《微积分的力量》—读书笔记导图分享
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今天分享的书籍是《微积分的力量》。
作者史蒂夫·斯托加茨（Steven Strogatz）美国康奈尔大学应用数学系教授、知名教师和数学家。为《纽约时报》《纽约客》写作数学博客，也是美国科普电台《科学星期五》的常驻嘉宾。主要代表作有《X的奇幻之旅》。目前住在纽约伊萨卡。
首先，我想说的是我为什么要分享这本书呢？因为这是一本写给每个人的微积分科普读物，是被名字耽误的宝藏趣味科普，它可能会让你爱上数学。我们知道从宇宙的终极谜题到日常的衣食住行，微积分的力量无处不在。我们现代社会的种种方便——GPS、微波炉、激光视力矫正手术、高铁等等，都依赖于微积分的发明。没有微积分，这些事情都无法实现。
那微积分对我们的日常生活产生了怎样的深远影响呢？如何利用其预测能力去重构世界？本书带你透过数学语言读懂世界。
有一种罕见而有趣的历史观点认为，世界被一个神秘的数学分支彻底改变了。一个最初与形状相关的理论，最终又如何重塑了文明？我们可以从物理学家理查德·费曼的一句妙语中洞见这个问题的答案，这句话是他在与小说家赫尔曼·沃克讨论曼哈顿计划时说的。
当时沃克正在为他计划写作的一部关于“二战”的长篇小说做调研，他去加州理工学院采访了参与过原子弹研发的物理学家，费曼就是其中之一。采访结束临别之际，费曼问沃克是否了解微积分。沃克坦承他并不了解，于是费曼说道：“你最好学学微积分，它是上帝的语言。”费曼的评价是相当高的。那什么是微积分？
1、定义
简言之，微积分就是想让复杂的难题简单化，它十分痴迷于简单性。微积分成功的方法是，把复杂的问题分解成多个更简单的部分。当然，这种策略并不是微积分独有的。所有善于解决问题的人都知道，当难题被分解后，就会变得更容易解决。
微积分真正不同凡响和标新立异的做法在于，它把这种分而治之的策略发挥到了极致，也就是无穷的程度。比如，杯子的形状，不是一个简单的形状，它很复杂。如果我们只用简单的平面几何、立体几何，是无法计算清楚的。但是微积分可以把它简单化。
比如，请问圆是怎么算出来的？这是几何学的知识。我们都知道周长，比如我做一个比萨，我拿一根绳子绕着它这么转一圈，然后把这个绳子拿出来一量，就知道这个圆的周长了。那怎么测量这个圆的面积呢？不能用绳子去测量圆的面积，我们需要的是圆的面积公式。
周长的公式是π×d。πd是怎么算出来的呢？把周长测出来，然后把直径测出来，用周长除以直径，得到的数就是π，所以π就是圆周率。那你有没有想过为什么面积会是πr²，而不是πd²？这就是微积分的思想。
你想象这是一个圆，我想知道它的面积，怎么办呢？你想象像切西瓜一样，沿着它的中心，切成一牙一牙的西瓜。然后你把它掰开，上半截就变成了一个向下的锯齿，下半截就变成了一个向上的锯齿。然后你把上半截和下半截对在一块儿，成了一个什么形状呢？类似于一个长方形。
但是这个长方形的上边不是一条直线，而是一个一个的弧度。那假如你把这个西瓜切到非常薄，薄到极限，那个弧度是不是就变成了一个一个的点？用弧度构成的这条边，是不是就变成了一条趋近于直线的东西？
这时候你发现，圆如果可以被切到无穷块，那它将会成为一个相当标准的矩形。请问这个矩形的高是多少呢？是半径。那个长的一边呢？是二分之一个周长，也就是πd÷2。πd÷2不就是πr吗？再乘以半径，得出是πr²。现在大家知道πr²是怎么来的了吗？就是通过切分想象出来的。所以古人能通过切分到无穷的程度，想象出来这么一个构造，解决了测量圆面积的问题，这就是微积分的思想。所以微积分的实质就是切分和重组，切分的过程叫微分，重组在一起叫积分。
因为古希腊人特别喜欢研究数学，所以到了公元前250年左右，他们都在研究数学。在那个时候他们就已经有了微积分的思想，所以微积分不是一件很可怕的事，微积分最主要的应用就是解决三大谜题。
2、三大谜题
首先，曲线之谜。就是我们说圆形怎么算？弧形怎么算？抛物线怎么算？那请问一条抛物线抛出去，你会不会算抛物线下边的面积？这在微积分中是最简单的一道题。给你一个抛物线的公式，就能算出抛物线底下的面积，这叫曲线之谜。
其次，运动之谜。世界上的匀速直线运动几乎没有，你不可能见到哪个人是一直保持匀速直线运动的，他一定会有加速和减速的过程。如果运动之谜解决不了，你的炮弹打得就不准，就无法准确地计算这个炮弹落下去在哪儿，所以这跟军事是有关的。
最后，变化之谜。比如你体内的细胞增长了、减少了，这个变化的速率是不均匀的，所以用简单的加减乘除根本无法计算。所以曲线之谜、运动之谜和变化之谜，跟我们的生活息息相关。没有微积分这样的工具，我们就无从了解。
接下来我们说说，微积分的基石，极限和无穷的应用。
1、无穷
作者说，我们要知道无穷的魅力和危险。
比如，芝诺悖论。芝诺说，乌龟比阿喀琉斯先出发1米，然后让阿喀琉斯去追乌龟，结论是阿喀琉斯永远追不上乌龟。为什么呢？他说在乌龟往前走一点的过程中，需要一个时间；阿喀琉斯追它也需要一个时间。当阿喀琉斯走到乌龟原来的位置，在相同时间内，乌龟也往前挪了一点点。在下一个时间段，当阿喀琉斯又走到乌龟原来的位置，在相同时间内，乌龟又往前挪了一点点。所以阿喀琉斯永远追不上乌龟。
有道理吗？有数学家解释说，你不知道极限吗？乌龟每次走得少一点，少一点，少一点，最后加在一起，不会超过1。
2、极限
阿喀琉斯论证说，你朝一面墙走，每次走1/2，永远走不到那面墙跟前。为什么呢？因为你要走到那儿去，必然走过中间的一半，你走过这个一半以后，必然得走过那个中间的一半，也就是1/4的地方。然后你得再走过1/8的地方、1/16的地方、1/32的地方……你永远都得走过你和这个墙中间距离的一半的位置。
所以就算再小，你和墙之间都隔着一个微小的一半。这种想法会把人类折磨疯，因为大家觉得有道理，听起来好像是走不过去，但现实中你一下子就走到那儿去了，原因是什么呢？这就是因为极限。
当你把那个圆的边长想象成平的的时候，请问对吗？不对吧。因为它肯定不是平的，它是个极限，所以你要抵抗一种诱惑——把极限想象成是0的诱惑。那虽然是个很小的点，但绝不是0。如果它是0，导致的结果就是整个世界会混乱。
所以大家就知道了为什么0不能做分母。2÷0等于几？没这样的题。因为2÷0等于无穷，3÷0也等于无穷，10÷0也等于无穷，那结论是什么？2=3=10，全等于，全世界都一样，这很明显是错的。所以除数为0会召唤出无穷，这个无穷就会导致整个世界的逻辑混乱，就意味着这个杯子跟桌子是相等的，因为它们除以0都一样。所以我古人不敢召唤出无穷，因为觉得无穷是一个很难驾驭的东西。
21世纪，微积分常被视为关于变化的数学，它运用了两大概念来量化变化：导数和积分。人类先有积分思想，后有微分思想，为什么呢？因为积分是诞生在几何之上，微分是诞生在代数之上，代数比几何要晚。我们今天学习微积分的时候，是先学微分，再学积分。因为微分简单，就是求导；积分要反过来，积分更难，但是积分的思想更早出现。代数加几何，就等于我们说的解析几何。
那什么是导数？比如这儿有一条曲线，曲线上有一条切线，这个切线的斜率就是切点的导数，切线的斜率表示的是变化率。我们在生活当中总得知道，一个东西多快？多陡？多敏感？凡是你问这样的问题的时候，其实问的都是变化率。变化率怎么算出来呢？唯一的办法就是求导。
1、三大核心问题
微积分有三大核心问题：第一，正向问题，即已知一条曲线，求它各处切线的斜率，也就是变化率；第二，反向问题，已知一条曲线的各处斜率，求这条曲线的方程；第三，面积问题，已知一条曲线，求曲线下方的面积。
所以，微积分就是要知道切线，求方程；知道方程，求切线；知道方程，求面积。这些可以应用在医学、建筑、火箭发动机等各个方面。因为只要是变动的运算，都可以用方程和图形来表示，这就是微积分的力量所在，这三大核心问题涉及物理、工程、金融、医学等等。
人的大脑比较善于理解线性问题，但是非线性的东西很不容易理解。我们只有放大曲线中的图像。比如，有条曲线，不知道曲线的变化率怎么办呢？把它放到足够大，用显微镜看这一小段。请问，再弯曲的曲线在这一小段上拿显微镜去看，是不是都像是一条直线？这就是微积分的方法。然后发现看起来很奇怪的曲线，在这个点上就是一条斜线，是直的。这时候我们就容易理解了，所以这就是求导数。
这是由牛顿、莱布尼茨提出的。牛顿和莱布尼茨帮我们驯化了数学。微积分就是解决我们生活中问题的东西，包括我们昼夜的变化速率、物种的平衡等等。
2、牛顿和莱布尼茨
牛顿和莱布尼茨是彻底揭开了这个秘密的人，他们把之前的微积分思想彻底变成了微积分工具。“在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后，情况发生了变化。他们各自发现并证明了一个基本定理，它能使这类问题常规化。该定理将面积与斜率联系起来，进而将积分与导数联系在一起。这个基本定理的影响力惊人，几乎一夜之间面积问题就变得容易解决了。”
牛顿说：“并非所有方程都可以用曲线来表示，但我能在不到半刻钟的时间内，判断出它是否可以求积。”“牛顿的隐秘源泉就是微积分基本定理。
那如果曲线求积的问题得到了解决，会怎样呢？“它将引起一个连锁反应，一个接一个问题都会迎刃而解。而且我们可以用它来回答超出人类理解范围的问题，即算出任意曲线的弧长。有了它，人们就可能算出平面上任何一个不规则形状的面积，还可以计算球面、抛物面、瓮、桶以及其他绕过轴旋转曲线所得到的曲面的表面积、体积、重心。
“不仅如此，某些预测问题将得到解决。只要解决了曲线求积问题，我们就可以预测出运动物体在遥远未来的位置。比如，即使一颗行星受到的引力与我们宇宙中的引力不同，我们也能预测出某一时刻它在轨道上的位置。
从现代的角度看，面积问题旨在预测以不断变化的速率变化的事物和与它随时间的累积程度之间的关系。它与银行账户的波动性流入和累计余额有关；它与世界人口的增长率和地球上的净人口数有关；它与化疗药物在患者血液中不断变化的浓度和随时间的累积暴露剂量有关，因为总暴露量会影响化疗药物的效果和毒性。”
面积问题之所以重要，因为它跟我们生活的方方面面都有联系。斜率是变化速率问题，面积是累积效果问题，就是用这样的速度做了这么长的时间，最后到底做了多少呢？这就是面积问题。所以在生活当中，我们不但要知道变化速率问题，也要知道累积效果问题。变化速率是微分，整个面积是积分，这就是微积分。
3、微积分的应用
在过去艾滋病是一个不治之症。所以大家觉得艾滋病会把地球上人口都消灭掉，因为艾滋病的潜伏期是十年。在这十年时间里，这个人看起来一点问题都没有，所以他就可以正常地生活和交往。十年期间他带着病毒到处跟人交往，没有任何问题，但时间一过很快就死，死亡率极高。
所以大家当时很恐慌，觉得艾滋病会让人类灭亡，但是艾滋病并没有这样，原因是什么呢？就是因为有一个华裔的医学家何大一，他和数学家艾伦·佩雷尔森用微积分解决了艾滋病病毒的问题。何大一和他的搭档，在人体当中截取了一个微小时间段中的病毒变化数，然后去计算病毒涨落的方程。
最后发现这十年时间里，病毒并不是没有发作，而是天天发作，但是你的白细胞和自然杀伤细胞每天都在和病毒作战。你的白细胞的大量工作，使得病毒在你体内的数量达到了均衡，看起来是不动的，但实际上每天有大量的病毒死去，有大量病毒产生，然后你的白细胞和自然杀伤细胞有大量的损耗，所以当你用数学定义了这件事以后，你就可以给他配药，然后就发明了鸡尾酒疗法。
鸡尾酒疗法是什么呢？通俗点讲，就是在这十年时间里，给你的白细胞帮忙，让你的白细胞能够更厉害一点。所以现在艾滋病已经变成了一个慢性病，基本上它不会像过去那样，得了就死了。只要你长期吃药，就能够一直活下去，这是多么了不起的发现！而这个发现的背后，就是大量的数学公式。1996年，何大一博士被评选为《时代》周刊的年度风云人物，这就是微积分的力量。
作者说，《独立宣言》也是在微积分的影响之下写出来的。《独立宣言》的起草者杰斐逊是美国的第三任总统，杰斐逊本人是一个建筑师、发明家和农场主，同时也是第三任总统和《独立宣言》的起草者。除此之外，他还是牛顿的信徒，《独立宣言》的开篇写了一句话叫“我们认为有些真理不证自明”。也就是说从公理着手，然后凭着逻辑的力量，他从这些公理中推导出一系列难以回避的问题，这就是《独立宣言》的起草思路。而这个思路来自哪儿呢？来自牛顿写的《自然哲学的数学原理》。
两条平行线不会相交，这是公理；三角形两边之和大于第三边，这是公理；两点之间直线最短，这是公理。公理就是要搭建的一个圣殿底下的基础，沿着这几个基础，全部都是公理和公理之间的应用和引用，从而证明出定理，然后定理如果得到认可，它就可以像公理一样被使用，然后再去证明下一个定理。人类就是这样一步一步地往前推进的，这就是科学的思想。
其次，飞机建模。我们生活中还面临着很多变量。现代飞机翱翔在天空中，这是微积分创造的一个奇迹。但情况并非一直如此，在航空业发展初期那个相对落后的年代，第一批飞行器是通过模仿鸟类和风筝，以及凭借工程学知识和坚持不懈的试错发明出来的。比如，莱特兄弟利用他们的自行车知识，设计出既可以在飞行过程中控制飞机，又能克服它们的内在不稳定性的三轴系统。
然而，随着航空器变得越来越先进，运用更精湛的手段去设计它们也变得越发必要。风洞让工程师可以在航空器不离开地面的情况下测试它们的空气动力学性能。设计者建造的真机缩比模型，可以使工程师在无须建造昂贵的全尺寸模型的情况下，对航空器的适航性进行测试。
为了飞机可以安全的飞行，“其中涉及的数学计算可能难度极大，部分原因在于飞机的几何结构十分复杂。飞机不像球体、风筝或者轻木滑翔机，它的形状复杂得多，包含机翼、机身、发动机、尾翼、襟翼和起落装置，这些组成部分都能使高速掠过飞机的气流发生偏转。而且，高速气流一旦发生偏转，就会对使它偏转的物体施加一个力。”
“偏微分方程在这个过程当中发挥了诸多方面的作用。比如，除了计算升力和阻力之外，波音公司的应用数学家还用微积分预测了飞机以600英里的时速飞行时机翼会如何弯曲。当机翼受到升力时，升力会导致机翼向上弯曲和扭曲，工程师试图避免的一种现象是被称为气动弹性颤振的危险效应，它类似于微风吹过百叶窗帘时发生的颤振。”
“在最好的情况下，机翼的这种不受欢迎的振动会造成旅途的颠簸和不适。而在最坏的情况下，这种振动会形成一个正反馈回路：当机翼震颤时，它们会改变周围的气流，并使自身震颤得更厉害。众所周知，气动弹性颤振会损坏实验飞机的机翼，导致结构失效和坠毁。”它抖得太厉害了以后，力量不断地正向反馈，变得越来越大，机翼可能会断掉。
所以，“波音公司的数学家将机翼近似分解为几十万个微型立方体、棱柱体和四面体，这些较为简单的形状扮演着基本结构单元的角色。他们先要为每个构建单元的刚度和弹性赋值，然后这些构建单元会受到临近构建单元施加的推力和拉力。弹性理论的偏微分方程可以预测出每个构建单元会对这些力做出怎样的反应，最终在超级计算机的帮助下，所有这些反应会被组合起来，用于预测机翼的总体振动情况”。
也就是说他不能把机翼当作一个整板，他要把机翼切成一个一个的小形状，这些小形状之间还要互相传导力量，最后才能够算出来机翼的安全承受力。所以你坐飞机的时候，不同的飞机颠簸程度是不一样的。
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