胡不归：请记住我！

念念不忘

必有回响

抱歉啊，“胡不归”问题来晚了！后台收到好多朋友的明示和暗示！其实，小编都记着呢，只是最近真的有点忙啊！都怪自己年纪轻轻当什么老师啊！但能够和大家分享自己浅薄的思考还是很幸福的！

我们已经探讨了如何借助费马点和阿氏圆(点击可查看哦！)相关模型解决最值问题。今天我们来共同探讨下“胡不归”问题。

 这个问题是由下面这个故事衍生的！

从前，有一个身在他乡的小伙子，得知在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。然而，当他气喘吁吁的赶到家时，老人已经咽了气。身边的邻居劝慰小伙子时告诉说：老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线A→C→B虽然路程多但速度快的实际情况。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

 我们把它抽象为数学问题即为：

【问题分析】

关于求几何最值问题，我们最终可以转化为以下两个基本模型来处理：

（1）定点到定点：两点之间线段最短；

（2）定点到直线：垂线段最短。

根据两点之间线段最短，那么小伙子的选择是正确的。而实际情况是V1>V2。这时我们可以将问题转化为”PA+kPB”型。

【问题处理】

【模型应用】

例1、如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60，M为对角线BD (不含B点)上任意一点，则AM+1/2 BM的最小值    

解析：易知∠DBC=30，我们只需过点M作BC的垂线MN。易知MN=1/2BM,

所以，AM+1/2 BM=AM+MN,故当点A、M、N共线时最小，即为垂线AP=2√3

例2、如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2,则AP+BP+CP的最小值。

解析：

方法一：通常我们可以利用“费马点模型”来解决这个问题。将△APB绕点A顺时针旋转60度，则∠BAB’=60，故∠MAB’=30,故MB’=1，AM=√3，故AP+BP+PC=PP’+B’P’+PC最小值为B’C，由勾股定理得B’C=√2+√6。

方法二：易知AP+PC+PB

=2AP+PB=2(AP+1/2BP),

我们可以构造∠PBE=30,

作PF垂直BE于点F,则PF=1/2BP,

故AP+PC+PB=2（AP+PF）,

最小值为A、P、F共线，

根据面积法得，

1/2AF.BE=1/2AE.BO,

易得AF=(√2+√6)/2,

故AP+PC+PB最小值为√2+√6。

【挑战一下】

练习：如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=4，∠BAD=30，则线段AP+BP+PD的最小值    。

欢迎朋友们留言写出你的解决策略和答案！

【问题反思】

无论是借助“费马点”模型还是阿氏圆或胡不归模型来求最值问题，我们都是透过一些变换（旋转、对称、平移、缩放等）改变线段的位置，优化图形的结构,将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，最终转化为“点到点”（两点之间线段最短）或“点到线”（垂线段最短）两种基本模型从而求出最值！

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