【老万谈音律】托勒密闹革命
上回书我们说到，用简单分数做频率比例的音律属于纯律。其中有一种五度相生律（又叫毕达哥拉斯律），用它定音简便易行。
但是毕律有个严重问题：毕氏音阶中大三和弦的三音，频率是根音的 81/64 倍。这个比例不够简单，也就不怎么好听。（第一讲介绍过，频率比例越简单的两个音在一起越好听。）
究其原因，是这种调音法过于讲究血统纯正，只允许用五度相生一种方式造音，结果频率比中只能有 2 和 3 的因子，限制了音高的可能。
自从毕达哥拉斯律被发明出来，大家都默默忍受着不和谐的大三和弦，期望黎明的到来。
这一等就是六百多年。
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毕达哥拉斯去世大约六百年后，托勒密出生了。
这名字是不是听起来很熟悉？
对，他就是我们中学课本上那个生活在公元二世纪的古罗马天文学家和数学家。你可能不知道的是，他还是一个地理学家和音乐理论家。
那时候单位管得松，随随便便兼几个职领导也睁一只眼闭一只眼。
老托不光仰望星空，还俯视大地，关注人民群众的精神文化生活。
他说：生活不止眼前的枸杞，还有星星和美妙的音乐。
托勒密
他写了一本《和声学》（Harmonics），讨论的就是怎么让几个音在一起更好听。
毕氏音阶难听的问题，正是托勒密的专业范畴。
老托经过专业分析，一针见血地指出：当前娱乐圈的首要问题，是毕氏音阶不能建立起有效大三和弦的问题。要解决这个问题，必须要团结一切可以团结的力量，除了 2 和 3 这两个因子以外，让 5 也参加进来，形成三方联合阵线，才可能取得音乐革命的胜利。
这就是五限调音法（Five-limit tuning）。
限是限制的限。五限的意思，是以 5 为限，质因子不能超过 5。
五度相生到五限调音，名字挺象，但意思大不同：前一个五，是两个音之间的距离（间隔几个音）。后一个五，是两个音之间的频率比例。
五度相生法里，大三和弦根音到五音的频率比 2 : 3 已经很完美了，无法再改进。关键是如何让它们中间的三音变好听。
最简单的做法就是在 2 和 3 之间插入一个 2.5，让大三和弦的三个音频率是 2 : 2.5 : 3，或者化成整数 4 : 5 : 6 的关系。
既然有了 5 这个利器，赶紧得用上。
老托一试，这三个音在一起确实好听。
毕达哥拉斯的难言之隐，一扫而光！
有爱动脑筋的同学要问了：古时候没有示波器频谱仪这些高级的玩意儿，调 2 : 3 的频率还可以靠两个音是不是完美和谐来判断，4 : 5 这种“比较和谐”的频率又如何调得准呢？
问得好。
这个问题有个简单的答案。
我们知道，在质材和张力不变的情况下，琴弦的频率跟它的长度成反比。如果要让琴弦的频率增加到原来的 5/4 倍，只要在琴弦长度 4/5 的地方按住它就行了。
这个问题，规尺作图就可以解决。
所以，在调好一根弦之后，在它长度 4/5 的地方按住，以这个音为参照，把另一根弦的音调得一样，就得到 5:4 频率的两根弦了。
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我们来一步一步还原托勒密的五限调音法。
先任意选取一个音做主音 1。
以 1 为根音，按 4 : 5 : 6 的频率比例生长出主大三和弦 135：
4 : 5 : 6 = 1 : 5/4 : 3/2
| 唱名 | 1 | 3 | 5 |
| 和根音的频率比 | 1/1 | 5/4 | 3/2 |
这里的三音频率是根音的 5/4 （1.25）倍，比五度相生律的三音频率 81/64 （1.265625）略有不同。看得出来，五度相生的三音比一个“正确”的三音偏高了。
然后，我们再以 1 为五音，按 4 : 5 : 6 的比例向下生长出下属大三和弦 461：
4 : 5 : 6 = 2/3 : 5/6 : 1
因为要把每个比例都通过翻倍和减半的办法限制在 [1, 2] 这个范围（参见第二讲），我们把上面这个比例规范为 4/3 : 5/3 : 1。把新得到的 4 和 6 两个音加入音阶：
| 唱名 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 频率比 | 1/1 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 5/3 |
还差两个音 2 和 7，可以通过从 5（so）出发的属大三和弦 572 得到：
4 : 5 : 6 = 3/2 : 15/8 : 9/4
规范化到 [1, 2] 的范围，得到
3/2 : 15/8 : 9/8
| 唱名 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 频率比 | 1/1 | 9/8 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 5/3 | 15/8 |
和毕氏音律中出现的丑陋分数 81/64 和 243/128 相比，这堆分数是不是顺眼多了？
大家应该还记得：频率比例越简单，听感越好。
这个音阶，叫做托勒密音阶（Ptolemy's intense diatonic scale）。这个音阶里，不光每个音跟主音的关系都不错（比例不复杂），而且三个大三和弦都很好听。
相对于毕氏音阶，这一革新可以称得上一场革命。
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托勒密音阶这么好，为什么我们今天改用平均律了呢？
一个重要原因是小三。
音乐上光有阳刚的大三和弦是不够的，我们还得有柔和的小三和弦。二者结合才能表现丰富的感情。
托氏音阶的大三和弦，是在根音上方加入频率为根音 5/4 倍的三音和频率为根音 3/2 倍的五音组成。
考考你：大三和弦的五音和三音频率是什么关系？
这应该难不倒你：3/2 ÷ 5/4 = 6/5。所以，五音是三音频率的 6/5 倍。
从根音到三音，从三音到五音，跨度同样是两个音，但前者是 5/4（1.25）倍的关系，后者是 6/5（1.2）倍的关系。
也就是说它们的跨度是不一样的。
前面这个跨度（5/4 倍）大一些，叫大三度。
后者这个跨度（6/5 倍）小一些，叫小三度。
大三和弦，就是在一个大三度上方叠加一个小三度的和弦。
与之类似，小三和弦，就是在一个小三度上方叠加一个大三度的和弦：从根音出发，先上行一个小三度（6/5）得到三音；从三音再上行一个大三度（6/5 * 5/4 = 3/2）得到五音。从根音到五音还是一个纯五度（3/2）的关系。
所以，小三和弦的三个音关系是
1 : 6/5 : 3/2
或者化成整数
10 : 12 : 15
我们看看托勒密音阶中的三个最重要的小三和弦：
主小三和弦 613，频率比 5/3 : 2 : 5/2 = 10 : 12 : 15。符合正常小三和弦的定义，好听。
属小三和弦 357，频率比 5/4 : 3/2 : 15/8 = 10 : 12 : 15，同样正常。
下属小三和弦 246，频率比 9/8 : 4/3 : 5/3 = 1 : 32/27 : 40/27。
嗯？！
这是一组奇怪的音程。不但三音不是 6/5，连五音都不是纯洁的 3/2 关系了。
中文形容唱歌难听有个词叫“鬼哭狼嚎”。鬼哭是啥声没有人知道，狼嚎的声音肯定是不好听的。除非这匹狼叫齐秦。
英文里面也有类似的说法，把托勒密音阶里频率比为 40/27 的 2-6（re-la）五度音程叫“狼音”（wolf interval）。
大家感受一下这两个五度的区别：
这段录音，先是频率比为 3 : 2 的正常纯五度音程，非常和谐稳定，甚至听不出来是两个音。然后是频率比 40 : 27 ≈ 1.48 的狼音 - 是不是能听到明显的周期性嗡嗡声？
为什么狼音会出现周期性的起伏？如何消除托勒密音阶中的狼音？托氏音阶还有其它哪些问题？
咱们下回接着说。
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本文录音素材取自以下网站，特此感谢：
https://www.kylegann.com/tuning.html
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