先见森林再寻树木：轨迹定位法确定点的位置(2)

轨迹定位法适用于根据给定条件寻找符合条件的点. 轨迹是符合一定条件的所有点的集合，站得高，方能看得远，看得全，看到轨迹便拥有了全景视野，能够快速而完整地确定符合条件的点. 

再举几例，以体现此法应用的广泛性和高效性.

1.（2016永州）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：

（1）当d=3时，m=　　　　　　；

（2）当m=2时，d的取值范围是　　　　　　．

分析：d的变化导致⊙O上满足条件的点的个数发生变化，如下图

如何在纸上清晰而快速地确定符合条件的情形呢？

画出到直线l距离为1的点的轨迹为与直线l距离为1的两条平行线m、n，这两条平行线与圆O的公共点即为符合条件的点.

d=3时如下图：

m=2时如下图：

或者圆在下方：

易得，此时1<d<3.

2.（2013杭州）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，√3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值.（单位：秒）

分析：运动过程如下图，

当圆P与一边相切时，P到三边的距离为√3cm，其轨迹为6条与各边平行的线段，P点又在射线QN上运动，所以满足条件的P点即为射线QN与6条线段的公共部分，如下图，直观看出，图中黄线与红线的公共部分用绿色标记的即为所求P点范围（两个点和一条线段）：

从而易得，t的取值为t=2或3≤t≤7或t=8.

3.（2017泰州卷）阅读理解：

如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA1最短，则线段PA的长度称为点P到图形l的距离．

例如：图②中，线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．

解决问题：

如图③，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（8，4），（12，7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．

（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；

（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？

（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）

分析：（2）中满足到线段AB距离为5的点的轨迹是下图中的绿色线条，又因为P在x轴上，所以即为交点P₁、P_2.

(3)中到线段AB的距离不超过6的点的轨迹是下图中绿色阴影部分，又因P在x轴上，所以P点范围即是x轴上在阴影之中的部分(P₁、P₂之间）.

具体算法读者不妨自己一试.

4.已知点A（0，2√3），点B在x轴上，抛物线y=x²-x-√3上有一点C，满足△ABC是等边三角形，求C点坐标.

分析：B点在x轴上运动时，C点的轨迹是什么？从运动变换的角度看C点是B点绕A点旋转60°而得，因此C点运动的轨迹亦是由B点运动轨迹旋转60°而得，即把x轴绕A点旋转60°所得的直线是C点所在的轨迹. （此变换详见本公众号文章《探本求源－秒解旋转缩放型的动点路径问题》）

C点由B点绕A点顺时针或逆时针旋转60°，由此把x轴绕A点顺时针或逆时针旋转60°，求得C点轨迹是直线y=√3x-2√3或直线y=-√3x-2√3，如下图.

到这里思路便可打开，满足问题条件的点C即是抛物线与上述两直线的交点.

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