，数学家证明到什么程度了？| 科技袁人）。在这里只能告诉大家，这个猜想说的是：黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部都等于1/2。
这说的是啥？确实，要理解这句话里的每个词是什么意思都非常不容易，需要复变函数的知识。如果你听不懂黎曼猜想说的是什么，没关系，只要知道它是整个数学界最重要、最著名的那“一个”未解之谜就行了。
第十一个问题是关于欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroni constant）的。这个常数的来源是：欧拉证明了，所有自然数的倒数和，即1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n，是发散的，而它发散的速度是lnn。也就是说，1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n - lnn在n趋于无穷的时候会趋于一个极限，这个极限现在称为欧拉-马歇罗尼常数。马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni，1750 - 1800）是一位意大利数学家，他把这个常数记为γ，并把它算到了小数点后32位，但后来发现他在第20位出现了错误。无论如何，马歇罗尼通过对这个常数的研究把自己的名字刻在了数学史上。
欧拉-马歇罗尼常数
现在我们知道，γ约等于0.57721。但问题是，它是一个有理数还是无理数？这么基础的问题，我们居然不知道答案！在直觉上，它是无理数的概率显然比它是有理数的概率大得多——但目前完全无法证明。
我来补充一点，其实数学里还有很多类似的问题。例如两个极其常见的数圆周率π和自然对数的底e都早已证明了是无理数，但π + e是不是无理数？目前就没人知道！
第十二个问题是关于黎曼ζ函数的：当k为正奇数时，ζ(k)是否为超越数？前面说了，明白黎曼ζ函数是什么需要复变函数的知识。不过这个函数对于正实数的自变量却很容易理解，如果把自变量写成s，ζ(s)就是所有自然数的s次方的倒数和，即
ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...
你也许还想问，什么叫超越数？超越数就是那些不能表示成整系数多项式方程的解的数，它是无理数的一个真子集。例如根号2是无理数，但它不是超越数，因为它是整系数多项式方程x^2 - 2 = 0的解。而π已经证明了是超越数，由此得到一个重大结果：经典尺规作图问题“化圆为方”无解，因为你不可能通过有限次操作得到根号π。
化圆为方
回到黎曼猜想。当k为正偶数时，已经证明了ζ(k)必然是超越数。所以对于正奇数的k，ζ(k)是不是超越数就成为一个有趣的问题了，目前还不知道答案。
第十三个问题是埃尔德什倒数和猜想。这个猜想的表述十分奇妙：如果A是一个正整数的无穷子集，而且A中所有数的倒数和发散，那么A包含任意长度的等差数列。前面我们说了，所有自然数的倒数和是发散的，所以会有它的子集也满足倒数和发散。但为什么这会导致A包含任意长度的等差数列，我就完全没看出来！埃尔德什的思路真是天马行空！一个有趣的特例是所有质数的集合，格林和陶哲轩证明了所有质数的倒数和发散，而且所有质数中包含任意长度的等差数列。这个成果帮助陶哲轩得到菲尔兹奖。
1985年，10岁的陶哲轩和埃尔德什在一起
第十四个问题是拉姆塞数（Ramsey number）。什么叫拉姆塞数？大家可以看我的科普书《量子信息简话》，在第五章第四节的选读内容中，就介绍了拉姆塞理论。
拉姆塞理论说的是：给定足够多的样本，那么任何复杂的结构都会必然出现。例如有一个著名的定理：6个人中必然有3个人互相认识或者3个人互相不认识。换一种说法就是，6个点之间两两连线，每条线都是红色或蓝色，那么必然会出现一个红色三角形或者一个蓝色三角形。这个定理用拉姆塞理论的语言说，就是R(3, 3) = 6。给定两个自然数s和t，拉姆塞数R(s, t)的意思是：达到这么多人，其中就必然有s个人互相认识或者t个人互相不认识。拉姆塞证明了，这样的数必然存在。
6个人中必然有3个人互相认识或者3个人互相不认识
然而，确定拉姆塞数的难度上升得极快。目前我们知道R(1, 1) = 1， R(2, 2) = 2，R(3, 3) = 6，R(4, 4) = 18，但再往上我们就不知道了。对于R(5, 5)，我们已经可以确定它在43到48之间，但具体是多少仍然不知道。对于更大的n，就更是一头雾水。所以为了表现拉姆塞问题的难度，埃尔德什有一段著名的论述：
设想有一支外星人的军队，比我们强大得多，降落到地球上，要求我们给出R(5, 5)的值，否则就摧毁地球。在这种情况下，我们应该调集我们所有的计算机和数学家，尝试找到这个值。但假如外星人要求的是R(6, 6)，那么我们最好的选择就是尝试攻击外星人。
第十五个即最后一个问题，是华林问题（Waring’s problem）。华林问题是一类经典的数论问题，杨振宁的父亲杨武之的博士论文就是这方面的研究，这是中国人第一次因为对数论的研究获得博士学位。
杨武之
英国数学家华林（Edward Waring，1736 - 1798）发现，每一个自然数都可以表示成最多9个立方数之和，也可以表示成最多19个四次方数之和。于是他问，是不是对任何一个大于1的自然数k，都存在某个数g(k)，使得任何自然数都可以表示成不超过g(k)个k次方数之和？
华林
希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943）给出了肯定的回答：是的，对于任意一个k，都存在相应的g(k)。但他只是证明了g(k)的存在性，如何把g(k)用k表示出来还不清楚。后来数学家们找到了一个g(k)的表达式，唯一的问题是……它其实不是一个表达式，而是三个表达式，分别对应三种可能的情况。然后，许多数学家猜测这三种情况中只有第一种会发生，那么答案就会简化到只剩第一个表达式。
华林问题的解（见维基百科）
其实现在的表达式对于编程序做计算来说已经相当简单，分三种情况没什么大不了的，只是在数学的美感上稍有不足。因此，华林问题究竟解决了没有？这取决于你怎么定义解决。用网络语言可以说，解决了，但没完全解决。
介绍完了哆嗒数学网总结的这十五个数论难题，我还想补充一个：ABC猜想（ABC猜想证明了吗？外行看不懂证明，但能了解科研的基本经验 | 袁岚峰）。这个猜想说的是：如果有两个互质的自然数a和b，它们的和a + b = c，那么在绝大多数情况下，abc的根积rad(abc) > c。
很抱歉，这个猜想的表述拖泥带水，不像前面讲的大多数问题那样简单明了。在这里可以稍微解释一下，所谓根积（radical）就是先把一个自然数分解成所有质因数的乘积，然后把所有的质因数相乘一次，无论这个质因数出现了多少次。例如10 = 2 × 5，它的根积就是2 × 5 = 10。而12 = 2 × 2 × 3，它的根积就是2 × 3 = 6。现在大家可以明白，rad(abc) > c是什么意思了吧？但这个猜想还有一个非常讨厌的地方，它说的不是一定如此，而是“在绝大多数情况下”。为什么会这样，以及如何精确地表示“绝大多数情况”，欢迎大家看我2020年的介绍文章。
基本上，ABC猜想是一个威力十分强大的猜想。例如有了它就能快速地证明费马大定理，虽然这是个很粗略的证明，因为还需要一些其他的假设。
用ABC猜想证明费马大定理
但奇妙的不止是它还没有被证明，更奇妙的是，有一位日本数学家望月新一号称证明了它。是的，跟柯南君工藤新一同名。
望月新一
这位新一君为了证明ABC猜想，提出了一整套理论，叫做“宇宙际Teichmüller理论”。
宇宙际Teichmüller理论
这名字听着吓死人，但更吓人的是他自创了很多术语，例如“霍奇剧院”（Hodge theatre）。你没听错，一个数学概念叫做剧院。新一对它的定义如下。
霍奇剧院的定义
呃……如果说有一种美德叫做“用户友好”，那么新一显然对此完全没有考虑！不过这些都是细节，最重要的问题是：他对ABC猜想的证明到底对不对？我没法看懂他的论文，不过根据我了解的信息，除了他和他京都大学的同事之外，基本没人相信他真的证明了ABC猜想。所以数学界有个笑谈，ABC猜想在京都大学成了定理，但在此之外仍然是猜想。
有些数学家认真研究了望月新一的论文，指出了其中的一些错误。新一做了相应的修正，宣称这些错误已经补上了。但有些数学家认为，有些错误仍然没有得到弥补，而新一认为自己的证明没错，是这些数学家没看懂。于是双方闹僵了，这个争论现在都没解决。在大多数数学家看来，情况可能就成了“这论文这么不友好，不值得为它去花费时间”。
最后，我来谈谈我对大家研究这些数学难题的推荐。基本的建议就是：完全不推荐。因为这些问题都经过长期的研究，许多一流的数学家为它们殚精竭虑，却都没有解决。这启发我们，要解决这些问题，可能需要引进更高明的研究范式。
例如我的朋友、著名数学科普作家沙国祥老师写过一篇文章《突破研究范式，证明费马大定理｜沙国祥），介绍了费马大定理的研究过程。这个经典难题在久攻不克之后，1847年，库默尔带来第一次重大突破，引入了代数数论的研究范式。1983年，法尔廷斯带来第二次重大突破，把费马大定理跟莫德尔猜想联系起来，引入了代数几何的研究范式。1986年，美国数学家里贝特等证明费马大定理是谷山——志村——韦伊猜想的推论，即只要证明了后者，就可以推出前者。谷山——志村——韦伊猜想试图建立椭圆曲线与模形式之间的联系，最终怀尔斯（Andrew Wiles）在1994年证明了这个猜想，为费马大定理的证明画上了句号。
怀尔斯与费马大定理
因此，沙国祥此文最重要的教益是：“对于非常规数学难题的求解，研究范式的改变，往往起到化难为易、别开生面的效果；如果一味在原有范式里埋头苦干，可能会劳而无功或无本质性进展。反过来，这类问题的探究求解，有时也促进了新范式的建立。”
换一个对普通人来说更容易理解的表述：想用初等方法证明哥德巴赫猜想，就好比骑自行车上月球，是完全不现实的。因此，大家应该了解这些有趣的数学问题，同时更应该了解这背后的数学思想、研究范式。如果你能为数学范式的进步做出贡献，你就会成为伟大的数学家。
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