乌城走出的数学大侠们
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乌城走出的数学大侠们
作者：范明
来源：本文原载于《数学文化》第7卷第3期（2016），感谢《数学文化》杂志社与作者授权转发。原文链接：http://www.global-sci.com/intro/article_detail/mc/11902.html
建于 1477 年的乌普萨拉（Uppsala）大学是瑞典第一所大学，也是北欧最古老的大学之一，称其为瑞典现代科学的摇篮应不为过。每个大学新人都是伴着现代生物分类学之父冯 • 林奈（Carl von Linné）、发明摄氏度的天文学家摄尔修斯（Anders Celsius）等大神的名字度过学生时代的，还有世界三大现代化学之父之一贝尔塞柳斯（JönsJacob Berzelius）、光谱学的奠基人埃格斯特朗（Anders Ångström）以及 11 位诺奖得主。瑞典这个只有 960 多万人口的北欧小国以其人均高科技含量位居世界前列而闻名，在数学研究领域同样具有国际声誉和地位。瑞典现代数学的发展，与乌普萨拉大学有着密不可分的关联，多位著名瑞典数学家，如米塔 - 列夫勒（Gösta Mittag-Leffler）、伯尔林（Arne Beurling）和卡尔松（Lennart Carleson）等人均出自这所大学。然而即使在瑞典国内，上述数学家的故事也很少为圈外人知晓，系统介绍瑞典数学史和数学家的中文文章更是难得一见。笔者从上世纪八十年代末至九十年代中期在乌普萨拉大学数学系读书和工作，常常听到和读到这些前辈数学家的传奇故事，因此愿将多年来的所见所闻和心得感悟写下来与读者分享。
瑞典数学之父米塔 - 列夫勒
瑞典的历史上出现过很多著名的科学家和发明家，这个名单可以列出长长的一串，但在 1870 年以前却几乎没有什么有名的数学家。大概由于那时瑞典的钢铁和采矿业比较发达，使得人们对实用科学更感兴趣，比如诺贝尔（Alfred Nobel）就曾拥有一座钢铁厂，这一现象直到米塔 - 列夫勒时代才改变。后来被称为“瑞典数学之父”的米塔 -列夫勒出生在斯德哥尔摩一个开明的教师家庭，他的姓氏分别取自母姓（Mittag）和父姓（Leffler）。米塔 - 列夫勒虽然自幼体弱多病，但很早就表现出来丰富的数学想象力。他在一位有才干的高中老师影响下进入乌普萨拉大学学习数学，以柯西（Cauchy）辐角原理应用的研究论文于 1872 年获得博士学位。毕业之后第二年在哥本哈根召开的斯堪的纳维亚自然科学大会上，米塔 - 列夫勒意识到他自己以及整个瑞典的数学水平甚至低于邻国丹麦，以至对于自己作数学家的选择产生了怀疑。随后不久他获得一笔奖学金，得以到当时的欧陆数学重镇巴黎、哥廷根、柏林等地游学三年。他在这些地方遇到了如埃尔米特（Charles Hermite）、舍林（Ernst Schering）、克罗内克（Leopold Kronecker）等国际数学界领军人物，并与后来的世界领袖数学家庞加莱（Henri Poincaré）成为好友，其中对他影响最大的是被誉为“现代分析数学之父”的柏林大学教授魏尔斯特拉斯（KarlWeierstrass）。1876年二月米塔-列夫勒在圣彼得堡第一次见到魏尔斯特拉斯的学生——俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅（Sofia kovalevskaya），为其优雅风姿和卓越才华所折服。他在给母亲的信中将这次会面称为自己“一生中最难忘的事件之一”，从而开始了两人终生的友谊。欧陆的游学结束后，由于埃尔米特、魏尔斯特拉斯等人的强有力推荐，米塔 - 列夫勒获得了芬兰赫尔辛基大学的教授职位——尽管他达不到该国政府对于芬兰语的要求。芬兰语属于乌拉尔语系，而不是大部分其它欧洲语言所属的印欧语系，与瑞典语相去甚远。米塔 - 列夫勒于 1881 年回到祖国并出任新成立的斯德哥尔摩大学的前身——斯德哥尔摩高专首位数学教授，开始了他事业上的新阶段。他在数学分析和复变函数方面有许多经典工作，著述达 119 种，其中有著名的米塔 - 列夫勒定理和米塔 - 列夫勒矩阵。
米塔 - 列夫勒对于瑞典社会和数学界的贡献并不仅仅局限于学术范畴，更在于他非凡的社会活动和组织才能，他是使瑞典数学界真正走上国际舞台的先驱者。米塔 - 列夫勒与瑞典的上流社会交往甚密——包括当时的瑞典和挪威君合国（1814-1905）国王奥斯卡二世，在他的斡旋下，庞加莱曾因对三体问题的研究于 1888 年获得一个奥斯卡二世颁发的数学奖。庞加莱的论文以及进一步的工作导致了混沌理论的诞生，后来米塔 - 列夫勒又多次为庞加莱争取诺贝尔物理学奖，但最终无果。由于米塔 - 列夫勒多年的苦心经营，使瑞典当时拥有世界上最好的数学研究资料和图书馆，1882 年他创办了至今仍是世界一流的数学期刊 Acta Mathematica。同年米塔 - 列夫勒与比他年轻 15 岁的芬兰裔富商之女林德弗斯（Signe Lindfors）结为连理，这一联姻为他后半生的事业奠定了经济基础，他本人后来也成为一名成功的实业家，在水电、房地产、金融保险业均有投资。米塔 - 列夫勒全力投身于学术政治，曾担任包括瑞典皇家科学院（瑞典语：Kungliga Vetenskapsakademien, KVA）、伦敦皇家学院、法兰西学院、俄罗斯科学院在内的 45 个学术机构的成员或院士，1904 年米塔 - 列夫勒还建立了瑞典精算师协会并担任首任主席。每年 12 月 10 日斯德哥尔摩的一大盛事是诺贝尔颁奖仪式后的晚宴，但少有人知道，这一传统起源于米塔 - 列夫勒的私人宴会。当年的颁奖活动很枯燥，所以好客并酷爱聚会的米塔 - 列夫勒夫妇就把物理学、化学和文学奖的得主们和本地名流请到家中聚会。直到 1915 年米塔 - 列夫勒夫妇感觉力不从心了，才由国王接手，从而演变成了今日斯德哥尔摩市政厅的官方活动。著名数学家、社会活动家、实业家——一身多种角色，这在清高、出世的数学家世界中还真不多见。
Acta Mathematica 的创办过程也充满了是非曲折。创办期刊的想法最初是著名挪威数学家索菲斯 • 李（Sophus Lie）于 1881 年在斯德哥尔摩与米塔 - 列夫勒会面时提出并建议其担任主编。在草创阶段他们二人密切合作，确定了期刊的北欧风格并具有国际水准的办刊方针，发表的文章以法文和德文为主，也可以是英文或拉丁文，但不久之后由于种种原因 Lie 就淡出了创刊工作。在 1881 年前后，除了索菲斯 • 李和米塔 - 列夫勒之外，北欧各国已经涌现了一批国际水平的纯数学和应用数学家，并且有三位数学教授在各自国家已经达到很高的行政职位，因此这份期刊可以说是应运而生。虽然米塔 - 列夫勒与魏尔斯特拉斯一直私交很好，但魏尔斯特拉斯和克罗内克当时主办德国数学期刊 Crelle's Journal。为了避免可能发生的竞争关系，在那一时期米塔 - 列夫勒有意避开魏尔斯特拉斯等德国数学家，而与法国数学家——比如他的另一位导师埃尔米特在数学和私人联系都更密切些。在埃尔米特的影响下，米塔 - 列夫勒意识到他在巴黎时期的好友庞加莱可以为这份北欧数学期刊开创一个光明的未来。在米塔 - 列夫勒晓之以理、动之以情的忽悠下，庞加莱欣然接受成命，埃尔米特作出了详细的计划并给予祝福，期刊项目正式启动。第一届编委会由多位北欧数学家组成，但只有曼斯特恩（Carl Johan Malmsten）和乔治（Hieronymus Georg） 等少数几人真正投身于编委工作。最初几年为了维持期刊的正常运转，米塔 - 列夫勒和曼斯特恩积极向政府和私人募捐，包括奥斯卡二世国王和埃尔米特等人均慷慨解囊。当时普法战争刚刚结束十年，德国和法国两国人民之间的积怨很深，为此米塔 - 列夫勒还通过国王斡旋，最终获得魏尔斯特拉斯等德国数学家的理解和支持。1882 年夏天米塔 - 列夫勒在与新婚妻子环游欧洲蜜月旅行的同时向德法数学家组稿，经过反复磋商之后新期刊于当年 11 月 2 日定名为 Acta Mathematica，12 月 12 日米塔 - 列夫勒将新期刊第一卷第一册的第一本面呈国王，奥斯卡二世也真是一位开明可爱的君主。
米塔 - 列夫勒对北欧乃至国际数学界的最大贡献，大概就是和夫人一起于 1916 年他 70 岁生日当天将自己在斯京郊区 Djursholm 的别墅及藏书全部捐出，成立了世界上第一个数学研究所。十九世纪末、二十世纪初的瑞典是一个群星璀灿的时代，出现了众多如发明家诺贝尔、数学家米塔 - 列夫勒、画家佐恩（Anders Zorn） 和拉森（CarlLarsson）、文学家斯特林堡（August Strindberg）和里德伯格（Viktor Rydberg）、雕塑家米勒思（Carl Milles）以及第一位诺贝尔文学奖女性得主拉格洛夫（Selma Lagerlöf）等瑞典科学、文化历史上的重量级人物， 而且他们还多有交集。当时在 Djursholm 建造了很多由著名建筑师设计的别墅，聚集了一批名人、银行家、科学家和艺术家，成为瑞典第一个整体规划的别墅区及瑞典上流社会的中心并延续至今。米塔 - 列夫勒夫妇的别墅是这一地区的标志性建筑，米塔 - 列夫勒则是这一社区的核心人物之一，米勒思还为他雕塑了胸像，瑞典最后一位浪漫主义作家和诗人里德伯格曾是他的同事、邻居和好友。米塔 - 列夫勒在别墅建造之初就是按照数学研究所和图书馆的样式来设计的，建成后曾进行过两次改造和扩建。米塔 - 列夫勒的藏书是当时瑞典社会最大的私人收藏，包括约四万册藏书和三万封信件——其中有许多珍贵原稿以及爱因斯坦、康托、魏尔斯特拉斯、庞加莱、柯瓦列夫斯卡娅等名人书信。米塔 - 列夫勒夫妇膝下无子女，这也许是他们将房产捐出的主要原因，其实瑞典的很多科学基金和奖金均来自富人的捐赠，这样的捐赠是这个国家的传统。位于风景如画的波罗的海 Germaniaviken 海滨的米塔 - 列夫勒研究所现在每年都举办不同的数学研究项目，使得全世界的数学家多了一个静心研修的去处，当然比较偏重北欧口味。我来瑞典的第一年正是米塔 - 列夫勒研究所的算子代数学术年，主持人是丹麦数学家哈格如普（Uffe Haagerup）和挪威数学家斯托莫（Erling Størmer），后者曾任阿贝尔奖评委会主席，那时我每周和导师一起去研究所听学术讲座。在 Acta Mathematica 之外，瑞典皇家科学院又于 1903 年创办了另一份数学期刊 Arkivför matematik，直到 1971 年由米塔 - 列夫勒研究所接手。研究所所长同时兼任这两份数学期刊的主编，但后者更平民化一些。今年是 Gösta 米塔 - 列夫勒诞生 170 周年，也是米塔 - 列夫勒研究所成立一百周年，3 月 16 日至 20 日在斯德哥尔摩召开的“第 27 届北欧数学家大会”就以庆祝这一盛事为主题。
米塔 - 列夫勒还是一位著名的女权主义者，1884 年他在魏尔斯特拉斯的影响下，帮助好友柯瓦列夫斯卡娅成功得到斯德哥尔摩高专的教职和 Acta Mathematica 的编委位置，使其成为世界上第一位女性全职数学教授和数学期刊女性编委。米塔 - 列夫勒本来还打算助选柯瓦列夫斯卡娅成为皇家科学院的院士，但遭到科学院的强烈反对。瑞典号称世上男女最平权的国家，但学界却是男人的一统天下，至今改进有限，比如直到 2010 年皇家科学院才选出第一位女性数学院士。被称为瑞典“现代文学之父”的斯特林堡与米塔 - 列夫勒对待妇女的态度有天壤之别，斯特林堡曾在报上评论米塔 - 列夫勒帮助柯瓦列夫斯卡娅成为女数学教授一事为“无用、有害、不愉快的”。关于没有诺贝尔数学奖的最大八卦，无非是米塔 - 列夫勒与诺贝尔是“情敌”的传言，这已被史学家认为是子虚乌有。但米塔 - 列夫勒的传记作者斯图哈格（Stubhaug）指出，如果 ( 虚拟语气 ) 在这两位瑞典绅士之间存在一位红颜，那就只能是柯瓦列夫斯卡娅。知性优雅的柯瓦列夫斯卡娅来到瑞典不久即成为斯德哥尔摩上流社会的一颗明星，尽管她实际上过得并不快乐，其间曾几度打算离开，年仅 41 岁就卒于肺炎。柯瓦列夫斯卡娅还是米塔 - 列夫勒的作家妹妹安妮 • 夏洛特 • 列夫勒（Anne Charlotte Leffler）的好友，二人曾合作写过两个关于在男权社会中妇女地位的剧本。柯瓦列夫斯卡娅说 “对于我来说，诗人能够感知他人所不能感知，并且看到比他人更深刻的东西，而数学家也是做同样的事情。” “如果没有诗人的灵魂，是不可能成为数学家的。”为纪念这位杰出女性，瑞典数学会每年 11 月举办柯瓦列夫斯卡娅日，向对数学感兴趣的高中生普及数学知识。米塔 - 列夫勒研究所院内矗立着柯瓦列夫斯卡娅的铜像和一个米塔 - 列夫勒为其卒于1892 年的作家妹妹安妮 • 列夫勒立的纪念碑，好像诉说着柯瓦列夫斯卡娅与米塔 - 列夫勒兄妹二人惺惺相惜的旷世友情，与山河共存。
相信每一位学理科的女生都曾经把居里夫人（Marie Curie）当作自己的人生楷模，但多年来鲜为人知的是，作为女性和犹太人后裔，居里夫人曾经遭受过种种不公正的待遇，而米塔 - 列夫勒在她两次获得诺贝尔奖的过程中均起了重要作用。1903 年的物理学奖被提名者开始只有发现电离辐射现象的贝克勒尔（Henri Becquerel）和居里夫人的丈夫皮埃尔 • 居里（Pierre Curie），米塔 - 列夫勒得知此事后，于当年六月份写信向好友皮埃尔 • 居里通报并了解在此项研究中居里夫人所起的作用。在得到肯定答复之后他即向评委会申诉，因此居里夫人才获提名，成为首位女性诺奖得主。后来居里夫人又因发现镭和钋元素并提纯和研究了镭元素的性质及其化合物于 1911 年获得化学奖，但由于她在丈夫过世后与另一位物理学家的不伦之恋， 瑞典著名化学家、物理化学学科的创始人阿伦尼乌斯（Svante Arrhenius）代表保守的皇家科学院写信建议她自动放弃这次诺奖并取消来斯德哥尔摩的领奖行程。出于对居里夫人的科学成就和人格的尊重，米塔 - 列夫勒立即致电居里夫人让她不要听从科学院的侮辱性提议。居里夫人在给阿伦尼乌斯的回信中说“科学和个人生活无关，我将依我的信念行事”，并如期前来领奖，从而成为第一位两次获诺奖的得主。一百多年前女性的科学之路是何等艰辛，而米塔 -列夫勒的男女平权意识和义举更是超越时代、难能可贵。
数学天才、解码高手、自然之子伯尔林
前年由于电影《模仿游戏》的上映，英国数学家、逻辑学家和计算机科学之父图灵（Alan Turing, 1912-1954）进入公众视线。对于图灵，人们至今仍津津乐道的是他在二战时期成功破解德军的密码机“谜 （Enigma）”的故事。实际上在战争期间很多顶尖数学家参与了盟军的密码破译分析工作，其中一位就是瑞典著名数学家伯尔林。二战期间图灵在英国军方负责对德国密码的破译分析工作，而伯尔林则在瑞典情报部门负责对俄国密码的破译分析工作，后来又被调去破译德军密码。巧合的是，二人破译密码都是业余兼职，正业均为大学教授。不同的是，战后图灵继续他在计算机科学方面的研究并被誉为计算机科学之父，而伯尔林却作回了分析数学的老本行。伯尔林没有得到一点点对加密技术性质的暗示、也从未看到过所使用的机器——一台西门子Chifrierfernschreiber T52a，他仅仅靠电传打字机的纸带和密码文本，就在两个星期之内破解了密码，据说比图灵破解的 Enigma 密码更难。当伯尔林被问起是怎样破译这些密码时，他回答说“魔法师从不揭示自己的秘诀”，但他曾向友人稍稍透露，在破译过程中数字 3 和 5 是关键。他的这一壮举被认为是密码学史上最伟大的成就，曾被列入人类历史上十大最神秘的、被带进坟墓的未解之谜。但直到上世纪九十年代，随着瑞典在二战期间破译分析德国密码的工作被解密，贝克曼（Bengt Beckman）所著《电码译员 ：伯尔林和二战期间瑞典的密码计划》一书问世，伯尔林的这一功绩才逐渐为世人包括本国人民所知。在瑞典伯尔林被视为民族骄傲，他的功绩足以为当时瑞典政府的对德绥靖政策雪耻。几年前的一天我和朋友去斯京东郊 Lindingö 岛游玩，沿着海边散步，偶然路过一个宅院 Elfviks Udde，竟然是 70 多年前伯尔林破解德军战略密码的地方。据去年九月瑞典《新技术》报载，受影片《模仿游戏》启发，瑞典的几位电影导演也计划分别将伯尔林和柯瓦列夫斯卡娅的故事搬上银屏。
更神奇的是， 伯尔林破解密码只是客串，他其实是分析数学的一代宗师，一位不可多得的数学天才。伯尔林早在学生时代就初露锋芒，1924 年他高中毕业后进入乌普萨拉大学学习，其博士论文的主要结果是证明了关于全纯函数渐进值的 Denjoy 猜想。但是他并没有及时发表研究成果，而是跟随父亲跑到加勒比海捕猎鳄鱼，因此他的博士学位答辩一直拖到 1933 年。芬兰数学家阿尔福斯（Lars Ahlfors, 1907-1996）差不多同时证明了 Denjoy 猜想并第一个发表了后来被称为 Denjoy–Carleman–Ahlfors 定理的结果，因此与人分享了 1936 年第一届菲尔兹奖，而伯尔林却失之交臂。伯尔林博士毕业后担任乌普萨拉大学教授，他从青年时代就开始了将复分析、调和分析、位势理论融为一体的独创历程。他在 1935 年发表的关于单位圆上全纯函数特殊集的论文，开启了他的学生卡尔松五十年代在这一领域的里程碑式的工作，并影响了八十年代后发展起来的抽象概率论。伯尔林于 1938 年首先开始对巴拿赫代数的研究，比这一领域的奠基人盖尔范德（Israel Gelfand）还早一年，而后者是二十世纪世界排名前十的数学大家。1954 年伯尔林成为普林斯顿高等研究院（Institute for Advanced Study, IAS）终身教授并继承了爱因斯坦的办公室，五十年代末他与蒂奈（Jacques Deny）合作，提出了Dirichlet 空间这一全新概念并给出其公理化体系，Dirichlet 空间的理论在 Markov 过程、扩散过程、多复变函数及无穷维分析等领域都有重要应用。伯尔林的多篇论文对于分析数学不同领域的发展具有划时代的意义，阿尔福斯和卡尔松在一篇纪念文章中写道“伯尔林的精神遗产将会对数学家们产生多年影响，甚至会影响几代人”。乌普萨拉数学系图书馆以伯尔林的名字命名，2005 年他诞辰一百周年时，乌普萨拉数学系曾召开学术会议纪念这位杰出的数学家。
“天才”这个词常常出现在伯尔林的多位学生与合作者的回忆中，据说伯尔林像艺术家一样看待数学的纯粹之美，在他的心目中数学如同上帝的馈赠，他心灵的一部分似乎是在与上帝对话。伯尔林很少阅读同时代数学家的文章，而且还是个 " 任性 " 的完美主义者。与伯尔林合作多年的法国数学家马列文（Paul Malliavin）回忆说，每当伯尔林得到一项结果后总要放一段时间，直到找到了“初等并且透明”的证明之后才会拿去发表。因此伯尔林的许多手稿都是没有发表过的——就像艺术家从不将自己的未完成作品示人一样，颇有早年高斯等大神的遗风。阿尔福斯还说“在伯尔林所做的每一件事情中，他的天赋无处不在”。在伯尔林的数学工作中似乎深藏着某种来自北欧原始森林的魔力——非常 Swedish Style，卡尔松说他是 “瑞典大自然——森林、湖泊、山川——的一部分，因而更看重数学之美而不是其难”。瑞典著名数学历史学家戈丁（LarsGårding）还说伯尔林的 “强烈个性和自我意识充分反映在他的学术论文中，并使读者感到似乎被一只强有力的大手带领着走过引人入胜的自然风光 ”。伯尔林的母亲是贵族之后，他的父亲曾经是一位船长，在波罗的海上的一次航海事故中遇难，因此在伯尔林身上兼具豪放的北欧海盗遗风和贵族绅士气质。他喜欢打猎、扬帆、喝酒，他的兴趣除了数学之外还包括莎士比亚作品和瑞典古老诗歌，但他既不喜欢听歌剧也不会跳舞。伯尔林既热爱自然、体格健硕，又性格内向、不善交往，他有些神经质，特别是秋季容易忧郁。伯尔林很有幽默感及女人缘，但别人似乎很难找到抵达他精神世界的入口。他的一生中曾有过两次婚姻，对家庭富有责任心，对妇女的看法老式传统。
由于与乌普萨拉的同事关系紧张，又不满瑞典的官僚体制，伯尔林于 50 年代初移居美国直到终老。但在那里他一直非常孤独并且没有家的感觉，在普林斯顿期间他只与少数同行交往，从而使得他对现代数学发展的影响被大大低估了。这一方面是由于五十年代初期分析数学的潮流已经从经典分析转向抽象分析，另一方面也是他的性格使然。伯尔林始终怀疑别人都和他作对，但从未意识到他可能无意中伤害了别人，却又在不觉中伤害了自己，一个典型的例子就是他与阿尔福斯的关系。阿尔福斯获得首届菲尔兹奖时只有 29 岁，是数学星空中一颗耀眼的明星，其国际知名度比伯尔林要高得多。来自斯堪的纳维亚半岛的这两位数学高手性格迴异，但自青年时代就结下了深厚的友谊。虽然阿尔福斯只比伯尔林年轻两岁，但他始终感觉自己在身强力壮的伯尔林面前像个孩子，而阿尔福斯冷静沉稳的性格也像磁石般吸引着敏感多疑的伯尔林。无论是二战期间他们在乌普萨拉一起度过的艰苦岁月，还是战争结束后伯尔林应阿尔福斯之邀在哈佛大学工作的两年时间，都在二人的心中留下了难忘的回忆，阿尔福斯多年后说那是他生命中“最美好的时光”。但五十年代伯尔林移居美国后，与阿尔福斯的友谊也原因不明地中断了，或许就是传说中“友谊的小船说翻就翻”。直到 1984 年二人在一次学术会议上不期而遇，伯尔林拍了拍阿尔福斯的肩膀说了声“Hi Lasse”——只有家乡人才这样称呼 Lars 的，一切尽在不言中。而那时伯尔林已诊断出身患癌症，两年后十月份的一天，伯尔林的夫人打电话给阿尔福斯说伯尔林想和他见一面。伯尔林那时身体已很虚弱，在阿尔福斯前去看望他之后不久就过世了，为这段美丽动人的友情画上了句号，又过了十年阿尔福斯也与世长辞。伯尔林始终怀念在 Lappland 狩猎以及在故乡瑞典西海岸扬帆的日子，他去世后终于回到了家乡，遗骨安葬在斯京 Norrakyrkogården 的家族墓地，该墓园也是诺贝尔和柯瓦列夫斯卡娅长眠的地方。从伯尔林不由想起了他的同胞——好莱坞巨星葛丽泰 • 嘉宝（Greta Garbo, 1905-1990）。虽然这两个人完全风马牛不相及，但相同的是他们同一年出生，先后到美国发展，而且都不很适应新大陆的生活。尽管如此他们也没有回头，而是终老异乡。也许对于所有游子来说，故乡就是一个永远回不去的地方。
米塔 - 列夫勒和伯尔林的学生及后继者们
米塔 - 列夫勒和伯尔林都在乌普萨拉大学获得博士学位，分别向上追溯数学家族谱系的两代或四代，师出同一位数学家——1796 年毕业于乌普萨拉大学的思文凯（Jöns Svanberg），但仍然没出“五服”。米塔 - 列夫勒去世时伯尔林还在大学读书，二人年龄相差 49 岁，没有查到他们二人直接交往的记录。但如前所述，米塔 - 列夫勒在芬兰一支的直系后人阿尔福斯却是伯尔林的合作伙伴和终生挚友，可谓源远流长。米塔 - 列夫勒和伯尔林的性格完全不同，前者活跃外向、交游广泛，喜欢文学、管理、经商，身居祖国放眼全欧，是入世的智者 ；后者内向敏感、不善交际、追求完美、热爱自然，移居新大陆却独孤求败，如出世的高人。但这些并不影响二人同为瑞典现代数学的巨匠，因此后来瑞典的复分析与实分析学派才有了如霍尔曼德尔（Lars Hörmander）和卡尔松这样的传人。
米塔 - 列夫勒从欧陆及芬兰回到瑞典之后主要的工作和活动地点是在斯德哥尔摩，他亲自指导的学生中比较著名的有弗莱门（Edvard Phragmen, 1863-1937）、弗雷德霍姆（Erik Fredholm, 1866-1927）和冯 • 科赫（Helge von Koch, 1870-1924），三人都先后于乌普萨拉大学获得学位、在斯德哥尔摩高专任教、在 Djursholm 区居住，因此形成了数学史上非常有名的“斯德哥尔摩学派（Stockholm School）”，斯德哥尔摩如今房价最高的上等社区 Djursholm 一百多年前成为瑞典数学界的中心。弗莱门的主要成果是扩展了关于有界全纯函数的刘维尔（Liouville）定理，与芬兰数学家林德洛夫（Ernst Lindelöf）一起得到了著名的 Phragmen-Lindelöf 最大值定律。弗莱门还对精算学感兴趣，曾担任瑞典精算师协会第二任主席以及多家大保险公司的高管或总裁。弗雷德霍姆是积分方程理论的创始人之一，他给出了一般常系数椭圆型偏微分方程的基本解，并得到了著名的积分方程择一定理，他有关积分方程的工作被称为泛函分析的四项奠基性工作之一。冯 • 科赫在 1904 年的一篇论文《关于一个可由基本几何方法构造出的无切线的连续曲线》中描述了一类长度无穷大但所围面积有限且连续却无处可微的曲线的构造方法，这一俗称为“雪花曲线”的 Koch 曲线是最早的分形曲线之一，是上世纪七十年代发展起来的分形几何学的重要例子。后来还有卡尔曼（Torsten Carleman, 1892-1949）加盟，卡尔曼也是一位出身于乌普萨拉大学的数学家。他的主要贡献是在函数论、积分方程论和谱理论方面，以他的名字命名了若干定理、法则、不等式、积分核和正交多项式等。1927年米塔 - 列夫勒逝世后，卡尔曼继任研究所所长超过二十年的时间，并成为瑞典最有影响的数学家。米塔 - 列夫勒、弗雷德霍姆和冯 • 科赫身后都安葬在 Djursholm 的 Altorp墓地，依旧比邻而居，在天堂继续他们的数学合作研究。
米塔 - 列夫勒在国际科学界的地位和声誉吸引了大批国外的青年学者，因来访研究所而改变了命运的学者之一是匈牙利数学家里斯（Marcel Riesz, 1886-1969），他于 1908 年来到瑞典，先后担任斯德哥尔摩和隆德（Lund）大学教授并创建了隆德大学的数学研究中心。里斯在三角级数、泛函分析、位势理论、偏微分方程及 Clifford 代数等领域多有建树，例如他于 1926 年证明了 Lebesgue 函数空间中线性算子的插值定理，但证明方法十分复杂。他的学生与合作者索林（Olof Thorin）于 1939 年使用阿达马（J. S. Hadamard）的三圆定理将其证明大大简化，这就是著名的 Riesz-Thorin 插值定理。索林后转行从事精算业，但他仍因这一定理而在分析数学领域闻名，可谓“惊鸿一瞥”。里斯最优秀的学生是1962 年菲尔兹奖和 1988 年沃尔夫奖得主霍尔曼德尔，他的主要工作成果是在现代线性偏微分方程理论方面，是伪微分算子和傅立叶积分算子的奠基人之一，他的四卷本《线性偏微分算子分析》（1983-1985） 被认为是线性偏微分算子的经典文献。如果没有霍尔曼德尔，著名的 Atiyah-Singer 指标定理的证明不知道还要晚多少年，前文所述的著名数学历史学家戈丁也是里斯的学生。里斯最早的学生之一克拉梅尔（Harald Cramér, 1893-1985）是瑞典乃至世界概率统计学界的泰斗，他早期研究解析数论，1925 年转向概率论并于 1929 年被任命为瑞典第一位精算数学和数理统计学教授，还担任瑞典精算师协会第三任主席长达26 年。克拉梅尔最重要的成果之一是证明了法国概率论祖师爷莱维（Paul Lévy ）关于正态分布独立性的一个猜想。克拉梅尔还对保险风险问题进行了深入研究，并从统计学角度研究素数和孪生素数的分布问题。享有世界声誉的“概率论学界教父”、华裔数学家钟开莱（1917-2009）就是在克拉梅尔的指导下，于 1947 年获得美国普林斯顿大学博士学位的。
伯尔林非常热爱教学，学生们都说他讲课的时候双目就像燃烧的火焰，极富激情和感染力。二战期间正是伯尔林创造力的高峰期，但他却义不容辞地将大部分精力投入到破译德军密码的工作中并建立了奇勋，他还鼓励自己的学生献身到反法西斯的工作中去。伯尔林在乌普萨拉大学任教期间开办的星期二分析讨论班一直延续至今，唯一区别是由隔周一次改为每周一次、时间从晚上移到了下午。他在讨论班上一般只讲授自己的研究成果，并且对学生要求十分严格。伯尔林一生共指导了九名数学博士，全部毕业于乌普萨拉大学，最著名的当属与他亦徒亦友的卡尔松。卡尔松是伯尔林的学生中仅存的健在者，今年已米寿高龄，他曾经说过自己是被伯尔林的人格魅力和非凡才能所吸引，从而走上数学研究之路的。他于 1950 年获得博士学位并不负师望，在傅立叶分析、复分析、拟共形映射和动力系统等方面都做出了重要贡献。1966 年卡尔松证明了提出已达半个多世纪的鲁金猜想，即单位圆上平方可积函数的傅立叶级数几乎处处收敛，我们在复旦读书时使用的《实变函数论与泛函分析》教科书中就曾提到这一重要成果。卡尔松的另一重大贡献是解决了日冕问题（Corona），由此得到的卡尔松测度已经成为傅立叶分析和复分析的基本工具，他还证明了在二维情形任意阶的 Bochner-Riesz 均值都有界。卡尔松因“其在傅立叶分析、复分析、拟共形映射及动力系统理论方面的基础性贡献”获得 1992 年沃尔夫奖，又因“其在调和分析和光滑动力系统方面深刻和重大的贡献”获得 2006 年阿贝尔奖。阿贝尔委员会这样评价卡尔松“他的工作已经永远改变了我们对分析的看法。他不仅证明了极难的问题，而且他引入的证明方法与定理本身同等重要”。为了防止人才外流，1967 年瑞典政府专门在乌普萨拉数学系为卡尔松设立了一个教授位置，使得他具有很大的自由空间，他后期的主要工作地点是在米塔 - 列夫勒研究所和皇家理工学院（瑞典文 ：Kungliga Tekniska högskolan, KTH）。
如前所述，米塔 - 列夫勒生前是将自家私宅作为一个北欧乃至世界的数学中心来规划建设的，并将他在其它领域的经营所得大量投入，因此米塔 - 列夫勒研究所在 1916 年建立之初时前景一片光明。然而 1922 年全欧洲的一场经济危机使得米塔 - 列夫勒濒临破产，到他临终时研究所的运转难以为继，在卡尔曼时代只能惨淡经营。1949 年卡尔曼去世后，皇家科学院曾先后提议阿尔福斯和伯尔林继任所长，但二人均婉言谢绝。以后由于经费不足及管理不善，米塔 - 列夫勒研究所入不敷出，在将近二十年的时间里只作为图书馆使用。而且研究所的大笔房屋维护费用使得皇家科学院不堪重负，曾一度打算将研究所的房产出售，少数反对者之一就是 1956 年成为 Acta Mathematica 主编、1957 年当选为院士的卡尔松。卡尔松于 1968–1984 年间出任研究所所长并实行了一系列改革举措，他掌管之后得到了 Knut & Alice Wallenberg 基金会、大保险公司及北欧其他国家的资助，研究所才重新开始正常运转并获得新生。与当时世界著名的两个数学研究所——美国普林斯顿高等研究院和法国高等科学研究所（IHES）不同，米塔 - 列夫勒研究所除了兼职所长及几位行政人员外，并没有专职的研究人员。自从 1969/70 年度开办了第一个以调和分析为主题的学术年以来，米塔 - 列夫勒研究所以半年或一年为期举办不同专题的学术研究计划。世界各国的顶尖学者汇集于此，同时前来的还有一些在学术道路上刚刚起步的博士生或博士后，因此米塔 - 列夫勒的梦想直到卡尔松时代才真正得以实现。1976/77 年度卡尔松专门组织了伯尔林年，伯尔林在其系列讲座中报告了自 1930 年代以来他本人的数学思想和成就。
卡尔松是一位德高望重、谦逊低调、平易近人、极具正义感和人文关怀的长者，非常令人尊敬。他亲自指导的 26 名博士中有 24 人毕业于乌普萨拉大学，其中多人也已成为著名数学家，在学术领域多有建树。卡尔松在 1978 至 1982 年间担任国际数学联盟（International Mathematical Union, IMU）主席。他在任期内极力促成中国数学会取得代表权，1977 年陈景润就曾因这一代表权问题谢绝了国际数学家大会（InternationalCongress of Mathematicians, ICM）的 45 分钟报告邀请。卡尔松还积极推动设立了以著名芬兰数学家尼凡林那（Rolf Nevanlinna）命名的、表彰青年理论计算科学家的Nevanlinna 奖——目前国际数学家大会的四大奖项之一。卡尔松热心于数学普及工作，经常给高中教师和学生举办讲座，并于 1968 年出版了科普著作《我们时代的数学》，涉及数学科学的方方面面。二十多年前笔者在乌普萨拉大学博士答辩后不久，曾参加数学系为时年 65 岁的卡尔松和伯尔林的另一名学生多马（Yngve Domar）教授举办的荣休晚宴。卡尔松退休之后仍然常常出现在各种数学讲座和会议上，但多半是默默地当听众，并不喧宾夺主。大约十年前的一天，笔者从斯德哥尔摩驾车去乌普萨拉数学系参加学术会议，一辆马自达小车一路同行，直到停车场才发现驾车的老者原来就是卡尔松。还有一次恰逢先生寿日，全场为他合唱生日快乐歌。几年前乌普萨拉大学数学系发生了一起行政干预学术的校园政治事件，两位外籍教授被校方劝退辞职，此事曾引起包括欧洲数学会、美国数学会及国际数学家联盟在内的国际数学界的广泛关注。事情发生后卡尔松率先发表公开信，对学校当局的作法表示遗憾，称之为“50 年来瑞典学术界的最大丑闻”，并向被辞退的教授表达慰问和声援。在今年三月庆祝米塔 - 列夫勒研究所成立一百周年的“第 27 届北欧数学家大会”上，卡尔松当选为大会名誉主席。
最后值得一提的是，瑞典、挪威、芬兰三国均位于斯堪的纳维亚半岛，并且都以路德派新教作为国教。从民族、历史、文化、语言诸方面来看，瑞典和挪威似乎更接近，18 世纪两国还合并成立过 UK 君合国，至今也都是君主立宪的王国。然而邻国挪威的数学发展道路却与瑞典完全不同，挪威数学在19世纪就已经很辉煌，出现了诸如阿贝尔、西罗（Ludwig Sylow）、索菲斯 • 李等划时代人物。但除了前述在 Acta Mathematica 创办之初米塔 - 列夫勒与索菲斯 • 李的合作之外，两国在数学研究上却少有交集——前者偏代数、后者重分析，曾听斯托莫说起过直到今天两国数学家都鲜有合作研究。而芬兰却截然相反，米塔 - 列夫勒在芬兰赫尔辛基大学执教的几年时间里成果斐然，特别是培养了梅林（Robert Mellin）这样优秀的学生，并一脉相承地培养出了林德洛夫、尼凡林那和阿尔福斯等以分析见长的几代数学家。瑞典和芬兰两国的数学家密切合作，共同作出不少重要的研究成果，例如复平面无界区域上的 Phragmén-Lindelöf 最大模原理和调和分析中的伯尔林 - 阿尔福斯变换，可谓分析数学的双子星座。这一切也许仅仅是由于米塔 - 列夫勒当年到欧陆游学并经埃尔米特和魏尔斯特拉斯的推荐从而获得赫尔辛基大学教职这一系列的偶然因素，无论哪个环节出了问题，历史都将重写。同时也说明，数学是一种超越国界的国际语言，世界大同的理想在数学家中可以实现。曾经看到过这样一段话，摘录于此作为本文结束语 ：“数学很小众，它其实就是一群虔诚者的自娱自乐和精神安慰。它的受众仅限于那些能够坚持并且还觉得可以坚持的数学研究者。因为不涉及意识形态，它与政治没有必然的联系……。作为数学研究者，现实是允许你胸怀理想的，唯一的风险是内心的失衡甚至扭曲”。
作者简介：范明，复旦大学数学学士、硕士，乌普萨拉大学数学博士，《数学文化》特约撰稿人，现居瑞典。
本文转自：《数学文化》